高阶偏导数
第5节高阶偏导数
x x
x 2 z
2z x 2
(2 z) x z x
(2 z)2
(2 z) x x 2 z
(2 z)2
(2
z)2 (2 z)3
x2
.
7
例6 已知 u eu xy ，求 2u ， xy
解 设 F ( x, y, z) u eu xy ，
Fx y , Fy x , Fu 1 eu ,
y0 )表示
h2 f xx (x0 , y0 ) 2hk f x y (x0 , y0 ) k 2 f y y (x0 , y0 )
•
一般地,(h k )m x y
f (x0 ,
y0 ) 表示
m
Cmp
p0
h
pk
m
p
x
m f p ym
p
(x0 ,
y0 )
定理1. 设 z f (x, y) 在点(x0, y0 ) 的某一邻域内有直
6x2
y
9 y2
1.
2
例2 设 u eax cos by ，求二阶偏导数.
解 u aeax cosby , u beax sinby ;
x
y
2u x 2
a 2eax
cos
by
,
2u y 2
b2eax
cos by
,
2u abeax sinby , 2u abeax sinby .
xy
yx
一般地,若 2z 与 2z 是连续函数,则必相等. xy yx
a2 ( x
ay)
a 2
( x
ay)
a2
2u x 2
.
4
例4 证明函数 u ln x2 y2 z2 满足方程
《高阶偏导数》课件
如何计算高阶偏导数？
1
一阶偏导数
对每个变量分别求偏导数，得到一阶偏导数。
2ห้องสมุดไป่ตู้
二阶偏导数
对一阶偏导数再次求偏导数，得到二阶偏导数。
3
高阶偏导数
重复以上步骤，求取更高阶的偏导数。
高阶偏导数的应用
泰勒公式
高阶偏导数在泰勒公式中起到了 重要的作用。
极值与拐点
高阶偏导数可以帮助判断函数的 极值和拐点。
曲率半径
高阶偏导数的应用场 景
高阶偏导数在数学和物理等领 域有广泛的应用。
高阶偏导数与曲率半径的计算密 切相关。
案例分析
计算高阶偏导数的例子
以具体函数为例，演示如何计算高阶偏导数。
应用高阶偏导数分析问题的例子
通过实际问题，展示高阶偏导数在应用中的价 值。
总结
高阶偏导数的意义
高阶偏导数描述函数在某点处 的局部行为。
高阶偏导数的计算方 法
通过对一阶偏导数再次求导， 可以计算得到高阶偏导数。
《高阶偏导数》PPT课件
本课件介绍了高阶偏导数的概念、计算方法和应用场景，让你轻松掌握高阶 偏导数的知识。
什么是高阶偏导数？
高阶偏导数是指在多元函数中，对同一个变量求导多次得到的导数。 它的含义是描述函数在某点处各个方向的变化率，反映了函数的曲线在该点的局部形态。 高阶偏导数可以用符号表示，如f''(x)表示二阶偏导数。
偏导数与高阶导数
将点(1,3)代入上式，得
可得
所以
在求定点处的导数时，
先代入固定变量取值，
然后再求导，可简化求导计算。
或
2.偏导数的计算
例4 设
求
解
所以
二元以上多元函数的偏导数可类似地定义和计算
例 求函数 的偏导数.
对x求偏导数就是视y, z为常数，对x求导数
曲线
即
fx (x0, y0),
第二节 偏导数与高阶偏导数
4.偏导数与连续的关系
对于二元函数偏导数与连续的关系如何？
连续
解
一元函数可导与连续的关系：
可导
由偏导数定义
例
所以，函数在(0, 0) 处对变量 x，y 的偏导数存在.
让 沿直线 而趋于（0,0），
这里 为常数，
当劳动力投入不变时,产量对资本投入的变化率为
当资本投入不变时，产量对劳动力投入的变化率
该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不变的条件下，
Q表示产量.
别表示投入的劳动力数量和资本数量，
分
数为
引例
对另一个变量的变化率.
第二节 偏导数与高阶偏导数
此时沿着平行坐标轴的方向
偏导数存在 连续.
一元函数中在某点可导 连续，
可见，多元函数的理论除了与一元函数的理论有许多类似之处，也是还有一些本质的差别。
二、高阶偏导数
设函数 z = f (x, y) 在区域 D内有偏导函数 与
则称此极限值为z=f (x,y)在点(x0,y0)处对x的
记为
一元函数导数
如果极限存在,
函数有增量
相应
(1)定义
当y 固定在y0 , 而 x 在x0 处有增量△x时,
第5节高阶偏导数资料讲解
第5节高阶偏导数资料讲解高阶偏导数指的是一个多元函数的某个变量对应的偏导数再次进行偏导数运算的结果，即对偏导数求导。
这是微积分中的一个重要概念，其在数学和工程中都有广泛应用。
一阶偏导数是指函数在该变量处的变化率，二阶偏导数是指函数在该变量处变化率的变化率，以此类推。
具体来说，设函数f(x,y)含有两个自变量x和y，f对x的偏导数为fx，对y的偏导数为fy，则f的二阶偏导数分别为fxx，fyy，以及两个偏导数的混合导数fxy和fyx。
混合导数fxy和fyx并不相等，它们是对同一函数f(x,y)在不同自变量处求偏导数得到的结果。
具体计算方法为先对x求偏导数fx，再对fx关于y进行求偏导数，得到fxy；同理，对y求偏导数fy，再对fy关于x进行求偏导数，得到fyx。
高阶偏导数的计算方法同样可以采用类似的方式：先求出函数的一阶偏导数，然后对一阶偏导数进行求偏导数，即可得到高阶偏导数。
以二阶偏导数为例，设函数f(x,y)的一阶偏导数分别为fx和fy，则f的二阶偏导数fxx，fyy和fxy可以通过以下公式进行计算：fxx = ∂²f / ∂x²这些公式可以进一步推广到高阶偏导数的情况下。
例如，若f的二阶混合导数fxy在一个区域上连续，那么f的二阶偏导数fxx和fyy也存在，且它们相等，即：fxx = ∂²f / ∂x² = ∂/∂x(∂f / ∂x) = ∂/∂x(fx)此外，高阶偏导数具有一些基本性质，如连续性、可交换性和与区间交换极限的等式等。
这些性质为高阶偏导数的计算和应用提供了一定的便利。
总之，高阶偏导数是微积分理论中的重要概念，在许多数学和工程问题中都有广泛的应用。
通过对偏导数的反复求导，我们可以进一步研究函数的性质和变化规律，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式一、高阶偏导数对于函数f(x,y)的一阶偏导数来说，我们可以通过对x或y求导得到，分别记作∂f/∂x和∂f/∂y。
同样，我们可以对一阶偏导数再进行求导，得到二阶偏导数，记作∂^2f/∂x^2、∂^2f/∂x∂y和∂^2f/∂y^2，其中∂^2f/∂x^2表示先对x求导，再对x求导的结果，∂^2f/∂x∂y表示先对x求导，再对y 求导的结果。
类似地，我们可以继续进行求导的过程，得到高阶偏导数，如三阶偏导数、四阶偏导数等。
对于常用的高阶偏导数，我们可以通过迭代的方式求得。
例如，对于三阶偏导数∂^3f/∂x^3，我们可以先对x求一阶导数，再对x求一阶导数，再对x求一阶导数，即∂^3f/∂x^3=(∂/∂x)^3f(x)。
同样，我们也可以得到一些特殊的高阶偏导数，如混合偏导数∂^3f/∂x^2∂y，表示先对x求两阶导数，再对y求一阶导数。
高阶偏导数在数学物理学、工程数学等领域中有广泛的应用。
通过求取高阶偏导数，我们可以获得函数在其中一点的更精确的变化率信息，进而可以研究函数的特性、求解极值问题等。
二、泰勒公式泰勒公式是一种用多项式逼近函数的方法，通过将函数在其中一点的函数值和各阶导数的值带入多项式中得到。
泰勒公式主要有两种形式，即拉格朗日余项和佩亚诺余项。
1.拉格朗日余项形式设函数f(x)具有n+1阶导数，且在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，则对于该区间上的任意点x，存在一点ξ(x)在a和x之间，使得f(x)可以用泰勒公式表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中R_n(x)为拉格朗日余项，具体形式为R_n(x)=f^(n+1)(ξ(x))(x-a)^(n+1)/(n+1)!，其中f^(n+1)(ξ(x))为函数f(x)在点ξ(x)处的(n+1)阶导数。
6.2偏导数
例1 求zx3xy2 y3在点(-1, 2)处的偏导数.
解
z x 1 3y2 ,
z 6xy 3y2 , y
z (1 3y2 ) 13,
x x1
x1
y2
y2
z
(6xy 3y2 )
0
y x1
x 1
y2
y2
例6.2.2 z x y (x 0,且 x 1) 的偏导数 z , z .
x)'y
2x3
18xy.
❖练习2 求下列函数的二阶偏导数
(1) z arctan y
z x
1
1 ( y)2
(
y x2
x
)
x2
y
y2
,
z y
1 1 ( y)2
(1) x
x2
x
y2
,
x
x
2z x2
2xy (x2 y2 )2
,
2z xy
y2 x2 (x2 y2)2
,
2z y 2
2xy (x2 y2)2
x
y
(3)
u ln(x 2 y 3z)
u 1 ; u 2 ; u 3 x x 2 y 3z y x 2y 3z z x 2y 3z
2.求下列函数的二阶偏导数
(1) z x4 3x2 y3 z 4x3 6xy3; z 9x2 y2
x
y
2z x2
12x2
6y3;
2z xy
18xy2;
2z yx
18 xy 2 ;
2z y 2
18x2 y
(2) z ex cos y z ex cos y; z ex sin y
第五节高阶偏导数
′′ f 22
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
二元函数 z = f ( x , y ) 三阶偏导数
∂ z 2 ∂x
2
x
y
∂ ∂ 2z ∂ 3z 2= 3 ∂x ∂x ∂x
∂3z ∂ ∂ 2z 2= 2 ∂y ∂x ∂x ∂y ∂ ∂2z ∂3z 2= 2 ∂ x ∂ y ∂ y ∂x
3x y( x + y ) − x y ⋅ 2x ′ f x ( x, y) = 2 2 2 (x + y )
2 2 2 3
3x y( x + y ) − x y ⋅ 2x ′ f x ( x, y) = 2 2 2 (x + y )
2 2 2 3
3x y 2x y , = 2 − 2 2 2 2 x + y (x + y )
x 2x y ′ f y ( x, y) = 2 , − 2 2 2 2 x + y (x + y )
3 3 2
2
4
当 ( x , y ) = (0,0) 时,
0 f (∆x,0) − f (0,0) = lim = 0, ′ f x (0,0) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x f (0, ∆y) − f (0,0) 0 ′ f y (0,0) = lim = lim = 0, ∆y→0 ∆y ∆y→0 ∆y
∂z Fx′ 故 = − =− ∂x Fz′
Fy′ ∂z =− ∂y Fz′
z = x+z x+z − 2 1 z 2 z y =− x+z = y( x + z ) − 2 z
∂z ∂z ( x + z) − z 2 z ∂ ∂ z ∂y ( ) = ∂y = ∂y x + z ∂ x∂ y ( x + z )2 z′y =
偏导数与高阶偏导数
x
y
2z x 2
6
xy2
,
3z x 3
6
y2,
2z y 2
2x3
18xy;
2z xy 6x2 y 9 y2 1,
2z yx 6x2 y 9 y2 1.
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
数二 图阶 形混
斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 )就是曲面被平面 x x0 所截得的曲线在点 M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴
的斜率.
二、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
解
z 2x 3y ; x
z y
3x 2y .
z x
x 1 y2
2132 8 ,
z y
x 1 y2
3122 7 .
例 2 设z x y ( x 0, x 1)， 求证 x z 1 z 2z . y x ln x y
证
z yx y1,
x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
2r x 2
2r y 2
2r z 2
z. r
七、设
f
( x,
y)
x
2
arctan
y x
y2
arctan
x y
,
xy
0
0, xy 0
求 f x , f xy .
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结一、偏导数的定义及其计算方法偏导数是多变量函数的导数的一种特殊形式，它描述了函数在其中一给定点沿着坐标轴的变化率。
在多变量函数中，每个自变量的变化都可能对函数的整体形态产生影响。
因此，偏导数的计算方法就是在保持其他自变量不变的情况下，对其中一自变量求导。
偏导数的定义：设有函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，如果函数在点 P(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀) 的其中一邻域内对自变量 xi(i=1,2,...,n)的偏分之存在极限，那么称函数 f 在点 P 对 xi 的偏导数为 f 在点 P 对 xi 的偏导数。
记作∂f/∂xi 或 fxi'(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀)，即∂f/∂xi = fxi'(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀) = lim[h→0] (f(x₁₀, ...,xi₀+h, ..., xn₀) - f(x₁₀, ..., xi₀, ..., xn₀))/h其中 xi₀是点 P 在第 i 个坐标轴上的对应坐标。
偏导数的计算方法：计算偏导数涉及多个自变量，按照求导的规则进行计算，只对关心的自变量求导，其它自变量视为常数，然后再将结果代入原函数。
二、高阶偏导数高阶偏导数是指对多变量函数连续求导的过程。
一般我们首先计算一阶偏导数，然后继续对一阶偏导数进行求导，得到二阶偏导数，以此类推。
高阶偏导数的求导规则与一阶偏导数相同，只需要按照规则连续求导即可。
高阶偏导数可以提供更多的信息，用于描述函数的曲率、凸凹性等性质。
例如，对于函数f(x,y)，首先计算一阶偏导数：∂f/∂x = fx'(x, y) = ...∂f/∂y = fy'(x, y) = ...然后对一阶偏导数继续求导，得到二阶偏导数：∂²f/(∂x)² = (fx')' = ...∂²f/(∂y)² = (fy')' = ...∂²f/∂x∂y = (fx')'(y) = ...∂²f/∂y∂x = (fy')'(x) = ...其中，∂²f/∂x²表示对x进行两次求导，即x的二阶偏导数。
高阶导数与高阶偏导数
f (n)( x),
y(n),
dny dx n
或
d
n f (x) dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
湘潭大学数学与计算科
3
学学院
例1 已知函数 y ( x3 7 x 8)20(3x 7)30 求 y(90)和 y(91) .
(2) (Cu)(n) Cu(n)
(3) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u v (nk ) (k ) uv (n) k!
n
C u v k (nk ) (k ) n
莱布尼兹公式
湘潭大学数学与计算科
14
斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 因为 ln x2 y2 1 ln( x2 y2 ),
2
湘潭大学数学与计算科
11
学学院
因此
u x x x2 y2 ,
u y
x2
y
y2
,
2u x 2
(x2 y2) x 2x ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2u (x2 y2) y 2 y y2 ( x2 y2 )2
解 由于函数
y ( x3 7 x 8)20(3x 7)30
展开后的最高次幂项为
所以
330 x32030 330 x90
y(90) 330 90!, y(91) 0.
湘潭大学数学与计算科
4
学学院
一、高阶偏导数的定义
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
高等数学8-2偏导数
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法
先代后求
• 求一点处偏导数的方法 先求后代 利用定义
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
31
思考与练习 P73 题 5 , 6
d dy
f
(0,
y)
y
0
32
P73 题6
(1)
z x
x
1 y2
,
z y
x
2y y2
2z x2
(x
1 y2
)2
,
2z x y
(x
2y y2
)2
,
2z y2
2(x y2 ) (x y2)2
(2) z yx y1, z x y ln x
z f (x, y) 由一x 元 x函 数导
数的几何意义：
x
z
= tan
y
M
0
x =x0 (x , y )
.
y
.
19
几何意义: 偏导数 f x ( x0 , y0 )就是曲面被平面 y y0所截得 的曲线在点M0处的切线M0Tx对 x轴的斜率. 偏导数 f y ( x0 , y0 )就是曲面被平面 x x0所截得 的曲线在点M0处的切线M0Ty对 y轴的斜率.
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
高数第二节：偏导数
fx (x, y)
y( x2 y2 ) 2x xy (x2 y2)2
y( y2 x2) ( x2 y2 )2 ,
由对称性得
fy(x, y)
x(x2 y2) ( x2 y2 )2 ,
xy
例5
设
f
( x,
y)
x
2
y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
考虑二元函数 z = f ( x , y ) 若将 y 固定（看作常量），则它成为一个关于 x 的 一元函数，可将其对 x 求导。
这个关于 x 的一元函数对 x 的导数，称为二元函数 z = f (x , y ) 关于 x 的偏导数
同理，可定义 z = f ( x , y ) 关于 y 的偏导数。
u beax sin by; y
2u x 2
a 2e ax
cos
by,
2u y2
b2eax
cos
by,
2u abeax sin by, 2u abeax sin by.
xy
yx
2u 2u xy yx
问题： 混合偏导数一定相等吗？
x3y
例
8
设
f
(
x,
y)
x2
y2
0
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
证
z yx y1,
x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
y x ln x y y
ln x
x y x y 2z.
原结论成立．
例 3 设 z arcsin x ，求 z ， z .
高阶导数与高阶偏导数
03
高阶偏导数
高阶偏导数的定义
总结词
高阶偏导数是函数在某一点的各阶偏导数。
详细描述
高阶偏导数是指函数在某一点的各阶偏导数。对于一个多元函数，在某一点处的偏导数表示该函数在该点的切线 斜率。高阶偏导数则表示该切线的弯曲程度，即函数在该点的各阶偏导数。
二阶及以上的导数和偏导数可以描述 函数图像的凹凸性和拐点等几何特性。
偏导数表示函数图像上某一点处沿某 一方向的变化率。
02
高阶导数
高阶导数的定义
定义
高阶导数是函数在某一点的导数的导数，即函数在这一点连续可导的情况下，求导数的过程可以反复 进行，得到的极限值称为高阶导数。
表示方法
对于一元函数，高阶导数表示为f^(n)(x)，其中n表示求导的次数；对于多元函数，高阶偏导数表示为 ∂^n/∂x_1∂x_2...∂x_n。
高阶导数与高阶偏导数
目录
• 导数与偏导数的定义 • 高阶导数 • 高阶偏导数 • 导数与偏导数的应用 • 高阶导数与高阶偏导数的应用
01
导数与偏导数的定义
导数的定义
函数在某一点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。
导数是函数值随自变量变化的速 率，即函数在某一点的切线斜率。
导数公式：$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
高阶导数可以用于分析函数的局部形态和性质，如拐源自、 极值点、凹凸性等。详细描述
通过求取函数的高阶导数，可以判断函数的单调性、凹凸 性以及拐点，从而更深入地了解函数的形态和性质。
总结词
07_高阶偏导数
6. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶,二阶偏数. 7. 知道二元函数的泰勒公式形式. 8. 知道 n 元函数的偏导数概念及其求法. 9. 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法. 10. 了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程.知道曲面方程. 11. 了解曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线的概念,并能熟 练求出它们的方程.知道曲线族的包络的概念及其法. 12. 理解二元函数无约束极值的概念,能熟练求出二元函数的无约 束极值.了解条件极值(有约束极值)的概念,能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值. 13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法.会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题.
f ( x0 , y 0 ) f ( x0 , y 0 ) 则必有 . = yx y xy
2
2
废话! 求出偏导数 才能判断连续性, 这时 一眼就可看出混合偏导 数是否相等了, 还要定 理干什么.
有些函数不必 求出其导数,就可知 道它的导函数是否 连续. 懂吗!
证
在 U(( x0 , y0 )) 内考虑式子
连续,可导, 连续,可导, 由拉格朗日中值定理得 A = ′( x0 + θ1x)x , (0 < θ1 < 1) .
即 再运用拉格朗日中值定理, 关于变量 y 再运用拉格朗日中值定理, 得
同理, 同理, 令
则
运用拉格朗日中值定理, 先关于变量 y 再关于变量 x 运用拉格朗日中值定理, 得
故
y
2z 2z 2 x2 y 3 x2 y = = ( x e ) = ( 2 x + 2 x y )e x xy yx
例
2u . 设 u = f ( x + y + z , xyz ) , 且 f ∈ C 2 , 求 xy
高阶偏导数
∂r x x 2 2 2 ∵ = ( x + y + z )′x = 解： = ∂x x2 + y 2 + z 2 r ∂r y ∂r z = 由对称性 ⇒ = , ∂y r ∂z r x +y +z ⎛ x⎞ ⎛ y⎞ ⎛ z⎞ ∴ 左边 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = = 1 = 右边 2 r ⎝r⎠ ⎝r ⎠ ⎝r⎠
⎧ z = f ( x, y ) 何意义， f x′( x 0 , y 0 ) = 曲线 Γx： 上在点 ( x 0 , y 0 , z 0 )处切线 ⎨ ⎩ y = y0 M 0Tx 关于 x 轴的斜率，即： f x′( x 0 , y 0 ) = tan α ⎧ z = f ( x, y ) 同理： f y′ ( x 0 , y 0 ) = 曲线 Γ y： 上在点 ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 )) 处 ⎨ ⎩ x = x0
2 3
′ ( 2 ,1) = (16 y + 3 y 2 ) | y =1 = 19 ⇒ fy
4. 例子
例5
∂z ∂z 设z = f ( x, y ) = x sin 2 y 求： , ∂x ∂y
∂z 解： = ( x sin 2 y )′x = sin 2 y ∂x ∂z = ( x sin 2 y )′y = x (sin 2 y )′y = 2 x cos 2 y ∂y
3. 可偏导数与连续的关系
由以上两例可得如下结 论： ⇒ / f ( x, y )在( x0 , y0 )连续 f ( x, y )在( x0 , y0 )可偏导 ⇐ /
4. 例子
例3
y2 −1 设 z = f ( x , y ) = arctan 2 + y 2 ln( x + 1 + x 2 ) x + y2 求： f x′ ( 0 ,1) 和 f y′ ( 0 ,1)
高阶偏导数先代后求
高阶偏导数先代后求【原创实用版】目录1.高阶偏导数的概念2.高阶偏导数与普通函数的导数的区别3.高阶偏导数的求解方法4.高阶偏导数在实际问题中的应用5.总结正文一、高阶偏导数的概念在数学中，高阶偏导数是指一个多元函数的偏导数，它是关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定。
偏导数在向量分析和微分几何中很有用。
高阶偏导数是针对函数的一个自变量求多次导数，而偏导数是针对多自变量的函数中的一个自变量进行求导。
二、高阶偏导数与普通函数的导数的区别普通函数的导数涉及到所有自变量的变化，因此不能先代后算。
如果先代后算，可能会导致结果不准确。
而在计算高阶偏导数时，可以先代后算。
这是因为高阶偏导数是针对一个自变量进行求导，与其他自变量无关。
三、高阶偏导数的求解方法求高阶偏导数的方法与求普通函数的导数类似，只不过需要对一个自变量进行多次求导。
在求解高阶偏导数时，需要注意保持其他变量的恒定。
例如，对于函数 f(x, y)，求关于 x 的二阶偏导数，可以先对 y 求一次导数，然后再对 x 求一次导数。
四、高阶偏导数在实际问题中的应用高阶偏导数在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学、工程学和经济学等领域。
在物理学中，高阶偏导数可以用来描述物体的振动和波动；在工程学中，高阶偏导数可以用来分析结构的稳定性和强度；在经济学中，高阶偏导数可以用来研究经济系统的稳定性和动态行为。
五、总结高阶偏导数是一种重要的数学概念，它在向量分析和微分几何中具有重要意义。
高阶偏导数的求解方法与普通函数的导数类似，只需要对一个自变量进行多次求导。
7.5高阶偏导数与高阶全微分
′′ ′′ ′′ ′′ = ( f xx dx + f yx dy )dx + ( f xy dx + f yy dy )dy
2 2
′′ ′′ ′′ = f xx (dx) + 2 f xy dxdy + f yy (dy )
习惯上记(dx) = dx , (dy ) = dy
2 2 2 2
′′ ′′ ′′ ∴ d 2 z = f xx dx 2 + 2 f xy dxdy + f yy dy 2
∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂u ∂v = • + • = f1′ + f 2′ = yf1′+ 2 xf 2′ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂x ∂x
其中f1′, f 2′是关于u , v的函数
∂f1′ ∂u ∂f1′ ∂v Q ( yf1′)′x = y ( f1′)′x = y • + • ∂u ∂x ∂v ∂x
dx + 2dy + dz = e
x− y − z
(dx − dy − dz )
= ( x + 2 y + z )(dx − dy − dz )
x + 2 y + z −1 x + 2y + z + 2 ∴ dz = dx − dy 1+ x + 2 y + z 1+ x + 2 y + z
∂z x + 2 y + z − 1 2 ∴ = = 1− ∂x 1 + x + 2 y + z 1+ x + 2 y + z
′′ ′′ ′′ ′′ = f1′+ xyf11 − y f12 + 2 x f 21 − 4 xyf 22
高阶偏导数、方向导数与梯度PPT课件
有
而初等 说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,
函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. (与求导次序无 关. )
7/30
二、方向导数
f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处 定义: 若函数
沿方向
0
l
, , ) 存在下列极 l (方向角为
6/30
r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 ) f y x ( x0 , y0 )
(证明在P29-30)
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , 当三阶混合偏导数 y , (z 在点 x) ,, y , z) 连续时,
n
3/3
3 例1. 求函 z x2y . ze 的二阶偏导数及 2 数 y x z z 解 : 2 e x2y e x2y y x
z x2y e 2 x 2 2 z z x2y x2y 4e 2e 2 y x y 3 2 z z x2y ( ) 2 e y x 2 x y x 2z 2z , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 x y y x
导 数: z 2z z 2 z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x y x x x x
2 z z ( ) f y x ( x, y) f 21 ( x, y); x y x y 2 z z ( ) f y y ( x, y) f 22 ( x, y) 2 y y y
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(1)n阶偏导一共 2n 个.
(2)高阶偏导主要掌握二阶偏导.
(3)二阶偏导记号:
f xx
zxx
2z x 2
2 f x 2
f xy
zxy
2z xy
2 f xy
f yx
zyx
2z yx
2 f yx
f yy
zyy
2z
2 f
y 2
y 2
例3
x ln z zy
所确定的函数 z
f (x, y),求 2z .
第五节 高阶偏导数
本节主要内容： 一、高阶偏导的概念 二、抽象复合函数的高阶偏导
第五节 高阶偏导数
定义 一阶偏导的偏导数,称为二阶偏导. 二阶偏导的偏导数,称为三阶偏导. 三阶偏导的偏导数,称为四阶偏导.
二阶以及二阶以上的称为高阶偏导.
二元函数 z f ( x, y) 二阶偏导数
z x
x y
x2 x x y2 y y
xy
解 令 F(x, y, z) x z ln z z ln y
则 Fx 1
Fy
z y
Fz ln z 1 ln y
故 z
1
z
z
x ln z 1 ln y y y(ln z 1 ln y)
1 z 1
2z
xy
y
( ln
z
1 1
ln
) y
(ln
z y z 1
y ln
y)2
例5
设z
1 x
f ( xy) y( x y),
f , 具有二阶
2z
连续偏导,求 xy .
x
x
x
x
解f u v
f u
v
y
y
y
y
zx
1 x2
f
1 x
f x
y x
1 x2
f
y x
f
y
zxy
1 x2
f y
1 x
f
y x
(
f
)y
y( )y
yf y
例6 设 z f (2x y) g( x, xy), 其中 f (t)二阶
z y x
x
z y
y
z y
f xx ( x, y) f xy ( x, y)
f yx( x, y) f yy( x, y)
zxx
zxy
zyx
zyy
2z
2z
x 2
xy
2z
2z
yx
y 2
2 f
2 f
x 2
xy
2 f
2 f
yx
y 2
f11
f12
f 21
f 22
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
再将前面求出的代入.
抽象复合函数的高阶偏导
fu(u, v), fv(u, v) 仍为u、v的函数.
例:
z f (u,v) arctan(uv)
u (x, y)
v (x, y)
f
u
1
v (uv
)2
fv
1
u (uv
)2
还是 u, v 的函数!
2z 2z
例4 设 z f ( xy, x2 y2 ), 求 x 2 , xy .
二元函数 z f ( x, y) 三阶偏导数
x
2z
1 x2
y
x
2z x 2
3z x 3
y
2z x 2
3z x 2y
zxxx
x
2z
x
2z y 2
3z y 2x
2
y 2
y
y
2z y 2
3z y 3
z yy y
x
2z
3
xy
y
x
2z xy
3z xyx
y
2z xy
3z xy 2
2z x
4
yx y
x
2z yx
3z yx 2
y
2z yx
3z yxy
二元函数 z f ( x, y)的三阶偏导数共23=8项.
例2 设 u e xy sin z, 求
3u .
xyz
解 u ye xy sin z
x 2u e xy sin z xye xy sin z xy
e xy (1 xy)sin z 3u e xy (1 xy)cos z. xyz
F4
F(x, y, x z, y2 w)
2w y 2
(F2 2 yF4)y
F4 (F2 2 yF4) ( F4) 2
(F4)y
(F2
2 yF4)y
F22
F24 (2 y
w ) y
2F4
2
y[F42
F44
(2
y
w y
)]
(F4)y
F42
F44 (2 y
w ) y
xf
(
y x
)
(
y y
y 2 zyy .
解
fu
x
v
x f u
x
v
x
y
y
y
y
zx
f xf x x
f
y x
f
y x2
zy
xf y y
f
1
x
zxx
f x
y x2
f
y x
(
f
)x
2y x3
y x2
( )x
y2 x3
f
2y x3
y x
2 4
zxx
f x
例8 设 F ( x, y, x z, y2 w) 0, F 存在二阶连
偏导数,且F4 0
求
w y
2w , y2
解 记 G(x, y, z, w) F(x, y, x z, y2 w)
则 Gy F2 2 yF4
Gw F4
w F2 2 yF4
y
F4
w F2 2 yF4
y
z2 y(x
z)
dy
zx'
z
z
x
,
zy
z2 y(x
z)
z'' xy
(
x
z
z
)'y
(x
z)
z
' y
(x
z
z)2
x
z ' y
xz
' y
(x z)2
x z2 y(x z)
(x z)2
xz 2 y(x z)3
注
隐函数求二阶偏导时: 1.要在一阶偏导的基础上用原始法则求, 2.同时注意到 z f ( x, y), 3.遇到 z 的地方先写一偏导符号,
y x2
f
y x
(
f
)x
2y x3
y x2
(
)x
y2 x3
f
2y x3
y2 x4
zxy
f
y
1 x
f
y x
(
f
)y
1 x2
y x2
(
)y
y x2
f
1 x2
y x3
zyy
( f )y
1 x
(
)y
1 x
f
1 x2
x2zxx 2xyzxy y2zyy 0.
作业题 习题八(A) 9、20①②.
例1 求 z x3 y 3x2 y3 的二阶偏导数.
解 z 3x2 y 6xy3
x
2z x 2
6 xy
6 y3
z
y
x3 9x2 y2
2z y 2
18x2
y
2z 3x2 18xy2
xy
2z 3x2 18xy2 yx
问题: 在什么条件下混合偏导数相等?
定理
若 f xy ( x, y) 和 f yx( x, y) 在点 ( x, y) 处连续,则 f xy ( x, y) f yx ( x, y).
令 u xy v x2 y2 则 z f (u, v)
ux
ux
ux
zv
y fu v
y
f
v
v
y
zx yfu 2 xfv
zxy fu y( fu)y 2 x( fv)y fu y( xfuu 2 yfuv ) 2x( xfvu 2 yfvv ) fu xyfuu 2( x2 y2 ) fuv 4 xyfvv .
解 令 u xy v x2 y2 则 z f (u, v)
ux
ux
ux
zv
y fu v
y
f
v
v
y
zx yfu 2 xfv
zxx y( fu)x 2 fv 2x( fv)x
y( yfuu 2 xfuv ) 2 fv 2x( yfvu 2 xfvv ) y2 fuu 4 xyfuv 2 fv 4 x 2 fvv
ln z ln y (ln z 1 ln y)3 .
例3 x ln z 所确定的函数 z f ( x, y),求 2z .
zy
xy
解
d
x z
d
ln
z y
zdx xdz z2
y z
d
z y
zdx xdz y ydz zdy
z2
z
y2
dz
z
z
x
dx
可导, g(u, v) 二阶偏导连续,求 2z .
xy
x
解f 1 y
1x g
2y
x