双曲线简单几何性质导学案

《双曲线的简单几何性质》导学案

编写人：熊华丽审核人：邓晖 编写时间：2014.1.9

班级：_________ 组别：_____ 组名：________________ 姓名：________

【学习目标】

（1）通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质。 （2）了解双曲线中心、实轴、虚轴、渐近线等概念，以及它们的关系及其几何意义。

（3）通过探究，明确双曲线性质的研究过程和研究方法，培养我们类比、分析、归纳、猜想、概括、

论证等逻辑思维能力。

（4）通过类比旧知识，探索新知识，培养我们学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇于创新的精神。

【学习重难点】

学习重点：双曲线的简单几何性质。 学习难点：双曲线的离心率和渐近线。

【学习方法】：自主探究 合作交流 【学习思路】：

通过类比椭圆的几何性质，然后利用双曲线的图象探究它的几何性质，再利用几何性质解决实际问题。

【知识链接】

复习1：双曲线的定义和标准方程是什么？

复习2：椭圆有哪些简单几何性质？以焦点在x 轴上的椭圆 为例，并画出草图。

【学习过程】

122

22=-b

y a x 为例研以

方

程

究双曲线的简单几何性质

（一）范围

问题1：看图可知其范围是什么？

问题2：类比椭圆，从双曲线方程如何研究其范围？

（二）对称性

问题3：看图可知其有怎样的对称性？ 问题4：类比椭圆，能否证明其对称性？

（三）顶点

问题5：双曲线的顶点有几个？坐标是什么？

新知：双曲线的实轴：线段12A A ，长为2a ，半实轴长a ；

双曲线的虚轴：线段12B B ，长为2b ，半虚轴长b . 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，

22-y =x m(m =0)

反思：与椭圆比较，为什么),0(),,0(21b B b B -不叫双曲线的顶点？

（四）渐近线

新知： 练习：（1） ___________________________

（2） ___________________________ 反思：（1）等轴双曲线的渐近线是什么？

（2）能不能从双曲线的方程直接推出渐近线方程？ （五）离心率：a

c e =

问题6：双曲线的离心率范围？ 问题7： 椭圆的离心率刻画了椭圆的圆扁程度，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特性呢？（将

a c e =

与a

b

k =的联系起来） 反思：等轴双曲线的离心率等于多少？

A1求双曲线11692

2

=-x y 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近方程。

A2 求双曲线的标准方程：

(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； (2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y 轴上；

【归纳小结】

展示单元一：双曲线的性质 展示单元二：双曲线的性质的应用

22

22

+=1(>>0)x y a b a b b

y x a 直线叫做双曲线的渐近线.

=±22

-=143x y

的渐近线为：

22

-=122x y 的渐近线为：

图形标准方程范围对称性顶点渐近线离心率

【达标检测】

A1．双曲线的（）

A．顶点坐标是，虚轴端点坐标是

B．顶点坐标是，虚轴端点坐标是

C．顶点坐标是，渐近线方程是

D．虚轴端点坐标是，渐近线方程是

A2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（）

A．B．C．D．

B3．双曲线中，，的长成等差数列，则．

A4．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是_______________．

A5．已知下列双曲线方程，求它的焦点坐标、离心率、渐近线方程．

（1）；（2）．

B6求与双曲线

22

1

916

x y

-=有共同渐近线，且过点(3,3)

-的双曲线方程。