§7.4散度与高斯公式

x y z 连续条件。
例1.求 Ò xdy dz+ydz dx zdx dy, 其中 是正方体 0 x a,0 y a,0 z a, 的表面，取外侧。
注：当 P x, Q y, R z 时，由 Gauss 公式得
Ò xdy dz ydz dx zdx dy 3 dV 3V .
一闭曲面，设 所围的空间域的体积为V ， 直径为d ， 外侧的单位法向量为n。 若当d 0时，
比式
1 V
A
ndS
的极限存在，则称此极限为
A 在点
M
处的散度，记为 divA M （简记为 divA ），即
Ò r
divA lim
1
r A
nvdS
d0 V
比式 1 V
vndS 表示小区域
内有“源”与
7.3.4 散度与高斯（ Gauss ）公式
一、高斯定理
设 是以分片光滑曲面 为界面的空间闭区域，向量场
A(x, y, z) {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} 在上具有一阶 连续偏导数，则有
乙 Ar nvdS Pdy dz Qdz dx Rdx dy
例 5．设有数量场 u ln x2 y2 z 2 ，求 div(gradu) 。
解： gradu {u , x
u , y
u} z
x2
1 y2
z
2
{x,
y,
z}
，
(
x
)
1
2x2
，
x x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 (x2 y 2 z 2 )2
(
y
)
1
2y2
，
y x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 (x2 y 2 z 2 )2
z
(
x
2
z y2
z2
)
1 x2 y2
z2
2z2
(x2 y2 z2)2
，
div(gradu)
x2
3 y2
z
2
2(x2 (x2 y
y2 z 2 z2
2) )2
x
2
1 y2
z
2
.
有向封闭曲面 外侧的流量 vndS ，其中n为 外
侧的单位法向量 ， 所围成的区域为 。 总流量 流出的流量—流入的流量。
（1） 0 ，流出大于流入，表明 内 有“源”； （2） 0 ，流出小于流入，表明 内 有“洞”；
（3）0 ，流出等于流入。
二、散度
定义 2 设有向量场 A(x, y, z) ，在场中取包含点 M 的任
)dV
积分中值定理
P Q R
( x
y
z
)
M
V ,
(M )
Ò
r divA
M
lim
d 0
r A
nvdS
V
P lim ( MM x
Q y
R ) z
M
( P x
Q y
R ) z
M
∵M
是场中任一点，
r divA
P
Q
R .
x y z
∴
divA
P
Q
R
x y z
—散度的计算公式
故
AndS
divAdV
曲面,其法向量与y 轴正向夹角大于 .
2
z
o x
1 y
7.3.5 散度
一、通量
定义 1 设 A(x, y, z) 为一向量场， 为场中一有向
曲面，称
A
ndS
为向量场
A穿过曲面
的通量
。
当 A 是电场强度E
时，
EndS
即为电通量；
当 A 是磁场强度H
时，
HndS
即为磁通量。
设一稳定的不可压缩的流体速度场为v(x, y, z) ，流过
。
Hale Waihona Puke Gauss 公式是一个极其重要的公式，它建立了曲 面积分与三重积分之间的联系，有着明确的物理意义， 即一区域中总散度等于通过边界的通量。
四、散度的性质
rr
r
r
(1) div(aA bB) adivA bdivB,其中a,b是常数。
(2) 若u( x, y, z)的梯度存在，则
r
rr
div(uA) udivA A gradu
故 V dV 13 xdydz ydzdx zdxdy 。
Ò 例2. 计算I
x3dy dz y3dz dx z3dx dy， x2 y2 z2
其中是球面x2 y2 z2 a2的内侧。
例3. 计算
I
2(
x 2
x2 )dy
dz
8 xydz
dx
4 x( x
z)dx
dy，
其中是旋转抛物面z x2 y2介于z 0和z 4两平面
(
P x
Q y
R z
)dV
其中 取外侧。此公式称为高斯公式。
注：
（1）Gauss 公式的条件是：封闭、外侧、偏导数连续， 三者缺一不可。
若积分曲面 不 封闭，则添加辅助曲面使之封闭； 当封闭曲面取内侧时，Gauss 公式中的符号应为负号； 应用Gauss 公式前首先要检验 P, Q, R, P , Q , R 的
设向量场 A {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} ，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，在场中取包含点
M (x, y,z) 的任一闭曲面 ，其所围区域 的体积 为 V ，d 为 的直径， n为 外侧的单位法向量， 由高斯公式得
r
Ò A
nvdS
P (
x
Q y
R z
有“洞”的平均状态，而 divv M 则表示在点 M 处
有“源”与有“洞”的状态。
向量场 A(x, y, z) 的散度是数量。若divA M 0 ，则表示
该点处有“源”；若 divA M 0 ，则表示该点处有“洞”；
若 divA M 0 ，则表示该点处既无“源”也无“洞”。
三、散度的计算
间的部分，取上侧。
解：积添分补曲平面面不1是：封闭z 曲4,面(x，2不 y能2 直4接) ，利取用下Ga侧us；s 公式计算。
zz
4 1
Dxyoo
2
xx
2 yy
例4. 计算
I x(8 y 1)dy dz 2(1 y2 )dz dx 4 yzdx dy
其中是由曲线z y 1 (1 y 3)绕 y 轴旋转所得的 x 0