复变函数留数复习题

5.1指出下列函数的奇点及其类型，若是极点，指出它的级：

（1）3211z z z --+；（2）()

23211z z +；（3）1z z

e -；（4）21n

n z z +；（5）()ln +1z z ； （6）3sin z z ；（7）()

211z z e -；（8）2

sin z e z z 。 解：（1）

()()

232

11

111z z z z z =--+-+，奇点：1（二级极点），-1（一级极点）； （2）奇点：0（三级极点），i ±（二级极点）； （3）()()11110111n

z z

z

n

n e

e e

e z ∞---=-==-∑，1z =为本性奇点；

（4）令10n

z +=，得：()()210,1,2k i

n

k z e

k π+==±±，

因为()

10k

n

z z z ='+≠，所以()21k i

n

e

π+是一级极点；

（5）()

0ln +1lim 1z z z

→=，0z =是可去奇点；

（6）30sin lim

z z z →=∞，且0z =是sin z 的一级极点，是3

z 的三级极点，所以0

z =是3

sin z z 的二级极点；

（7）0z =是()

21z z e -的三级零点，所以是

()

21

1z

z e -的三级极点， ()21,2z k i

k π==±±均为一级极点；

（8）2

352

2sin 1123!5!z e z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫

=+++-+-

⎪⎪⎝⎭⎝

⎭

！

0z =是一级极点。

5.4求下列函数在各有限奇点处的留数：

（1）241z e z -；；（3）()

3211z +；（5）2

1sin z z ； 解：（1）223

44114822!3!z e z z z z z ⎛⎫-=---- ⎪⎝⎭

()1

4Re ,03

s f z c -==-⎡⎤⎣⎦； （3）z i =±是三级极点，

()()()333221113Re ,lim 2!1611z i i s i

z i z z →'''

⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦， ()()()333221113Re ,lim 2!1611z i i s i

z i z z →-'''

⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣

⎦； （5）()()22

21

11sin 21!n

n n z z z n z ∞

+=-=+∑， 2111Re sin ,06s z c z -⎡

⎤==-⎢⎥⎣

⎦；

5.6计算下列函数在z =∞的留数：

（1）2

1

z e ；（2）cos sin z z -；（3）2

23z

z +；（4）21z

e z -

解：（1）()2

1

242111

1

102!z n

e z z z

n z

=+

+⋅++

+<<∞！

展开式中不含正幂项，所以z =∞是2

1

z e 的可去奇点，且10c -=，

所以21Re ,0z s e ⎡⎤

∞=⎢⎥⎣⎦

；

（2）()234

cos sin 12!3!4!

z z z z z z z -=--

++-<∞

z =∞是cos sin z z -的本性奇点，[]Re cos sin ,0s z z -∞=；

（3）()2

20222123

1331n

n n n z z z z z z

∞==⋅=-++∑ (

)

2423913z z z z ⎛⎫

=-+-<<∞ ⎪⎝⎭

z =∞是

223z z +的可去奇点，22Re ,23z s z ⎡⎤

∞=-⎢⎥+⎣⎦

； （4）()23

2

222

421111

111112!3!1z z e e z z z z z z z z

z z

⎛⎫⎛⎫

=⋅=+++++++<<∞ ⎪ ⎪-⎝⎭

⎝⎭-

展开式中含无穷多正幂项，所以z =∞是21

z

e z -的本性奇点，

()()

211011

1sin 113!5!

21!n n

n i i c i n i +∞-==+++

=-=

+∑， 所以12sin Re ,=sin 1z e i

s c i i z i -⎡⎤∞=--=⎢⎥-⎣⎦

。

5.7证明：若0z 是的()f z 的m 级零点，则0z 是()()

()

f z

g z f z '=的一级极点。

证明：0z 是()f z 的()1m m >级零点，可设()()

()0m

f z z z z ϕ=-，

其中()z ϕ在0z 点解析，且()00z ϕ'≠，

()()

()()()1

00m m

f z m z z z z z z ϕϕ-''=-+-，

()()()()()()()()()

1

000m m

m

f z m z z z z z z

g z f z z z z ϕϕϕ-''-+-==- ()()()

()()

00m z z z z z z z ϕϕϕ'+-=

-

函数()()()0m z z z z ϕϕ'+-⎡⎤⎣⎦，()()0z z z ϕ-在0z 点均解析，

()()()()0

000z z m z z z z m z ϕϕϕ='+-=≠⎡⎤⎣⎦

，且0z 是()()0z z z ϕ-的一级零点，

所以0z 是()()

()

f z

g z f z '=

的一级极点。 5.9利用留数定理计算下列积分：

（1）22

4

1,:21C dz C x y x z +=+⎰；（2）()()

2232,:419C z dz C z z z +=-+⎰； （3）

sin 3

,:2

C z dz C z z =⎰；（4）tan ,:3C zdz C z π=⎰。 解：（1）被积函数有4i

e π和74

i e

π

两个极点在圆内，

7444441112Re ,Re ,111i i C dz i s e s e z z z ππ

π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

⎰ 74

43

3

11244i

i z e z e i z

z π

ππ==⎡⎤=+

⎢⎥⎣⎦