n维向量空间
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n维向量空间
x11 x22 xnn
称有序数组 ( x1, x2 , , xn ) 或 ( x1, x2 , , xn )T 为
在基 1,2 , ,n 下的坐标.
基变换与坐标变换
1. 设n维向量空间 V 有两组不同的基，分别为： 1, 2 , …, n , 1 , 2 , …, n ,
注意： (1)只含零向量的向量组无极大无关组。
(2)如果一个向量组1,2 , ,m线性无关，则它
自身就是自己的极大无关组。
• 定义3 向量组 1,2 , ,m 的极大无关组
所含向量个数r称为向量组的秩。记为
r(1 ,2 , ,m ) r
规定只含零向量的向量组的秩为零。
性质
则 t s
推论2 若线性无关的向量组 1, 2 ,, t 与线
性无关的向量组 1, 2 ,, s 等价,则 t s
2.极大无关组和秩
• 定义2 在向量组(I) 1,2 , ,m 中，
如果存在r个向量 i1 ,i2 , ,ir ，满足：
(1) i1 ,i2 , ,ir 线性无关； （无关性）
1 = k111 + k212 + … + kn1n
且
2 = k121 + k222 + … + kn2n
… …… ……… …… …
n = k1n1 + k2n2 + … + knnn
利用矩阵形式可表为：
k11 k12
(1,
2,
…,
n)
=
(1,
2,
…,
n)
k21
k22
kn1
kn2
k1n
称有序数组 ( x1, x2 , , xn ) 或 ( x1, x2 , , xn )T 为
在基 1,2 , ,n 下的坐标.
基变换与坐标变换
1. 设n维向量空间 V 有两组不同的基，分别为： 1, 2 , …, n , 1 , 2 , …, n ,
注意： (1)只含零向量的向量组无极大无关组。
(2)如果一个向量组1,2 , ,m线性无关，则它
自身就是自己的极大无关组。
• 定义3 向量组 1,2 , ,m 的极大无关组
所含向量个数r称为向量组的秩。记为
r(1 ,2 , ,m ) r
规定只含零向量的向量组的秩为零。
性质
则 t s
推论2 若线性无关的向量组 1, 2 ,, t 与线
性无关的向量组 1, 2 ,, s 等价,则 t s
2.极大无关组和秩
• 定义2 在向量组(I) 1,2 , ,m 中，
如果存在r个向量 i1 ,i2 , ,ir ，满足：
(1) i1 ,i2 , ,ir 线性无关； （无关性）
1 = k111 + k212 + … + kn1n
且
2 = k121 + k222 + … + kn2n
… …… ……… …… …
n = k1n1 + k2n2 + … + knnn
利用矩阵形式可表为：
k11 k12
(1,
2,
…,
n)
=
(1,
2,
…,
n)
k21
k22
kn1
kn2
k1n
3.2 n维向量空间
2.表示方法 2.表示方法
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示； 有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量， 维向量写成一行， 行向量，
3．向量的相等 ． 如果n维向量 如果 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等， 的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等， 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量 ． 零向量： 分量全为零的向量称为零向量 零向量， 零向量 分量全为零的向量称为零向量，记作 0． 即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量， 维向量还可以写成一列， 维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行 列的矩阵； × n 的矩阵 维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是 行一列的矩阵 n × 1 的矩阵 维列向量就是n行 列的矩阵.
为向量α 与 β 的和； 称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积． 为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量
α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示； 有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量， 维向量写成一行， 行向量，
3．向量的相等 ． 如果n维向量 如果 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等， 的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等， 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量 ． 零向量： 分量全为零的向量称为零向量 零向量， 零向量 分量全为零的向量称为零向量，记作 0． 即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量， 维向量还可以写成一列， 维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行 列的矩阵； × n 的矩阵 维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是 行一列的矩阵 n × 1 的矩阵 维列向量就是n行 列的矩阵.
为向量α 与 β 的和； 称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积． 为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量
α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；
n维向量空间
n维向量空间在数学中，向量是用来表示方向和大小的量，而n维向量空间是指由n个方向上的向量组成的空间。
这种空间在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，比如计算机图形学、机器学习、统计学等。
向量的定义和性质一个n维向量可以表示为一个包含n个实数的有序集合，通常写成列向量的形式：$$ \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_n \\end{pmatrix} $$在 n 维空间中，两个向量的加法和数量乘法满足以下性质：1.加法交换律：$$ \\mathbf{u} + \\mathbf{v} = \\mathbf{v} + \\mathbf{u} $$2.加法结合律：$$ \\mathbf{u} + (\\mathbf{v} + \\mathbf{w}) = (\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) + \\mathbf{w} $$3.数量乘法结合律：$$ c(\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) = c\\mathbf{u} + c\\mathbf{v} $$4.数量分配律：$$ (c+d)\\mathbf{u} = c\\mathbf{u} + d\\mathbf{u} $$5.数量乘法分配律：$$ c(d\\mathbf{u}) = (cd)\\mathbf{u} $$6.标量乘法的单位元：$$ 1\\mathbf{u} = \\mathbf{u} $$n维向量空间的例子n维向量空间并不局限于几何空间的概念，它可以应用于更广泛的领域。
比如在机器学习中，特征向量常常被表示为n维空间中的一个点，这个点对应于特征空间中的一个特定特征组合。
另外，在数字信号处理中，信号通常被表示为一个n 维向量，这样可以更好地处理信号的复杂性。
向量的内积和外积在 n 维空间中，向量的内积和外积是两个重要的运算。
内积定义如下：$$ \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v} = \\sum_{i=1}^{n} u_i v_i $$内积有许多重要的性质，比如内积为零表示两个向量正交，内积的值与向量夹角的余弦有关等。
线性代数n维向量空间小结
A 0
9
证：1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
又1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
向量组等价，秩相等。
1. 1＋2，2＋3， ，n1＋n ,n＋1相关性？
(1)n为偶数：必相关。
(2)n为奇数：线性无关
1，
，
2
，
n线性无关。
10
例如n 3时，
1 0 1
1＋
2
, 2＋ 3
,3
1
1,
2
,3
解之,得 k0 k1 k2 knr 0,
故 , 1, 2 ,, nr 线性无关.
35
(3)设X为方程组AX B的任一解,则X可表为
X t11 t22 tnrnr t1( 1 ) tnr ( nr ) (1 t1 tnr) t1( 1) tnr ( nr)
零解,则对任意向量 ,都有
23
k1 1 k2 2 kr r (k1t1 k2t2 kr tr) 0
由k1 , k 2 ,, k r 不全为零得知:
1 t1 , 2 t 2 ,, r t r
线性相关.
24
例3 已知向量组 1 , 2 ,, s的秩是r,证明: 1 , 2 ,, s中任意r个线性无关的向量均构成它的
k11 k22 knrnr 0,
k1 k 2 k nr 0,
于是 ,1, 2, , nr线性无关.
34
(2)由线性方程组解的性质知 i (i 1,2,
,n r)都是AX B的解,再证它们线性无关.
令 k0 k1( 1) knr ( nr) 0, 则(k0 k1 knr) k11 knrnr 0, 由(1)的证明知 ,1,2 ,,nr 线性无关,所以
北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
3.3向量空间
2 3 2 (b1 , b2 ) = ( a 1 , a 2 , a 3 ) 3 1 4 3 1 . 2 3
思考题
设V = {x = ( a , b ) 运算如下 : 加法 : (a , b ) ⊕ ( c , d ) = ( a + c , bd ), 数乘 : k o (a , b ) = (lg a , b k ), k ∈ R V是不是向量空间 ? 为什么 ?
T
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V2 = x = (1, x 2 , L , x n ) x 2 , L , x n ∈ R
T
{
}
解
V2不是向量空间 .
因为若 α = (1, a 2 ,L, a n ) ∈ V2 ,
T
则2α = (2,2a 2 , L ,2a n ) V2 .
T
维向量， 例4 设a, b为两个已知的 n维向量，集合
V = {x = λa + b λ , ∈ R} 试判断集合是否为向量空间. 试判断集合是否为向量空间
解 V是一个向量空间 .因为若 x1 = λ1a + 1b x 2 = λ 2 a + 2 b， 则有
x1 + x 2 = (λ1 + λ 2 )a + ( 1 + 2 )b ∈ V ,
： 向量空 的
{( x, y,z) ax+by+cz=d} {r =( x, y,z)
P( x, y, z)
T
ax+by+cz=d}
T
r = ( x, y, z)
n 维向量没有直观的几何形象． n > 3时， 维向量没有直观的几何形象．
思考题
设V = {x = ( a , b ) 运算如下 : 加法 : (a , b ) ⊕ ( c , d ) = ( a + c , bd ), 数乘 : k o (a , b ) = (lg a , b k ), k ∈ R V是不是向量空间 ? 为什么 ?
T
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V2 = x = (1, x 2 , L , x n ) x 2 , L , x n ∈ R
T
{
}
解
V2不是向量空间 .
因为若 α = (1, a 2 ,L, a n ) ∈ V2 ,
T
则2α = (2,2a 2 , L ,2a n ) V2 .
T
维向量， 例4 设a, b为两个已知的 n维向量，集合
V = {x = λa + b λ , ∈ R} 试判断集合是否为向量空间. 试判断集合是否为向量空间
解 V是一个向量空间 .因为若 x1 = λ1a + 1b x 2 = λ 2 a + 2 b， 则有
x1 + x 2 = (λ1 + λ 2 )a + ( 1 + 2 )b ∈ V ,
： 向量空 的
{( x, y,z) ax+by+cz=d} {r =( x, y,z)
P( x, y, z)
T
ax+by+cz=d}
T
r = ( x, y, z)
n 维向量没有直观的几何形象． n > 3时， 维向量没有直观的几何形象．
(完整版)2.3n维向量的概念
第三章 第一讲
1 n维向量的概念 2 n维向量空间 3 线性相关性
回顾
解析几何 既有大小又有方向的量
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
向量
(n 3)
线性代数
坐 有次序的实数组成的数组
标 代数形象：向量的坐标表示式
(x, y) (x, y, z)
系
一、 n维向量的概念
定义1 n个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数组称为 n维向量,这n个 数称为该向量的n个分量，第 i 个数称为第 i 个分量。
式 11 2，2 称为向m量m
的线性1 ,组合2 ,。 ,m
若 11 22 mm，则称 能由向量组 1,2, ,m 线性表示。
向量1,2 ,L
,m的所有线性组合11 22 L
m
所组成的
m
集合V是一个向量空间.我们称这个空间为由向量1,2 ,L
,
生成的
m
向量空间,记为 L(1,2 ,L ,m )
解 因为对于V1的任意两个元素 0, a2 ,L , an , 0,b2 ,L ,bn V1, 所以有 0, a2 b2 ,L , an bn V1 且 0, a2 ,L , an V1.
所以 V1是向量空间 . V2不是向量空间 .
因为若 1, a2 ,L , an V2 , 则2 2, 2a2 ,L , 2an V2 ,所以V2 不是向量空间.
三、 线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
定义6 给定向量组A : 1,2 ,L ,m ,如果存在不全为零的数k1, k2 ,L , km 使k11 k22 L kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
1 n维向量的概念 2 n维向量空间 3 线性相关性
回顾
解析几何 既有大小又有方向的量
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
向量
(n 3)
线性代数
坐 有次序的实数组成的数组
标 代数形象：向量的坐标表示式
(x, y) (x, y, z)
系
一、 n维向量的概念
定义1 n个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数组称为 n维向量,这n个 数称为该向量的n个分量，第 i 个数称为第 i 个分量。
式 11 2，2 称为向m量m
的线性1 ,组合2 ,。 ,m
若 11 22 mm，则称 能由向量组 1,2, ,m 线性表示。
向量1,2 ,L
,m的所有线性组合11 22 L
m
所组成的
m
集合V是一个向量空间.我们称这个空间为由向量1,2 ,L
,
生成的
m
向量空间,记为 L(1,2 ,L ,m )
解 因为对于V1的任意两个元素 0, a2 ,L , an , 0,b2 ,L ,bn V1, 所以有 0, a2 b2 ,L , an bn V1 且 0, a2 ,L , an V1.
所以 V1是向量空间 . V2不是向量空间 .
因为若 1, a2 ,L , an V2 , 则2 2, 2a2 ,L , 2an V2 ,所以V2 不是向量空间.
三、 线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
定义6 给定向量组A : 1,2 ,L ,m ,如果存在不全为零的数k1, k2 ,L , km 使k11 k22 L kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
线性代数N维向量空间基与维数
§ 4.4 向量空间
12 解: 0 1
1 0
1 1 1
1 1 1
初等 行变换
1 0 0
2 1 0
1 1 0
1 1 0
可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2, A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4.
分别为x, y, 则
x = Py, y = P1x.
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)y = (1, 2, …, r)Py
(1, 2, …, r)(x Py) = 0. 又因为1, 2, …, r线性无关,
所以x Py = 0, 即x = Py, 进而y = P1x.
L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space) dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
1 2 1 1Biblioteka 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.
第四章 n维列向量空间
事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成 L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
第四章 n维列向量空间
三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
§ 4.4 向量空间
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr .
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间.
n维向量空间的子空间
设
k1 1 k2 2 kr r 0, 即
k1 ( 1 , 2 , , r ) 0, k r
1 , 2 , , n
k1 A1 0 k r
k1 从而 (1 , 2 , , n ) A1 0 k r
Pn和{0}称为Pn的平凡(trivial)子空间.
第四章 n维列向量空间
例1. 检验下列集合是否构成向量子空间. (1) V = {(x, y, 0) | x, y R};
(2) V = {(x, y, z) | x, y, z R, x+yz = 0};
(3) ARmn, bRm, b0, KA = {Rn | A = 0}; SB = {Rn | A = b}.
则对 i , i 1,2, , r , 有
从而 i 可被 1 , 2 , , s
线性表出；
同理每一个 i 也可被 1 , 2 , , r 线性表出. 所以，
1 , 2 , , r
与 1 , 2 , , s 等价． 与
反之，
1 , 2 , , r
1, 2, …, s——生成元(generator).
例
在Pn 中，
i (0,,0,1,0,0), i 1,2,, n
为Pn的一组基，
(a1 , a2 ,, an ) P n
i
有 a1 1 a2 2 an n
故有 P n L( 1 , 2 ,, n )
第四章 n维列向量空间
例1. 检验下列集合是否构成向量子空间. (1) V = {(x, y, 0) | x, y R};
4-1 n维向量空间
例6 设向量组1 , 2 , 3 线性无关. 证明:
(3)向量组的一个部分组线性相关,则整体线性相关. 例7 设A是 n阶矩阵, 是n维列向量,若存在正 Am1 , Am , 则 整数m,使得 m1 , A ,, A 线性无关. (证明见黑板)
定义2 在向量组(I) 1 , 2 ,, m 中， 如果存在r个向量 i1 , i 2 ,, ir ，满足： （无关性） (1) i1 , i 2 ,, ir 线性无关；
性质： (1)每个向量组与其极大无关组等价。
(2) 一个向量组的极大无关组可以不唯一，但都是 等价的，且所含向量个数相等。
推论2 若线性无关的向量组 1 , 2 ,, t 与线 性无关的向量组 1 , 2 ,, s 等价,则 t s
(2) (I)中每个向量都可由i1 , i 2 ,, ir线性表示。 （极大性） 则称i1 , i 2 ,, ir是向量组(I) 的一个极大线性 无关向量组(简称极大无关组)。
由此可得,教材中的定理4.3-4.5(见page127).
推论1 n个n维向量的向量组线性无关
向量组的行列式 0.
R n中向量个数超过n的向量组必线性相关 推论2
R n中的n个向量1 , 2 ,, n 线性无 推论3 如果 R n中任何一个向量都可以由1 , 2 ,, n 线 关，则 性表示，且表示法唯一。
定义4 实数域R上的全体n维向量，当定义 了上述向量的加法和数乘运算后，就称其为 实数域R上的n维向量空间，记作 R n。
定义5 设 V 是 R 的一个非空子集,如果
n
(1) V 对向量的加法是封闭的,即
第4章 n维向量空间
T
# 实 向 量 a : 向 量 a的 分 量 都 是 实 数 ; # 复 向 量 b : 向 量 b的 分 量 都 是 复 数 。 定 义 4 . 1 所 有 n维 实 向 量 ( r e a l v e c t o r )的 集 合 称 为 , n维 实 向 量 空 间 ， 记 为 ， 即
例 4.1 判 断 向 量 β = -3, 2, 0, 5 是 否 可 由 向 量 ,
T
e 1 (1, 0, 0, 0 ) , e 2 ( 0, 1, 0, 0 ) ,
T T
e 3 ( 0, 0, 1, 0 ) , e 4 ( 0, 0, 0, 1 )
T
T
线性表示。 解 因 = - 3 e 1 2 e 2 0 e 3 5 e 4， 所 以 β 可 由 e 1 , e 2 , e 3 , e 4
T
a1 a2 a n
复习若干概念： # 向 量 α a1 , a 2 , , a n
T
和 β b1 , b 2 , , b n
T
相等
对应分量都相等 a i bi 1 i n # 向 量 α , β的 和 : α β a 1 b2 , a 2 b2 , , a n bn # 向 量 0 ,0 , , 0 称 为 零 向 量 ， 用 O 表 示 。
即 ： x1 α1 x 2 α 2 x m α m β
定 理 4.1 ( 1 ) 向 量 β 可 由 向 量 α 1 , α 2 , , α m 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 ： ra n k ( α 1 , α 2 , , α m ) ra n k ( α 1 , α 2 , , α m , β ) ( 2 ) 向 量 β 可 由 向 量 α 1 , α 2 , , α m 惟 一 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 ： ra n k ( α 1 , α 2 , , α m ) ra n k ( α 1 , α 2 , , α m , β ) m 。 证 (1 ) β 可 由 向 量 α 1 , α 2 , , α m 线 性 表 示 x1 α1 x 2 α 2 x m α m 方 程 组 A X β 有 解 其中A 存 在 m 个 数 x 1 , x 2 , , x m ， 使 得
# 实 向 量 a : 向 量 a的 分 量 都 是 实 数 ; # 复 向 量 b : 向 量 b的 分 量 都 是 复 数 。 定 义 4 . 1 所 有 n维 实 向 量 ( r e a l v e c t o r )的 集 合 称 为 , n维 实 向 量 空 间 ， 记 为 ， 即
例 4.1 判 断 向 量 β = -3, 2, 0, 5 是 否 可 由 向 量 ,
T
e 1 (1, 0, 0, 0 ) , e 2 ( 0, 1, 0, 0 ) ,
T T
e 3 ( 0, 0, 1, 0 ) , e 4 ( 0, 0, 0, 1 )
T
T
线性表示。 解 因 = - 3 e 1 2 e 2 0 e 3 5 e 4， 所 以 β 可 由 e 1 , e 2 , e 3 , e 4
T
a1 a2 a n
复习若干概念： # 向 量 α a1 , a 2 , , a n
T
和 β b1 , b 2 , , b n
T
相等
对应分量都相等 a i bi 1 i n # 向 量 α , β的 和 : α β a 1 b2 , a 2 b2 , , a n bn # 向 量 0 ,0 , , 0 称 为 零 向 量 ， 用 O 表 示 。
即 ： x1 α1 x 2 α 2 x m α m β
定 理 4.1 ( 1 ) 向 量 β 可 由 向 量 α 1 , α 2 , , α m 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 ： ra n k ( α 1 , α 2 , , α m ) ra n k ( α 1 , α 2 , , α m , β ) ( 2 ) 向 量 β 可 由 向 量 α 1 , α 2 , , α m 惟 一 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 ： ra n k ( α 1 , α 2 , , α m ) ra n k ( α 1 , α 2 , , α m , β ) m 。 证 (1 ) β 可 由 向 量 α 1 , α 2 , , α m 线 性 表 示 x1 α1 x 2 α 2 x m α m 方 程 组 A X β 有 解 其中A 存 在 m 个 数 x 1 , x 2 , , x m ， 使 得
概率论与数理统计2n维向量空间
向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.
注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算 规律相同，从而也满足下列运算规律:
(1)
(2)( ) ( )
( 3) 0 ;
(4) ( ) 0;
(5)1 ;
(6)k ( l ) ( kl) ;
二、 n维向量的线性运算
定义2 两个n维向量 (a1 , a2 ,, an ) 与
(b1 , b2 ,, bn ) 的各对应分量之和组成的向量，
称为向量
与
的和, 记为
(a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：
第二节 n维向量空间
一、 n维向量的概念 二、n维向量的线性运算 三、向量空间
一、n维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数
组(a1 , a2 , , an )称为n维向量，这n个数称为该向量 的 n个分量，第i个数ai 称为第i个分量 .
向量通常用黑体字母 a , b, , 等表示.
2(2,0,1,3)T (1,7,4,2)T 3(0,1,0,1)T
(5,4,2,1)T .
解（2） 5 2 x 0 3
1 1 x ( 3 5 ) (3(5,/ 2,1,7)/T21,)T,4,2)T 5(0,1,0 [ 2 0,1 3 , (8 7 . 2 2
三、向量空间
定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 V 为向量空间． 说明 集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指 若 V , V , 则 V ;
注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算 规律相同，从而也满足下列运算规律:
(1)
(2)( ) ( )
( 3) 0 ;
(4) ( ) 0;
(5)1 ;
(6)k ( l ) ( kl) ;
二、 n维向量的线性运算
定义2 两个n维向量 (a1 , a2 ,, an ) 与
(b1 , b2 ,, bn ) 的各对应分量之和组成的向量，
称为向量
与
的和, 记为
(a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：
第二节 n维向量空间
一、 n维向量的概念 二、n维向量的线性运算 三、向量空间
一、n维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数
组(a1 , a2 , , an )称为n维向量，这n个数称为该向量 的 n个分量，第i个数ai 称为第i个分量 .
向量通常用黑体字母 a , b, , 等表示.
2(2,0,1,3)T (1,7,4,2)T 3(0,1,0,1)T
(5,4,2,1)T .
解（2） 5 2 x 0 3
1 1 x ( 3 5 ) (3(5,/ 2,1,7)/T21,)T,4,2)T 5(0,1,0 [ 2 0,1 3 , (8 7 . 2 2
三、向量空间
定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 V 为向量空间． 说明 集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指 若 V , V , 则 V ;
线性代数-第二章-向量和向量空间
n维单 位坐标 向量组
所以，称 是 1, 2 , 3 ,4 的线性组合， 或 可以由 1, 2 , 3 ,4线性表示。
命题2 设向量可由向量组(I) :1,2,,m
线性表出，而(I)中每个向量都可以由向量组
(II) : 1, 2,, s线性表出, 那么也可由向量组
(II)线性表出 给出证明
二 线性相关
当 r( A) r n 时，求得基础解系是1 ,2 , ,nr , 则 x k11 k22 knr nr 是AX 0 的解，
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
例3 : 求下列齐次方程组的通解。
(1)
x1 2 x1
2 x2 4 x2
分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
有时也写成一列：
a1
xr1 1 0
,nr
是令
xr2
为
0
,
1
,
xn
0
0
0
,
0
所得。
1
Ax 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
注：
(1) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。
(2) 基（基础解系）不是唯一的。
(3) 当 r( A) n 时，解空间是{0}.
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
3n维向量与向量空间
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所以
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§4 向量组的秩及其与矩阵的秩的关系
定义9 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称 为这个向量组的秩。 如果向量组 性表出，那么 的秩不超过 能由向量组 线 的极大线性无关组可由 的秩。
的极大线性无关组线性表出。因此 定理9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为 一个极大线性无关组。 推论 秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关 的部分组都是极大线性无关组。 上一页 返回 下一页
矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩,矩阵A的列 向量组的秩称为矩阵A的列秩. 推论 矩阵A的行秩与列秩相等.
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例13 已知向量组 a1 1,2, 1,1 ,a2 2,0, t,0 ,
a3 0, 4,5, 2 , a4 3, 2, t 4, 1 的秩为2,确定
的值.
3 1 2 0 2 0 4 2 . 解 考察矩阵 A 1 t 5 t 4 1 1 0 2
由条件知 R A 2 ,从而A的所有3阶子式均为0.
1 2 0
故由
2 0 4 12 4t 0 得 t 3. 1 t 5
返回上一页下一页且存在有限个初等矩阵p返回上一页下一页1说明a经过有限次初等行变换变成e2说明b经过有限次初等行变换变成x故可用初等行变换求x因此只需对矩阵ab作初等行变换当把a变为e时b就变成了a1返回上一页下一页返回上一页下一页所以返回上一页
第三章 n维向量与向量空间
第一节 n维向量
第二节 第三节
第四节
向量组的线性相关性 向量组间的关系与极大线性无关组
向量组的秩及其与矩阵的秩的关系
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§4 向量组的秩及其与矩阵的秩的关系
定义9 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称 为这个向量组的秩。 如果向量组 性表出，那么 的秩不超过 能由向量组 线 的极大线性无关组可由 的秩。
的极大线性无关组线性表出。因此 定理9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为 一个极大线性无关组。 推论 秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关 的部分组都是极大线性无关组。 上一页 返回 下一页
矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩,矩阵A的列 向量组的秩称为矩阵A的列秩. 推论 矩阵A的行秩与列秩相等.
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例13 已知向量组 a1 1,2, 1,1 ,a2 2,0, t,0 ,
a3 0, 4,5, 2 , a4 3, 2, t 4, 1 的秩为2,确定
的值.
3 1 2 0 2 0 4 2 . 解 考察矩阵 A 1 t 5 t 4 1 1 0 2
由条件知 R A 2 ,从而A的所有3阶子式均为0.
1 2 0
故由
2 0 4 12 4t 0 得 t 3. 1 t 5
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第三章 n维向量与向量空间
第一节 n维向量
第二节 第三节
第四节
向量组的线性相关性 向量组间的关系与极大线性无关组
向量组的秩及其与矩阵的秩的关系
理学n维向量空间
的充要条件是：
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) (2)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm惟一地线
性表示的充要条件是：
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) m 证：(1) β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
一般地，
e1 (1, 0,L , 0), e2 (0,1,L , 0),L , en (0, 0,L ,1)
对任意n维向量 x1, x2 ,L , xn
x1e1 x2e2 L xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11 x1 12 x2 L 1m xm b1
则 c1, c2 ,L , ck , 0,L , 0不全为零
c11 c2 2 +L ckk 0k1 L 0m 0
向量组1, 2 ,L ,m线性相关
反之, 若1, 2 ,L ,m线性无关, 如果它有某一个部分
向量组线性相关，
则整个向量组也必定线性相关,引起矛盾.
21
x1
22 x2
L 2m xm
M
b2
n1 x1 n2 x2 L nm xm bn
记
11
12
1m
b1
α1
21
M
, α2
22
,L
M
,αm
2
m
,β
M
b2
M
n1
nm
nm
bn
方程组写成：x11 x22 L xmm
定理4.1 (1)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
矩阵A (α1,α2 , ,αm ), A (α1,α2 , ,αm , )
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) (2)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm惟一地线
性表示的充要条件是：
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) m 证：(1) β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
一般地，
e1 (1, 0,L , 0), e2 (0,1,L , 0),L , en (0, 0,L ,1)
对任意n维向量 x1, x2 ,L , xn
x1e1 x2e2 L xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11 x1 12 x2 L 1m xm b1
则 c1, c2 ,L , ck , 0,L , 0不全为零
c11 c2 2 +L ckk 0k1 L 0m 0
向量组1, 2 ,L ,m线性相关
反之, 若1, 2 ,L ,m线性无关, 如果它有某一个部分
向量组线性相关，
则整个向量组也必定线性相关,引起矛盾.
21
x1
22 x2
L 2m xm
M
b2
n1 x1 n2 x2 L nm xm bn
记
11
12
1m
b1
α1
21
M
, α2
22
,L
M
,αm
2
m
,β
M
b2
M
n1
nm
nm
bn
方程组写成：x11 x22 L xmm
定理4.1 (1)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
矩阵A (α1,α2 , ,αm ), A (α1,α2 , ,αm , )
线性代数 N维向量空间 第1节 向量空间
第四章
第一节
n维向量空间
向量空间的概念
一、n维向量和n维向量空间
定义1（n维向量） n个有顺序的数 a1 , a2 ,...,an 所在组成的
数组称为一个n维向量。
记作 (a1 , a2 ,...,an （称为行向量） ) a1 a 或 2（称为列向量） 其中ai 称为的第i个分量 an
定义2： (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ) R n , 设 规定 (a1 b1 , a2 b2 , , an bn ) ； k (ka1 , ka2 , , kan )
定义3（n维向量空间）： 以实数域中的数作为分量的n维向量的全体同时考虑到 如上定义的向量的加法和数乘运算。称R上的n维向量空间，
L(1, 2 ,, m ) {k11 k 22 k mm ki R, i 1,2,,
则 L(1,2 ,,m )是一个向量空间，称为由1,2 ,,m
张成（或生成）的向量空间。
记作：span{1,2 ,,m } 定义3
m n 矩阵A的列向量组成的向量空间称为A的列空间
n n
例1： V1 {( x, y,0) | x, y R}
V2 {( x, y,1) | x, y R}
例2：
V1 {( x1 , x2 , x3 ) | x1 x2 x3 0}
对于向量的加法和数乘是否是R上的个n维向量，记
称N(AT)为A的左零空间。
n
;
记为 R
二、向量空间
定义1 设V是R n 的非空子集合，如果 （1）V对加法运算具有封闭性，
即 , V，有 V
第一节
n维向量空间
向量空间的概念
一、n维向量和n维向量空间
定义1（n维向量） n个有顺序的数 a1 , a2 ,...,an 所在组成的
数组称为一个n维向量。
记作 (a1 , a2 ,...,an （称为行向量） ) a1 a 或 2（称为列向量） 其中ai 称为的第i个分量 an
定义2： (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ) R n , 设 规定 (a1 b1 , a2 b2 , , an bn ) ； k (ka1 , ka2 , , kan )
定义3（n维向量空间）： 以实数域中的数作为分量的n维向量的全体同时考虑到 如上定义的向量的加法和数乘运算。称R上的n维向量空间，
L(1, 2 ,, m ) {k11 k 22 k mm ki R, i 1,2,,
则 L(1,2 ,,m )是一个向量空间，称为由1,2 ,,m
张成（或生成）的向量空间。
记作：span{1,2 ,,m } 定义3
m n 矩阵A的列向量组成的向量空间称为A的列空间
n n
例1： V1 {( x, y,0) | x, y R}
V2 {( x, y,1) | x, y R}
例2：
V1 {( x1 , x2 , x3 ) | x1 x2 x3 0}
对于向量的加法和数乘是否是R上的个n维向量，记
称N(AT)为A的左零空间。
n
;
记为 R
二、向量空间
定义1 设V是R n 的非空子集合，如果 （1）V对加法运算具有封闭性，
即 , V，有 V
n维向量空间
第二节 n 维向量空间定义1：n 个实数组成的有序数组称为n 维向量,一般用γβα,,等希腊字母表示。
称()n a a a ,,,21 =α为n 维行向量,称()Tn n b b b b b b ,,,2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β为n 维列向量。
称i i b a ,分别为向量βα,的第i 个分量。
特别对矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211中每一行()in i i a a a ,,,21 ),,2,1(m i =称为矩阵A 的行向量；每一列()Tnj j j a a a ,,,21 ),,2,1(n j =称为矩阵A 的列向量。
定义2：所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0＝()000 。
定义3：由n 维向量()n a a a ,,,21 =α各分量的相反数组成的向量，称为α的负向量，记作：()n a a a ---=-,,,21 α。
定义4：若n 维向量()n a a a ,,,21 =α与()n b b b ,,,21 =β的所有对应分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==，则称这两个向量相等，记作βα=。
定义5：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α,()n b b b ,,,21 =β，βα与对应分量的和所构成的n 维向量，称为向量βα与的和，记作βα+。
()n n b a b a b a +++=+,,,2211 βα()βαβα-=-+()n n b a b a b a ---=,,,2211定义6：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α的各分量都乘以数k 后所组成的n 维向量，称为数k 与向量α的乘积，记作： k α＝()n ka ka ka ,,,21 。
向量的运算性质：（1）αββα+=+ （2）γβαγβα++=++)()(（3）αα=+0 （4）0)(=-+αα （5）()βαβαk k k +=+ （6）()αααl k l k +=+ （7）)()(ααl k l k =⋅ （8）αα=⋅1定义7：在n 维向量的集合中，如果其中任意二个向量的和以及一个向量与数的积都在这个集合中，则称这集合为n 维向量空间。
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矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
维
向 量
且
ka1 kb1 kc1 0,
空
间 即 kA W2 , 故W2是R23的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 V1 V2 {a | a V1且a V2 }
第
三 章
也为V的子空间，称之为V1与V2的交空间.
第 三
解 V2不是向量空间 .
n
章 维
因为若 1,a2 ,,an T V2 ,
向 量 空
则2 2,2a2 ,,2an T V2 .
间
杨建新
第一节 n 维向量空间
例4 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V x a b , R
试判断集合是否为向量空间.
第 三 章
解：V是一个向量空间， 因为若x1 1a 1b
(1 2 ) (1 2 ) (1 1) (2 2 ) V1 V2
k k(1 2 ) k1 k2 V1 V2, k P
杨建新
第一节 n 维向量空间
n维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
n
第
三 机身的仰角
章
机翼的转角
(
)
(2 2)
维
向 量
机身的水平转角 (0 2 )
x2 2a 2b，则有
n
维 向
x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b V ,
量
空 间
kx1 (k1 )a (k1 )b V .
这个向量空间称为
由向量a, b所生成的向量空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
一般地，由向量组 a1, a2 ,, am 所生成的
向量空间为
V x 1a1 2a2 mam 1,2 ,,m R
第一节 n 维向量空间
第一节 n维向量空间
第
三
一、n 维向量的概念
章
n
维
二、n维向量的表示法
向
量
空 间
三、向量空间及其子空间
杨建新
第一节 n 维向量空间
一、n维向量的概念
定义1：n 个有次序的数 a1, a2 ,, an 所组成的数
组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，
第 第i个数ai称为第i个分量 .
第 三
规律）后，称为一个 n 维向量空间．
章 注:1、向量的加法和数乘是按矩阵的加法和数
n
维
乘来定义的（P98）
向
量 空
2、八条运算规律（P99） ：
间
设, , Rn;, R
(1) ;
(2) ;
杨建新
第一节 n 维向量空间
(3) 在Rn中存在零元素0,对任何 Rn ,都有
三 章
分量全为实数的向量称为实向量，
n
维
分量全为复数的向量称为复向量.
向 量
例如
(1,2,3,, n)
空
间
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
n维实向量 n维复向量
第2个分量
第1个分量
第n个分量
杨建新
第一节 n 维向量空间
二、n维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
章 集合V为向量空间．
n
维
向
量 说明 1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指
空 间
若 V , V , 则 V;
若 V , R, 则 V .
杨建新
第一节 n 维向量空间
定义2 设V 是一个向量空间，L 是V的一个非空
子集，如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运
算也构成一个线性空间，则称L为V的子空间．
空
间
0, a2 ,, an T , 0, b2 ,, bn T V1 ,
有 0,a2 b2 ,,an bn T V1
0, a2 ,, an T V1 .
杨建新
第一节 n 维向量空间
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 ,, xn T x2 ,, xn R
0;
第 (4) 对任何 Rn ,都有的负元素 Rn ,使
三
章 (5) 1 ;
() 0 ;
n
维
向 量
(6) ;
空 间
(7) ;
(8) .
杨建新
第一节 n 维向量空间
三、向量空间及其子空间
1、向量空间
第 三
定义1 设V为n维向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称
c
R.
n
维 解 (1)不构成子空间. 因为对
向 量 空 间
A B 1 0
0 0
0 0
W1
有
A B 2 0
0 0
0 0
W1
,
即W1 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.
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第一节 n 维向量空间
(2)因 0 0
0 0
0 0
W2
,
即W2非空.
第 对任意
n
三 章 维
A a1 0
b1 0
注意 1、行向量和列向量总被看作是两个
不同的向量；
第 三
2、行向量和列向量都按照矩阵的运算 法则进行运算；
章
n
维 向
３、当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
量
空 间
杨建新
第一节 n 维向量空间
非空集合
Rn x( x1, x2,, xn)T x1, x2,, xnR
定义了向量的加法和数乘（并满足八条运算
设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a1 a2 | a1 V1,a2 V2 }
第
三 章
也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间.
n
维 向 量 空 间
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 0 0 V1 V2
任取 , V1 V2, 设 1 2, 1 2, 其中，1, 1 V1,2, 2 V2, 则有
例1 3 维向量的全体R3 ,是一个向量空间.
因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数
乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3 .
第 三
例2 判别下列集合是否为向量空间.
n
章 维
V1 x 0, x2 ,, xn T x2 ,, xn R
向 量
解 V1是向量空间 . 因为对于V1的任意两个元素
0 , B a2
c1
0
b2 0
0
c2
W2
向 量
有
a1 b1 c1 0, a2 b2 c2 0,
空
间
于是
A B a1 a2 b1 b2
0
0
0 c1 c2
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第一节 n 维向量空间
满足
a1 a2 b1 b2 c1 c2 0,
即 A B W2 , 对任意k R有
第 三
也记作
章
n
维
L(a1,a2 ,,am ) 1a1 2a2 mam 1,2 ,,m R
向
量
空
间
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第一节 n 维向量空间
例5 R23的下列子集是否构成子空间?为什么?
(1) W1
1 0
b c
0 d
b,
c,
d
R;
第 三 章
(2) W2
a 0
b 0
0 c
a
b
c
0,
a,
b,
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
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第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
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第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
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第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
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第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
维
向 量
且
ka1 kb1 kc1 0,
空
间 即 kA W2 , 故W2是R23的子空间.
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第一节 n 维向量空间
设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 V1 V2 {a | a V1且a V2 }
第
三 章
也为V的子空间，称之为V1与V2的交空间.
第 三
解 V2不是向量空间 .
n
章 维
因为若 1,a2 ,,an T V2 ,
向 量 空
则2 2,2a2 ,,2an T V2 .
间
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第一节 n 维向量空间
例4 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V x a b , R
试判断集合是否为向量空间.
第 三 章
解：V是一个向量空间， 因为若x1 1a 1b
(1 2 ) (1 2 ) (1 1) (2 2 ) V1 V2
k k(1 2 ) k1 k2 V1 V2, k P
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第一节 n 维向量空间
n维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
n
第
三 机身的仰角
章
机翼的转角
(
)
(2 2)
维
向 量
机身的水平转角 (0 2 )
x2 2a 2b，则有
n
维 向
x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b V ,
量
空 间
kx1 (k1 )a (k1 )b V .
这个向量空间称为
由向量a, b所生成的向量空间.
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第一节 n 维向量空间
一般地，由向量组 a1, a2 ,, am 所生成的
向量空间为
V x 1a1 2a2 mam 1,2 ,,m R
第一节 n 维向量空间
第一节 n维向量空间
第
三
一、n 维向量的概念
章
n
维
二、n维向量的表示法
向
量
空 间
三、向量空间及其子空间
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第一节 n 维向量空间
一、n维向量的概念
定义1：n 个有次序的数 a1, a2 ,, an 所组成的数
组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，
第 第i个数ai称为第i个分量 .
第 三
规律）后，称为一个 n 维向量空间．
章 注:1、向量的加法和数乘是按矩阵的加法和数
n
维
乘来定义的（P98）
向
量 空
2、八条运算规律（P99） ：
间
设, , Rn;, R
(1) ;
(2) ;
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第一节 n 维向量空间
(3) 在Rn中存在零元素0,对任何 Rn ,都有
三 章
分量全为实数的向量称为实向量，
n
维
分量全为复数的向量称为复向量.
向 量
例如
(1,2,3,, n)
空
间
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
n维实向量 n维复向量
第2个分量
第1个分量
第n个分量
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第一节 n 维向量空间
二、n维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
章 集合V为向量空间．
n
维
向
量 说明 1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指
空 间
若 V , V , 则 V;
若 V , R, 则 V .
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第一节 n 维向量空间
定义2 设V 是一个向量空间，L 是V的一个非空
子集，如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运
算也构成一个线性空间，则称L为V的子空间．
空
间
0, a2 ,, an T , 0, b2 ,, bn T V1 ,
有 0,a2 b2 ,,an bn T V1
0, a2 ,, an T V1 .
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第一节 n 维向量空间
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 ,, xn T x2 ,, xn R
0;
第 (4) 对任何 Rn ,都有的负元素 Rn ,使
三
章 (5) 1 ;
() 0 ;
n
维
向 量
(6) ;
空 间
(7) ;
(8) .
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第一节 n 维向量空间
三、向量空间及其子空间
1、向量空间
第 三
定义1 设V为n维向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称
c
R.
n
维 解 (1)不构成子空间. 因为对
向 量 空 间
A B 1 0
0 0
0 0
W1
有
A B 2 0
0 0
0 0
W1
,
即W1 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.
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第一节 n 维向量空间
(2)因 0 0
0 0
0 0
W2
,
即W2非空.
第 对任意
n
三 章 维
A a1 0
b1 0
注意 1、行向量和列向量总被看作是两个
不同的向量；
第 三
2、行向量和列向量都按照矩阵的运算 法则进行运算；
章
n
维 向
３、当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
量
空 间
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第一节 n 维向量空间
非空集合
Rn x( x1, x2,, xn)T x1, x2,, xnR
定义了向量的加法和数乘（并满足八条运算
设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a1 a2 | a1 V1,a2 V2 }
第
三 章
也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间.
n
维 向 量 空 间
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 0 0 V1 V2
任取 , V1 V2, 设 1 2, 1 2, 其中，1, 1 V1,2, 2 V2, 则有
例1 3 维向量的全体R3 ,是一个向量空间.
因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数
乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3 .
第 三
例2 判别下列集合是否为向量空间.
n
章 维
V1 x 0, x2 ,, xn T x2 ,, xn R
向 量
解 V1是向量空间 . 因为对于V1的任意两个元素
0 , B a2
c1
0
b2 0
0
c2
W2
向 量
有
a1 b1 c1 0, a2 b2 c2 0,
空
间
于是
A B a1 a2 b1 b2
0
0
0 c1 c2
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第一节 n 维向量空间
满足
a1 a2 b1 b2 c1 c2 0,
即 A B W2 , 对任意k R有
第 三
也记作
章
n
维
L(a1,a2 ,,am ) 1a1 2a2 mam 1,2 ,,m R
向
量
空
间
杨建新
第一节 n 维向量空间
例5 R23的下列子集是否构成子空间?为什么?
(1) W1
1 0
b c
0 d
b,
c,
d
R;
第 三 章
(2) W2
a 0
b 0
0 c
a
b
c
0,
a,
b,