传热学-第四章-热传导问题的数值解法

相邻节点之间的距离—— 步长（step length）
y
y
n=1
m=1
x
x
(m,n) m
m=M
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3.建立物理量的代数方程
节点(m,n)上物理量的代数方程称为离散方程（discretization equation），是数值 求解的重要环节。
4.设立迭代初场
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a，b相加得：
略去无穷小量有：
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同理，在y轴方向有：
这种使用被离散点本身、前后两点作近似的差分方法称为——中心差分 传热学中常用到的一阶二阶导数的差分表达式如下表所示（均分网格）：
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(2) 实验法: 是传热学的基本研究方法： a 偏向于机理研究； b.受场地，燃料动力源等因素的影响，无法完全复现研究对象，具有时间、
空间上的局限性 c.费用昂贵
(3) 数值方法
数值方法：把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值
的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从
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§4-2 内节点离散方程的建立方法
建立离散方程的常用方法：
(1) 泰勒级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
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一. 泰勒级数展开法
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y x
(m,n-1)
(m+1,n)
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(3) 外部角点
(m-1,n)
(m,n)
qw
(m,n-1)
y x
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热流边界qw分为三种情况讨论：
(2)第三类边界条件： (3) 辐射边界条件：
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而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解 a. 在很大程度上弥补了分析法的缺点；适应性强，特别对于复杂问题更显其 优越性； b. 与实验法相比成本低 数值解法： 有限差分法（finite-difference）、
有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
代数方程组的解法分为直接解法和迭代法，有限差分解法主要采用迭代法。其中 每一个未知数都需要给定一个初值，其合集称之为初场（initial field）
5.求解代数方程组
各项系数（l等）经确定后，在求解过程中不发生变化
r，c，l，e随温度变化
各项系数在每次迭代中更新
线性问题 非线性问题
6.解的分析
获得温度场不是最终目的，根据傅里叶定律获取界面处的热流q，热应力，热变形等。 若把矩形看成肋片，最终目的可能是求其肋效率等。
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§4-1 导热问题数值求解的基本思想
步骤： 建立控制方程及定解条件
确定节点（建立网格系统）
设立温度场的迭代初值
针对所有节点建立某物理量 的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛
否
是 解的分析
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研究对象：二维，稳态，常物性，无内热源导热问题
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§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中， 组成封闭的代数方程组，直接求解。
n=N
封闭
(m,n+1)
第二类边界条件或第三类边界 条件：部分边界温度未知。
不封闭
w (m-1,n)
n e
(m,n) s
(m,n-1)
(m+1,n)
研究传热学问题的三种基本方法：(1)理论分析法； (2)实验法；(3)数值计算法 特点：
(1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据； b 分析解具有普遍性，各参数的物理意义及影响清晰 c 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
前述2、3章对导热问题的求解思路： 导热微分方程+边界条件+初始条件
局限性： 简单几何形状及边界条件
稳态问题：直接积分法 非稳态问题：分离变量法 解析解（analytical solution）
工程实际中面临的大部分问题几何形状和边界条件要复杂的多，由于数学上 的困难还不能给出解析解，导致目前解析解只能作为某些简单问题的参照依 据，不能解决实际问题。
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1.建立控制方程，给出定解条件：
B.C.
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2.区域离散化-建立网格系统
网格线：一系列与坐标轴平行且相互交叉的网格线，将求解区域划分成许多子区域
节点（node）：网格线的交点，是需要确定温度值的点，是每个子区域的代表。 n=N
元体（element）或控制容积 （control volume）：相邻两 节点中锤线构成的区域。
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二. 热平衡法
思路：类似于导热微分方程的推导，利用傅里叶定律，直接写出每个控制体的能量守 恒方程。 均分网格：
(m,n)
非均网格只需对界面面 积做适当处理即可
直接将能量守恒原理与傅里叶定律应用于节点所代表的控制体。物理概念清晰， 推导过程简洁，应予以重点掌握！
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作业：
第四版：3-2，3-31，3-48
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第四章 导热问题的数值解法
Numerical Method for Heat Conduction
主要内容（重点掌握）：
➢导热问题数值求解的基本思想 ➢内外节点离散方程的建立 ➢非稳态导热问题的数值解法
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§4-0 引言
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2.节点方程组的求解
思路：写出所有内节点和边界节点的离散方程； 使得——未知节点个数=代数方程式个数
y
n=1
m=1
m
x
m=M
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百度文库16
1.边界节点离散方程的建立： (1) 平直边界上的节点
qw
(m,n+1)
(m-1,n)
(m,n)
(m,n-1)
qw
y x
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(2) 内部角点
qw
(m-1,n)
(m,n+1) (m,n)