不动点的性质与应用(教师版)

不动点的性质与应用

、不动点：

对于函数f (x)(x D ) ，我们把方程f (x) x的解x称为函数f (x) 的不动点，即y f (x)与y x图像交点的横坐标 .

例 1：求函数f(x) 2x 1的不动点 .

解：有一个不动点为1 例 2：求函数g(x) 2x2 1的不动点 .

1

解：有两个不动点1、1

2

二、稳定点：

对于函数f (x)(x D)，我们把方程f[ f (x)] x的解x称为函数f ( x)的稳定点，即y f [f (x)] 与y x 图像交点的横坐标 .

很显然，若x0为函数y f ( x )的不动点，则x0必为函数y f (x)的稳定点 .

证明：因为f (x0) x0，所以f ( f (x0)) f(x0) x0，故x0也是函数y f (x)的稳定点 . 例 3：求函数f(x) 2x 1的稳定点 .

解：设f(x) 2x 1，令2(2x 1) 1 x，解得x 1

故函数y 2x 1 有一个稳定点1 【提问】有没有不是不动点的稳定点呢？答：当然有例 4：求函数g(x) 2x2 1的稳定点 .

解：令g[g(x)] x，则2(2x21)2 1 x 2(4x44x21) 1 x 0 8x48x2 x 1 0，

1 因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两

解x1, x2 1

1

2

2

4 2 2

8x48x2x 1必有因式(x 1)(2x 1) 2x2 x 1

2 1 5

可得(x 1)(2x 1)(4x 2 2x 1) 0 另外两解x3,4 1 5，

4

故函数g(x) 2x2 1的稳定点是1、1、 1 5、 1 5，其中 1 5是稳定点，但不是不动点

2 4 4 4 下面四个图形，分别对应例 1、2、 3、 4.

y x 的交点的横坐标，稳定点是函数y f (x)(x D) 图像与曲线x f (y)(y D) 图像交点

的横坐标(特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与

其反函数图像交点的横坐标) .

由图 1 和图 3，我们猜测命题：若函数y f(x)(x D) 单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.

证明：( 1)1 若函数y f (x)(x D)有不动点x0，即f (x0) x0

f( f (x0)) f(x0) x0，故x0也是函数y f (x)的稳定点；

2 若函数y f (x)(x D)有稳定点x0，即f ( f(x0)) x0，

假设x0 不是函数的不动点，即f (x0) x0

①若 f(x0)>x0，则 f(f(x0))>f(x0)，即 x0>f(x0)与 f(x0)>x0 矛盾，故不存在这种情况；

②若 f(x0)

(2)1 若函数y f(x)(x D) 无不动点，由( 1)知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点；

2 若函数y f (x)(x D) 无稳定点，由( 1)知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无不动点；

综上，若函数y f (x)(x D) 单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.

例 5、对于函数 f(x)，我们把使得 f(x)= x 成立的 x 称为函数 f(x)的不动点。把使得

f(f(x))=x 成立的 x 称为函数的 f(x)的稳定点，函数 f(x)的不动点和稳定点构成集合分别记为A 和 B. 即 A={ x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}，

( 1)请证明： A? B；( 2) f (x) x2 a(a R,x R)，且A=B≠? ，求实数 a的取值范围 . 解：( 1 )证明：①若A 时，A B

②若A 时，对任意的x A，有f (x) x f[ f (x)] f (x) x x B A B 综上，得A B

1

(2) A x2 a x 0 有解1 4a 0 a

4

B ( x2-a) 2-a=x 有解 x4-2ax 2-x+a 2-a=0

4 2 2 2

A?B ∴即 x 4-2ax 2-x+a2-a=0 的左边有因式 x2-x-a ；

22

∴ (x2-x-a)(x 2+x-a+1)=0 ；

又 A=B ∴ x2+x-a+1=0 无实数根，或实数根是方程 x2-x-a=0 的根；

23

∴①若 x 2+x-a+1=0 无实数根，则△=1-4 (-a+1 )<0 a

4

②若 x2+x-a+1=0 有实根，且实根是方程 x2-x-a=0 的根；

13

作差，得 2x+1=0 x1a3

24

13

综上， a 的取值范围为[ 1,3]

44

例 6、已知函数y f (x),x D ，若存在x0 D，使得f (x0) x0，则称x0为函数f ( x)的不动点；若存

在x0 D ，使得f[ f (x0)] x0，则称x0 为函数f (x) 的稳定点，则下列结论中正确的是

________________________________________________________________________________ (填上

所有正确结论的序号 ).

12

① 、1 是函数f (x) 2x2 1的两个不动点；

2

②若x0为函数y f (x) 的不动点，则x0 必为函数y f (x) 的稳定点；

③若x0为函数y f (x) 的稳定点，则x0必为函数y f (x) 的不动点；

④函数f(x) 2x2 1共有三个稳定点；

⑤ f (x) e x x 的不动点与稳定点相同。

考点： [命题的真假判断与应用 ]