四边形复习提纲(经典题型解析)汇总
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四边形复习提纲
【知识要点】
1、四边形的内角和等于1800,n边形的内角和等于(n-2)·1800,任意多边形
的外角和等于3600,n边形的对角线条数为n(n-3)/2.
2、平行四边形
性质:(1)平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分;
(2)平行四边形是中心对称图形.
判定:(1)定义判定;(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形;(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
3、矩形
性质:(1)具有平行四边形的所有性质;(2)四个角都是直角;(3)对角线相等(推论:直角三角斜边上的中线等于斜边的一半);(4)既是中心对称图形,又是轴对称图形;(5)其面积等于两条邻边的乘积.
判定:(1)定义判定;(2)有三个角是直角的四边形;(3)对角线相等的平行四边形.
4、菱形
性质:(1)具有平行四边形的所有性质;(2)四条边相等;(3)对角线互相垂直平分,且每一条对角线平分一组对角;(4)既是中心对称图形,又是轴对称图形;(5)其面积等于两条对角线长乘积的一半(适用于所有对角线互相垂直的四边形).
判定:(1)定义判定;(2)四条边相等的四边形;(3)对角线互相垂直的平行四边形.
5、正方形
性质:具有矩形、菱形的一切性质.
判定:(1)定义判定;(2)先判定四边形为矩形,再判定它也是菱形;(3)先判定四边形为菱形,再判定它也是矩形.
6、等腰梯形
性质:(1)两腰相等;(2)两条对角线相等;(3)同一底上的两个底角相等;(4)是轴对称图形.
判定:(1)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;(2)对角线相等的梯形是等腰梯形.
7、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰。
推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边。
8、两个中位线定理
三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.
梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半(推论:梯形面积等于中位线长与高的乘积).
9、中心对称
定义:强调必须旋转
....180
...°重合。
定理:(1)关于中心对称的两个图形是全等形.
(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分(存在逆定理).
10、各种四边形之间的相互关系。
正方形
【方法总结】
与多边形的角度、边数、对角线数有关的问题,一般运用公式列方程解决。
2、分清各种四边形的联系与区别,明白定义、性质与判定方法的正确使用(可以根据条件与结论的前后顺序确定)。
3、对角线是研究四边形的常用辅助线,它既可以把四边形转化为三角形,又可以充分体现四边形的所有特征。
4、梯形中常添加辅助线,将其转化为平行四边形或者三角形:
(1)过较短底的顶点作梯形的高;(2)过一个顶点作腰的平行线;(3)过一个顶点作一条对角线的平行线; (4)延长两腰相交; (5)连结上底的一个顶点与另一腰的中点,并延长与下底的延长线相交. 梯形常用的辅助线如下图:
E
F E E
A D
B C C B D A
A
D
B
C
E E C B D
A
A
D
B C E
F
C B D
A
5、遇到有关中点的问题,常考虑构造中位线,或者使用“倍长中线法”.
6、解决折叠问题,抓住“折叠前后重合的图形关于折痕所在直线对称”这一关键。
7、“双重对称图形”判断妙着:一个轴对称图形,画出一条对称轴后,如果能画出与它垂直的另一条对称轴,那么这个轴对称图形同时也是中心对称图形,垂足即为对称中心;如果能画不出与它垂直的另一条对称轴,那么这个轴对称图形一定不是中心对称图形. 8、求特殊图形的面积,通常需要添加辅助线把它转化为规范图形,转化的方法主要有“割”、“补”两种. 9、在众多的定理中,要严格区分有无逆定理,比如平行线等分线段定理就不存在逆定理。 【典型例题剖析】
【例1】若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是_______.
剖析:设此凸多边形的边数为n ,根据多边形的内角和公式,以及“外角和等于3600
”的推论,列方程,得 (n - 2)·1800
=3600
. 解得 n=4.
【例2】下列图案既是中心对称,又是轴对称的是 ( )
A. B. C.
D.
剖析:由“方法总结”第7条,易知选A. 【例3】下列命题中,真命题是( )
A.有两边相等的平行四边形是菱形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.四个角相等的菱形是正方形
D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
剖析:由各类平行四边形的判定方法可知,A 、B 、D 都不对,它们分别缺少了 “两邻.边”、“平行..四边形”、“对角线互相平分....”等条件;C 中四边形的四个角相等,均为900,必是矩形,既是矩形又是菱形的四边形当然是正方形。故选C.
【例4】如图,□ABCD 的周长为16cm ,AC 、BD 相交于点O ,OE ⊥AC 交AD 于E ,则△DCE 的周长为( ) A .4 cm B .6cm C .8cm D .10cm
A
B
C
O
E
D