2020届全国各地高考试题 极坐标与参数方程专题

极坐标和参数方程

1.（2020•全国1卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,

sin k k

x t y t

⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？

（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．

2.（2020•全国2卷）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：2

2

4cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t t

y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-

⎪⎩

（t 为参数）.

（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.

3.（2020•全国3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2

2

223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩

（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．

4.（2020•江苏卷）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π

(,)6

B ρ在圆:4sin

C ρθ

=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值

（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．

不等式选讲

1.（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；

（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．

2.（2020•全国2卷）已知函数2

()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.

【答案】（1）32x x ⎧

≤⎨⎩

或112x ⎫≥⎬⎭；

（2）(][),13,-∞-+∞.

3.（2020•全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；

（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }

4.（2020•江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．

答 案 极坐标和参数方程

1.（2020•全国1卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,

sin k k

x t y t

⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？

（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．

【答案】（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11

(,)44

.

【解析】（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；

（2）当4k =时，0,0x y ≥≥，曲线1C

的参数方程化为2

2

cos (sin t

t t

==为参数），两式相加消去参数t ，得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线2C 化为直角坐标方程，联立12,C C 方程，即可求解. 【详解】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x t

t y t

=⎧⎨

=⎩为参数），

两式平方相加得2

2

1x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；

（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44

cos (sin x t

t y t ⎧=⎨=⎩

为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C

的参数方程化为22

cos (sin t

t t

==为参数）， 两式相加得曲线1C

1=，

1=

1,01,01y x x y =-≤≤≤≤，

曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，

联立12,C C

方程1

41630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩

，整理得12130x -=

12=

136=（舍去），

11,44

x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11

(,)44.

【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.

2.（2020•全国2卷）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：22

4cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t t

y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-

⎪⎩

（t 为参数）.

（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.

【答案】（1）1:4C x y +=；22

2:4C x y -=；（2）17

cos 5

ρθ=

. 【解析】（1）分别消去参数θ和t 即可得到所求普通方程；

（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.

【详解】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=；

由11

x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

得：2222221

212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=.

（2）由22

44x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >， 则22

253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，

∴所求圆的直角坐标方程为：2

2

2

17171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，即22175x y x +=， ∴所求圆的极坐标方程为17

cos 5

ρθ=

. 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐