高阶偏导数

第五节 高阶偏导数
本节主要内容： 一、高阶偏导的概念 二、抽象复合函数的高阶偏导
第五节 高阶偏导数
定义 一阶偏导的偏导数,称为二阶偏导. 二阶偏导的偏导数,称为三阶偏导. 三阶偏导的偏导数,称为四阶偏导.
二阶以及二阶以上的称为高阶偏导.
二元函数 z f ( x, y) 二阶偏导数
z x
x y
x2 x x y2 y y
ln z ln y (ln z 1 ln y)3 .
例3 x ln z 所确定的函数 z f ( x, y),求 2z .
zy
xy
解
d
x z
d
ln
z y
zdx xdz z2
y z
d
z y
zdx xdz y ydz zdy
z2
z
y2
dz
z
z
x
dx
令 u xy v x2 y2 则 z f (u, v)
ux
ux
ux
zv
y fu v
y
f
v
v
y
zx yfu 2 xfv
zxy fu y( fu)y 2 x( fv)y fu y( xfuu 2 yfuv ) 2x( xfvu 2 yfvv ) fu xyfuu 2( x2 y2 ) fuv 4 xyfvv .
z y x
x
z y
y
z y
f xx ( x, y) f xy ( x, y)
f yx( x, y) f yy( x, y)
zxx
zxy
zyx
zyy
2z
2z
x 2
xy
2z
2z
yx
y 2
2 f
2 f
x 2
xy
2 f
2 f
yx
y 2
f11
f12
f 21
f 22
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
解 令 u xy v x2 y2 则 z f (u, v)
ux
ux
ux
zv
y fu v
y
f
v
v
y
zx yfu 2 xfv
zxx y( fu)x 2 fv 2x( fv)x
y( yfuu 2 xfuv ) 2 fv 2x( yfvu 2 xfvv ) y2 fuu 4 xyfuv 2 fv 4 x 2 fvv
z2 y(x
z)
dy
zx'
z
z
x
,
zy
z2 y(x
z)
z'' xy
(
x
z
z
)'y
(x
z)
z
' y
(x
z
z)2
x
z ' y
xz
' y
(x z)2
x z2 y(x z)
(x z)2
xz 2 y(x z)3
注
隐函数求二阶偏导时: 1.要在一阶偏导的基础上用原始法则求, 2.同时注意到 z f ( x, y), 3.遇到 z 的地方先写一偏导符号,
xf
(
y x
)
(
y ), x
求
x 2 zxx
2xyzxy
y 2 zyy .
解
fu
x
v
x f u
x
v
x
y
y
y
y
zx
f xf x x
f
y x
f
y x2
zy
xf y y
f
1
x
zxx
f x
y x2
f
y x
(
f
)x
2y x3
y x2
( )x
y2 x3
f
2y x3
y x
2 4
zxx
f x
(1)n阶偏导一共 2n 个.
(2)高阶偏导主要掌握二阶偏导.
(3)二阶偏导记号:
f xx
zxx
2z x 2
2 f x 2
f xy
zxy
2z xy
2 f xy
f yx
zyx
2z yx
2 f yx
f yy
zyy
2z
2 f
y 2
y 2
例3
x ln z zy
所确定的函数 z
f (x, y),求 2z .
二元函数 z f ( x, y) 三阶偏导数
x
2z
1 x2
y
x
2z x 2
3z x 3
y
2z x 2
3z x 2y
zxxx
x
2z
x
2z y 2
3z y 2x
2
y 2
y
y
2z y 2
3z y 3
z yy y
x
2z
3
xy
y
x
2z xy
3z xyx
y
2z xy
3z xy 2
2z x
4
yx y
例8 设 F ( x, y, x z, y2 w) 0, F 存在二阶连
偏导数,且F4 0
求
w y
2w , y2
解 记 G(x, y, z, w) F(x, y, x z, y2 w)
则 Gy F2 2 yF4
Gw F4
w F2 2 yF4
y
F4
w F2 2 yF4
y
F4
F(x, y, x z, y2 w)
2w y 2
(F2 2 yF4)y
F4 (F2 2 yF4) ( F4) 2
(F4)y
(F2
2 yF4)y
F22
F24 (2 y
w ) y
2F4
2
y[F42
F44
(2
y
w y
)]
(F4)y
F42
F44 (2 y
w ) y
y x2
f
y x
(
f
)x
2y x3
y x2
(
)x
y2 x3
f
2y x3
y2 x4
zxy
f
y
1 x
f
y x
(
f
)y
1 x2
y x2
(
)y
y x2
f
1 x2
y x3
zyy
( f )y
1 x
(
)y
1 x
f
1 x2
x2zxx 2xyzxy y2zyy 0.
作业题 习题八(A) 9、20①②.
再将前面求出的代入.
抽象复合函数的高阶偏导
fu(u, v), fv(u, v) 仍为u、v的函数.
例:
z f (u,v) arctan(uv)
u (x, y)
v (x, y)
f
u
1
v (uv
)2
fv
1
u (uv
)2
还是 u, v 的函数!
2z 2z
例4 设 z f ( xy, x2 y2 ), 求 x 2 , xy .
可导, g(u, v) 二阶偏导连续,求 2z .
xy
xFra Baidu bibliotek
解f 1 y
1x g
2y
x
f 1 y
1x
1x
g1 2
y g2 2
y
zx f x gx 2 f g1 yg2
zxy 2( f )y ( g1 )y g2 y( g2 )y
2 f xg12 g2 xyg22
例7
设
z
xy
解 令 F(x, y, z) x z ln z z ln y
则 Fx 1
Fy
z y
Fz ln z 1 ln y
故 z
1
z
z
x ln z 1 ln y y y(ln z 1 ln y)
1 z 1
2z
xy
y
( ln
z
1 1
ln
) y
(ln
z y z 1
y ln
y)2
例1 求 z x3 y 3x2 y3 的二阶偏导数.
解 z 3x2 y 6xy3
x
2z x 2
6 xy
6 y3
z
y
x3 9x2 y2
2z y 2
18x2
y
2z 3x2 18xy2
xy
2z 3x2 18xy2 yx
问题: 在什么条件下混合偏导数相等?
定理
若 f xy ( x, y) 和 f yx( x, y) 在点 ( x, y) 处连续,则 f xy ( x, y) f yx ( x, y).
例5
设z
1 x
f ( xy) y( x y),
f , 具有二阶
2z
连续偏导,求 xy .
x
x
x
x
解f u v
f u
v
y
y
y
y
zx
1 x2
f
1 x
f x
y x
1 x2
f
y x
f
y
zxy
1 x2
f y
1 x
f
y x
(
f
)y
y( )y
yf y
例6 设 z f (2x y) g( x, xy), 其中 f (t)二阶
x
2z yx
3z yx 2
y
2z yx
3z yxy
二元函数 z f ( x, y)的三阶偏导数共23=8项.
例2 设 u e xy sin z, 求
3u .
xyz
解 u ye xy sin z
x 2u e xy sin z xye xy sin z xy
e xy (1 xy)sin z 3u e xy (1 xy)cos z. xyz
x
z
y
y
z x x
2z x 2
z 2z y x xy
x
z y
2z yx
y
z y
2z y 2
z f ( x, y)对 x
的二阶偏导数.
z f (x, y)对 x, y 的混合 二阶偏导数.
z f ( x, y)对 y
的二阶偏导数.
二阶偏导数的记号:
z x x