全国版2022高考数学一轮复习第12章概率第2讲古典概型与几何概型试题1理含解析

第十二章概 率

第二讲 古典概型与几何概型

练好题·考点自测

1.[2019全国卷Ⅲ,3,5分]两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( ) A.1

6 B.1

4 C.1

3 D.1

2

2.[2021惠州第一次调研]根据中央关于精准脱贫的要求,某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等4位专家对3个县区进行调研,每个县区至少派1位专家,则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为( ) A.1

6 B.1

4 C.1

3 D.1

2

3.[2020贵阳高三摸底考试]某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为( ) A.1

5 B.1

4 C.1

3 D.1

2

4.[2018全国卷Ⅰ,10,5分][理]图12-2-1来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC.△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p 1,p 2,p 3,则( )

图12-2-1

A .p 1=p 2

B .p 1=p 3 C.p 2=p 3 D.p 1=p 2+p 3

5.[2020武汉高三模拟][与数列交汇]将数字1,2,3,4,5这五个数随机排成一列组成一个数列,则该数列为先减后增数列的概率为( ) A.1

20

B.7

60

C.1

12

D.7

24

6.[2020江苏,4,5分]将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 . 拓展变式

1.(1)[与函数交汇]若a ,b 是从集合{-1,1,2,3,4}中随机选取的两个不同元素,则使得函数f (x )=x 5a

+x b

是奇函数的概率为( ) A .3

20 B .3

10 C .9

25 D .3

5

(2) [2021武汉高三质检]我国古人认为宇宙万物是由金、木、水、火、土这五种元素构成的,历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法,到战国晚期,五行相生相克的思想被正式提出.这五种物质属性的相生相克关系如图12-2-3所示,若从这五种物质中随机选取三种,则取出的三种物质中,彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为( )

图12-2-3 A.3

5

B.1

2

C.2

5

D.1

3

2.(1)[2020湖北武汉模拟][与向量交汇]在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (√3,0),B (1,2),D (3,2),动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,2],λ+μ∈[1,2],则点P 落在三角形ABD 内的概率为( ) A.1

2 B.√3

3 C.√3

2 D.2

3

(2)[2017江苏,7,5分][与函数交汇]记函数f (x )=2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率是 .

3.采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率,先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:

7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281

根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 .

4.[2020安徽六安一中模拟]河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象密码.河图的排列结构如图12-2-8所示,一与六共宗居下,二与七同道居上,三与八为朋居左,四与九为友居右,五与十同途居中,其中白圈为阳数,黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数,则这3个数中至少有2个阳数且3个数能构成等差数列的概率为( ) A.1

5

B.1

20

C.1

12

D.3

40

图12-2-8

答 案

第二讲 古典概型与几何概型

1.D 四位同学排成一列,情况有A 44=24(种),两个女生相邻,情况有A 22

·A 33=12(种),所以所求概率P =

1224

=1

2

.故选D .

2.A 甲、乙等4位专家分到3个县区,每个县区至少派一位专家,等可能的情况共有C 42C 21C 1

1A 2

2A 33=36(种),其中甲、

乙两位专家派遣至同一县区等可能的情况有

C 21C 1

1A 2

2A 33=6(种),所以甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率P =6

36=1

6,故选A .

3.B 随机到达教室总的时间长度为40分钟,第二节课8:40开始,9:20结束,听第二节课的时间不少于20分钟,必须在9:00前到达教室,即8:50~9:00到达即可,时间长度为10分钟,由几何概型的概率计算公式知他听第二节课的时间不少于20分钟的概率P =

1040

=1

4

.故选B .

4.A 解法一 设直角三角形ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积,为S 1=12

bc ,区域Ⅱ的面积S 2=1

2π×(c

2)2

+12π×(b

2)2

-[π×(a 2

)2

2

−12bc ]=1

8π(c 2+b 2-a 2

)+12bc =1

2bc ,所以S 1=S 2,由几何概型的知识知p 1=p 2,

故选A .

解法二 不妨设△ABC 为等腰直角三角形,AB =AC =2,则BC =2√2,所以区域Ⅰ的面积(即△ABC 的面积)为S 1=1

2×2×2=2,

区域Ⅱ的面积S 2=π×12

-[

π×(√2)

2

2

-2]=2,区域Ⅲ的面积S 3=

π×(√2)

2

2

-2=π-2.根据几何概型的概率计算公式,得

p 1=p 2=2

π+2,p 3=π-2

π+2,所以p 1≠p 3,p 2≠p 3,p 1≠p 2+p 3,故选A .

5.B 将1,2,3,4,5这五个数随机排成一列,共组成A 55个数列.若排成先减后增的数列,则最小的数字1是这个数列的

最小项,当1排在第2项时,第一步,先从余下的4个数字中任取1个放在第1项,有C 41种方法,第二步,把剩下的3个数字按照从小到大的顺序排列在第3,4,5项,共有1种方法,所以共有C 41×1=4(种)方法;同理当1排在第3项时有C 42×1=6(种)方法;当1排在第4项时有C 43×1=4(种)方法.所以先减后增的数列共有4+6+4=14(个),因此将数字

1,2,3,4,5随机排成一列组成一个数列,则该数列为先减后增的概率P =14A 5

5=7

60,故选B .

6.1

9 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,向上的点数共有36种情况,其中点数和为5的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4种,则所求概率为436=1

9.

1.(1)B 记集合A ={-1,1,2,3,4},要使函数f (x )=x 5a

+x b

是奇函数(a ,b 是从A 中随机选取的两个不同元素),则a ,b 只能是从{-1,1,3}中任选的两个不同元素,则所求概率P =A 32

A 5

2=3

10.故选B .