高考数学 17.2 古典概型与几何概型

17、概率

17．2 古典概型与几何概型

【知识网络】

1．理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的

基本事件数及事件发生的概率。

2．了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概

念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。【典型例题】

[例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（）

A ．4

B ．29

C ．23

D ．13

（2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），

骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为（）

A ．

B ．

5 C ．

1 D ．

1 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形

的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为

（

）

A ．

B ．

C ．13

D ．

（4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3

”的概率为．

（5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为．

[例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。

[例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻

钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．

[例4]抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了．

某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动——“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”．

方案1：总点数是几就送礼券几十元．

方案2：总点数为中间数7时的礼券最多，为120元；以此为基准，总点数每减少或增加1，礼券减少20元．

方案3 总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元．

如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决．

【课内练习】

1．某班共有6个数学研究性学习小组，本学期初有其它班的3名同学准备加入到这6个

小组中去，则这3名同学恰好有2人安排在同一个小组的概率是（

）

A ．

5 B ．524

C ．1081

D ．512 2．盒中有1个红球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10

人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P 1，第8个人摸出红球的概率是P 8，则

（

）

A ．P 8=18

P 1

B ．P 8=

P 1 C ．P 8=P 1 D ．P 8=0 3．如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 是圆O 的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概

率为

（）

A ．1

2 B ．13

C ．23

D ．1

4．两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离

都大于1m 的概率为

（

）

A ．

B ．13

C ．

D ．

5．一次有奖销售中，购满100元商品得1张奖卷，多购多得．每1000张卷为一个开奖单

位，设特等奖1个，一等奖5个，二等奖100个．则任摸一张奖卷中奖的概率为．

6．某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学

生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为． 7．在圆心角为150°的扇形AOB 中，过圆心O 作射线交AB 于P ，则同时满足：∠AOP ≥45°且∠BOP ≥75°的概率为．

8．某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备

在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．

（1）共有多少个基本事件？

（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？

9．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P 与A 连结，第3题图

倍的概率．

10．正面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的点．

①设“V P-ABC≥1

V”的事件为X，求概率P(X)；

②设“V P-ABC≥1

V且V P-BCD≥

V”的事件为Y，求概率P(Y)．

17、概率

17．2 古典概型与几何概型

A 组

1．取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率

为（）

A ．

2π B ．2ππ- C D ．4

2．甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（）

A ．12

B ．13

C ．14

D ．1

3．已知椭圆22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)及内部面积为S=πab ，A 1，A 2是长轴的两个顶点，B 1，

B 2是短轴的两个顶点，点P 是椭圆及内部的点，下列命题正确的个数是（） ①△PA 1A 2为钝角三角形的概率为1； ②△PB 1B 2为直角三角形的概率为0；

③△PB 1B 2为钝角三角形的概率为b

a ；

④△PA 1A 2为钝角三角形的概率为b

a ；

⑤△PB 1B 2为锐角三角形的概率为a b

-。

A ．1

B 。2

C 。3

D 。4

4．古典概型与几何概型的相同点是，不同点是基本事件的．

5．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．其中“恰有两枚正面向

上”的事件包含个等可能基本事件．

6．任取一正整数，求该数的平方的末位数是1的概率．

7．如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和

∠BOC 都不小于30°的概率．

8．如图，在等腰三角形ABC 中，∠B =∠C =30°，求下列事件的概率：

问题1 在底边BC 上任取一点P ，使BP ＜AB ；问题2 在∠BAC 的内部任作射线AP 交线段BC 于P ，使BP ＜AB ．

17、概率

17．2 古典概型与几何概型

B 组

1．在20瓶饮料中，有2瓶过了保质期，从中任取1瓶，恰好为过期饮料的概率为（）

A ．

2 B 。110 C 。120 D 。140

2．一个罐子里有6只红球，5只绿球，8只蓝球和3只黄球。从中取出一只球，则取出

红球的概率为（）

A ．122

B 。522

C 。311

D 。6

3．已知O （0，0），A （30，0），B （30，30），C （0，30），E （12，0），F （30，18），P

（18，30），Q （0，12），在正方形OABC 内任意取一点，该点在六边形OEFBPQ 内的概率为（）

A ．425

B 。2125

C 。725

D 。16

4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为P 点的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2=16

A C

第8题

第7题 O

E D C

内的概率是_________．

5．在所有的两位数（10~99）中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是．

6．在△AOB中，∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C。试分别求下列事件的概率：

①△AOC为钝角三角形；

②△AOC为锐角三角形；

③△AOC为锐角三角形。

7．在区间[-1，1]上任取两实数a、b，求二次方程x2+2ax+b2=0的两根都为实数的概率．

8．一海豚在水池中自由游弋．水池为长30m，宽20m的长方形，随机事件A记为“海豚嘴尖离岸边不超过2m”．

（1）试设计一个算法（用伪代码表示），使得计算机能模拟这个试验，并估算出事件A发生的概率；

（2）求P（A）的准确值．

参考答案

17．2 古典概型与几何概型

【典型例题】 [例1]（1）A 。

（2）C ．提示：总事件数为36种。而满足条件的(x ，y)为（1，2），（2，4），（3，6），共

3种情形。

（3）D ．提示：M 只能在中间6cm~9cm 之间选取，而这是一个几何概型。

（4）作△ABC 的边BC 上的高AD ，取E ∈AD 且ED=1

AD ，过E 作直线MN ∥BC 分别交AB 于M ，AC 于N ，则当P 落在梯形BCNM 内时，△PBC 的面积小于△ABC 的面积

的13

，故P=

BCNM ABC

S S ∆=

梯形．（5）1

。提示：总事件数为6×6=36种，相同点数的有6种情形。 [例2]由方程有实根知：m 2≥4n ．由于n ∈N *，故2≤m ≤6．

骰子连掷两次并按先后所出现的点数考虑，共有6×6=36种情形．其中满足条件的有： ①m=2，n 只能取1，计1种情形； ②m=3，n 可取1或2，计2种情形； ③m=4，n 可取1或2、3、4，计4种情形；

④m=5或6，n 均可取1至6的值，共计2×6=12种情形．

故满足条件的情形共有1+2+4+12=19（种），答案为

． [例3]以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的条件是

15x y -≤．在平面上建立直角坐标系如图7，则(x ，y)的

所有基本事件可以看作是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示．故

P(两人能会面) 167

6045602

22=-=．答两人能会面的概率为

716

． [例4]由图可知，等可能基本事件总数为36种．

其中点数和为2的基本事件数为1个，点数和为3的基本事件数为2个，点数和为4的基本事件数为3个，点数和为5的基本事件数为4个，点数和为6的基本事件数为5个，点数和为7的基本事件数的和为6个，点数和为8的基本事件数为5个，点数和为9的基

本事件数为4个，点数和为10的基本事件数为3个，点数和为11的基本事件数为2个，点数和为12的基本事件数为1个．

根据古典概型的概率计算公式易得下表：

由概率可知，当点数和位于中间（指在7的附近）时，概率最大，作为追求最大效益与利润的老总，当然不能选择方案2，也不宜选择方案1，最好选择方案3．

另外，选择方案3，还有最大的一个优点那就是，它可造成视觉上与心理上的满足，顾客会认为最高奖（120元）可有两次机会，即点数和为2与12，中次最高奖（100元）也有两次机会，所以该方案是最可行的，事实上也一定是最促销的方案．

我们还可以从计算加以说明．三个方案中，均以抛掷36次为例加以计算（这是理论平均值）：

从表清楚地看出，方案3所需的礼券额最少，对老总来说是应优先考虑的决策．

【课内练习】

1． D 。3个人加入6个小组中有36种方法。3人中恰有2人在同一小组的，于是只须加

入两个小组，共有

652⨯=15种选择，而3人的分组又有6种情形，故答案为1565

21612

⨯=。 2． C 。提示:虽然摸球的顺序有先后，但只需不让后摸的人知道先摸人摸出的结果，那么

各个摸球者摸到红球的概率都是相等的，并不因摸球的顺序不同而影响到其公平性．∴P 8=P 1。

1 2 3 4 5 6 1

2 3 4 5 6 例4答图

第一次抛掷后向上的点

第

二次抛掷后向上的点

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 6 7 8 9 10 7 8 9 10 11 11 12 10 9

3． B 。

4． B 。提示：记“彩珠与两端都大于1m ”为事件A ，则P (A )=13

。

5．

1510053

1000500++=

6． 3394416⨯=⨯

7． 1

。提示：P 点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为150°-45°-75°，

即就是30°，301

1505

=。

8．（1）三类客车分别记为上、中、下．则有如下的基本事件：

①上-中-下；②上-下-中；③中-上-下； ④中-下-上；⑤下-上-中；⑥下-中-上．因此，基本事件总数为6个．（2）小曹能乘上上等车的事件记为A ，则A 中包含上述事件中的： ③中-上-下；④中-下-上；⑤下-上-中，故

P (A )=3162

=．

答共有6个基本事件，能乘上上等车的概率为1

．

9．连结圆心O 与A 点，作弦AB 使∠AOB =120°，这样的点B 有两点，分别记为B 1与

B 2，仅当P 在劣弧12B B 上取点时，AP

OA ，此时∠B 1OB 2=120°，故所求的概率为

1201

3603

=． 10．①分别取DA 、DB 、DC 上的点E 、F 、G ，并使DE =3EA ，DF =3FB ，DG =3GC ，并连结EF 、FG 、GE ，则平面EFG ∥平面ABC ．

当P 在正四面体DEFG 内部运动时，满足V P -ABC ≥

V ，故P (X )=33327(

)()464D EFG D ABC V DE V DA --===．

②在AB 上取点H ，使AH =3HB ，在AC 上取点I ，使AI =3IC ，在AD 上取点J ，使AJ =3JD ，则P 在正四面

体AHIJ 内部运动时，满足V P -BCD ≥1

V ．

结合①，当P 在正四面体DEFG 的内部及正四面体AHIJ 的内部运动时，亦即P 在正

③

④

⑤ ① ②

⑥

A 第8题答

M D C

J I H

F E

四面体EMNJ 内部运动时，同时满足V P -ABC ≥14V 且V P -BCD ≥14V ，于是

P (Y )= 3311()()28

J EMN D ABC V JE V DA --===．

17、概率

17．2 古典概型与几何概型

A 组

1． B 。提示：所求概率为圆面积与正方形面积的差值除以圆面积。

2． B 。提示：乙可选3个位置中的一个坐下。

3． D 。提示：①②③⑤是正确的。

4．基本事件的等可能性；有限性与无限性的区别．

5． 3。提示：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）。

6．一个正整数的平方的末位数字只取决于该正整数的末位数，它必然是0，1，2，…，9

中的任意一个，因而基本事件为 Ω={1，2，3，…，9}，共10个．

正整数的平方的末位数是1的事件A ={1，9}，共2个．因为所有这些事件都是等可能基本事件，故由概率的计算公式得21()105

P A ==． 7．记A={作射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°}，作射线OD 、OE 使∠AOD=30°，

∠AOE=60°．当OC 在∠DOE 内时，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则P(A)=

301903

=． 8．问题1，因为点P 随机地落在线段BC 上，故线段BC 为区域D ．以B 为圆心、BA 为半径画弧交BC 于M ，则P 必须落在线段BM 内才有BP ＜BM =BA ，于是

()()2cos303BM BA BA P BP AB P BP BM BC BC BA ==

====<<．问题2，作射线AP 在∠BAC 内是等可能分布的，在BC 上取点M ，使∠AMB =75°，则BM =BA ，当P 落在BM 内时，BP ＜AB ．于是所求的概率为

7551208

=．

B 组

1． B 。

2． C 。

3． D 。提示：22181613025

-=。 4． 29

。提示：基本事件的总数为6×6=36个，记事件A ={点P (m ，n )落在圆x 2+y 2=16内}，则A 所包含的基本事件为(1，1)，(2，2)，(1，3)，(1，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(2，1)，共8个．

5． 23

。提示：被2整除的有45个，被3整除的有30个，被6整除的有15． 6． ①0.4；②0.6；③0。 7．方程有实根的条件为⊿=(2a )2-4b 2≥0，故|a |≥|b |．点(a ，b )的

取值围成如图所示的单位正方形的区域D ，随机事件A “方程有实根”的所围成的区域如图所示的阴影部分．易求得

1()2P A =．

8．（1）建立如图的直角坐标系，并用计算机所产生的随机数x 和y 组成的有序数组(x ，

y )来表示海豚嘴尖的坐标．

这里几何区域D 所表示的范围为长方形：x ∈（-15，15），y ∈（-10，10），事件A 所表示的区域为图中的阴影部分d ：

13≤|x |＜15，8≤|y |＜10．

算法的伪代码表示如下： s ←0

Read n

Fo r I from 1 to n x ←30×Rnd -15 y ←20×Rnd -10

If 13≤int(x )＜15 and 8≤int(y )＜10 then s ←s +1

End for

Print “海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率为”& s n

End

说明 1．实验次数n 由实验者任意输入．

2．∵0＜Rnd ＜1，∴x =30×Rnd -15∈（-15，15），y =20×Rnd -10∈（-10，10）．

（2）如图7-3-11，所求概率为

3020261623()302075

d P A D D ⨯-⨯=

===⨯的测度阴影部分的面积的测度区域的面积．

第7题答图

高考一轮总复习-082.古典概型与几何概型(基础)-知识讲解

高考总复习：古典概型与几何概型【考点梳理】知识点一、古典概型 1. 定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。 2. 古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。 3.古典概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是 1n 。如果某个事件A 包含m 个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和，即n m A P =)(。所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为：试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A A P =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ；（3）应用公式()m P A n =求值。 5．古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。知识点二、几何概型

1. 定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 2.几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3.几何概型的概率计算公式：随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。所以几何概型计算事件A 的概率计算公式为：Ω=μμA A P )( 其中μΩ表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，A μ表示构成事件A 的区域的几何度量。要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法. 【典型例题】类型一、古典概型例1(2014 四川高考)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取错误!未找到引用源。次，每次抽取错误!未找到引用源。张，将抽取的卡片上的数字依次记为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。． (1) 求“抽取的卡片上的数字满足错误!未找到引用源。 ”的概率； (2) 求“抽取的卡片上的数字错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。不完全相同”的概率．【解析】 (1) 由题意，错误!未找到引用源。的所有可能为共错误!未找到引用源。种．

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型一）古典概型（1）特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A ；P （A ）= n m 。二）几何概型 1．随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。 2．随机数的产生方法 3．几何概型的概念如果事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称模型为几何概率模型； 4．几何概型的概率公式： P （A ）= 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。 5．几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积（3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积题型一古典概型类型1 骰子硬币型 1.先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3 ，则（） A ． P1=P2

高中数学完整讲义——概率_古典概型与几何概型1.古典概型

高中数学讲义版块一：古典概型 1．古典概型：如果一个试验有以下两个特征： ⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； ⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．称这样的试验为古典概型． 2．概率的古典定义：随机事件A 的概率定义为()P A = A 事件包含的基本事件数试验的基本事件总数．版块二：几何概型几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．几何概型中，事件A 的概率定义为()A P A μμΩ =，其中μΩ表示区域Ω的几何度量， A μ表示区域A 的几何度量．题型一基础题型【例1】在第136816，，，，路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第6路或第16路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于____ 【例2】（2010崇文一模）从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率为_______．【例3】（2010上海卷高考）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P A B = （结果用最简分数表示）．典例分析知识内容板块一.古典概型

高中数学讲义【例4】（2010湖北高考）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰于向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A ．512 B ．12 C ．712 D ．3 4 【例5】甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（） A ．12 B ．1 3 C ．14 D ．16 【例6】甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙后面值班的概率是（） A ．16 B ． 14 C ．1 3 D ．12 【例7】今后三天每一天下雨的概率都为50%，这三天恰有两天下雨的概率为多少？【例8】某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为．【例9】现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123,,A A A 通晓日语，123,,B B B 通晓俄语，12,C C 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． ⑴求1A 被选中的概率； ⑵求1B 和1C 全被选中的概率．

古典概型与几何概型

课题古典概型与几何概型教学目标 1、理解古典概型及其概率计算公式。 2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 3、了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 4、了解几何概型的意义。重点理解古典概型，几何概型的概念难点掌握古典概型，几何概型的概率公式【知识点梳理】一、古典概型 1．基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果,称为一个基本事件。基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。基本事件有以下两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。 2．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，这种事件叫等可能性事件 3．古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件出现的可能性相等。 4．古典概型的概率计算公式：对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n ，随机事件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率定义为()m P A n = 。二、几何概型 1. 几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型。 2. 几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。 3. 几何概型事件的概率计算公式：积）的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P = )( 作业

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型古典概型和几何概型是概率论中的两个重要概念，它们被广泛应用于统计学、数学和其他科学领域。本文将从古典概型和几何概型的定义、特点和应用等方面进行阐述，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。 1. 古典概型古典概型是指在确定试验中，每个基本事件发生的概率相等的情况。简单来说，就是试验的结果可以列举出来，并且每个结果发生的可能性相同。比如，投掷一个均匀的骰子，每个点数出现的概率都是1/6，这就是一个典型的古典概型。古典概型的特点是简单明确，适用于具有确定结果的试验。它可以用于求解事件的概率、计算期望值等问题。古典概型在实际应用中有着广泛的应用，比如扑克牌、硬币、骰子等常见的游戏和赌博问题都可以用古典概型进行分析和计算。 2. 几何概型几何概型是指试验的结果在几何空间中的分布情况。与古典概型不同的是，几何概型中的基本事件并不一定具有相等的概率。几何概型常用于描述连续型随机变量的分布情况，比如长度、面积、体积等。几何概型的特点是可以用几何图形来表示，更加直观直观形象。在

几何概型中，我们可以通过计算几何形状的面积、体积等来求解概率和期望值。几何概型在实际应用中有着广泛的应用，比如连续型随机变量的概率密度函数和分布函数的计算等。 3. 古典概型与几何概型的联系与区别古典概型和几何概型都是概率论中常用的概念，它们都可以用于描述试验结果的概率分布情况。但是古典概型强调的是试验结果具有相等的概率，而几何概型则不一定具有相等的概率。古典概型适用于离散型随机变量的分析，一般用于计算排列组合、事件概率等问题。而几何概型适用于连续型随机变量的分析，一般用于计算几何空间的面积、体积等问题。古典概型和几何概型在实际应用中常常结合使用。例如，在计算连续型随机变量的概率时，可以先用几何概型计算几何形状的面积或体积，然后再根据总体积或面积计算概率。 4. 古典概型与几何概型的应用举例古典概型和几何概型在实际应用中有着广泛的应用。以下举两个例子进行说明：（1）例子1：投掷两个均匀的骰子，求两个骰子之和为7的概率。这是一个典型的古典概型问题。由于每个骰子的点数出现的概率都是1/6，所以两个骰子之和为7的概率可以计算为1/6。

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型知识归纳 1.古典概型（1）定义：如果某类概率模型具有以下两个特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有______；②每个基本事件出现的______均等。我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型。（2）古典概型的特点： ①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有______； ②等可能性：每个基本事件出现的______均等。（3）古典概型的概率计算公式： m P n =，其中m表示_________________，n表示 _________________ 2.几何概型（1）如果某个事件发生的概率只与构成该事件的区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概率模型。（2）几何概型的特点： ①无限性：在一次试验中，可能出现的结果是无限的； ②等可能性：每个结果的发生的机会均等。（3）几何概型的概率计算公式：_______________. p= 3.几何概型与古典概型的区别： 4.解答概率题的步骤：（1）弄清试验是什么，找出基本事件的构成。（2）判断概率类型。（3）找出所求事件，同时弄清所求事迹的构成，并用符号表示。（4）求概率。巩固基础 1.下列试验是古典概型的是（）。 A 任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件； B为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件； C从甲地到乙地共条路线，求某人正好选中最短路线的概率； D抛掷一枚均匀的硬币到首次出现正面为止。 2.一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有的种数（）。 A 3 B 4 C 6 D 12 3.将一枚均匀硬币先后抛两次，恰好出现一次正面的概率是（）。

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型【知识要点】一、古典概型 1、基本事件（1）基本事件的定义一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件我们称为基本事件. （2）基本事件的特点 ①任意两个基本事件都是互斥的. ②任何事件都可以表示成基本事件的和. 2、古典概型（1）古典概型的定义我们将具有上述这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. （2）古典概型的特征古典概型是一种特殊的概率模型，其特征有以下两个： ①有限性. 即在一次试验中，所有可能出现的结果只有有限个，或者说在一次试验中，只有有限个不同的基本事件. ②等可能性. 即每个基本事件发生的可能性都是相等的，或者说所有结果出现的可能性都是相等的. 【注】古典概型必须满足两个条件：①有限性；②等可能性，只有这两个条件都满足时才是古典概型.

3、基本事件数的探求方法（1）列举法：此法适合于较简单的试验. （2）树状图法：此法是一种常用方法，适合于较复杂问题中基本事件的探求. 4、有放回的抽样与无放回的抽样在古典概型的概率计算中，将涉及两种不同的抽样方法，下面举例来说明. 设一个口袋内有n 个不同的球，现从袋内依次摸球，且每次只摸一只，则有如下两种摸球的方法：（1）有放回的抽样每次摸出一只后，放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样. 显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复出现，且摸球可以无限次地进行下去. （2）无放回的抽样每次摸出一只后，不放回袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称为无放回的抽样. 显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次. 5、古典概型的概率计算公式在古典概型中，事件A 的概率的计算公式如下： ()A m P A n = 事件所包含的基本事件的个数试验的基本事件的总数. 【注1】()m P A n = 既是概率的古典定义，又是求古典概型的概率的基本方法. 求()P A 时，要首先判断是否是古典概型，具体计算步骤如下： Step 1：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； Step 2：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；

古典概型和几何概型

一、古典概型 1)基本事件:一次试验中所有可能得结果都就是随机事件,这类随机事件称为基本事件. ２)基本事件得特点: ①任何两个基本事件就是互斥得; ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件得与. ３)我们将具有这两个特点得概率模型称为古典概率模型,其特征就是: ①有限性:即在一次试验中所有可能出现得基本事件只有有限个。 ②等可能性:每个基本事件发生得可能性就是均等得;称这样得试验为古典概型. ４)基本事件得探索方法: ①列举法:此法适用于较简单得实验. ②树状图法:这就是一种常用得方法,适用于较为复杂问题中得基本事件探索。 5)在古典概型中涉及两种不通得抽取放方法,下列举例来说明:设袋中有个不同得球,现从中一次模球,每次摸一只,则有两种摸球得方法: ①有放回得抽样每次摸出一只后,任放回袋中,然后再摸一只,这种模球得方法称为有放回得抽样,显然对于有放回得抽样,依次抽得球可以重复,且摸球可以无限地进行下去. ②无放回得抽样每次摸球后,不放回原袋中,在剩下得球中再摸一只,这种模球方法称为五放回抽样,每次摸得球不会重复出现,且摸球只能进行有限次. 二、古典概型计算公式１)如果一次试验中可能出现得结果有个,而且所有结果出现得可能性都相等,那么每一个基本事件得概率都就是; 2)如果某个事件包括得结果有个,那么事件得概率. ３)事件与事件就是互斥事件 4)事件与事件可以就是互斥事件,也可以不就是互斥事件。古典概型注意:

①列举法:适合于较简单得试验。 ②树状图法:适合于较为复杂得问题中得基本事件得探求、另外在确定基本事件时,可以瞧成就是有序得,如与不同;有时也可以瞧成就是无序得,如与相同、三、几何概型事件理解为区域得某一子区域,得概率只与子区域得几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与得位置与形状无关,满足此条件得试验称为几何概型. 四、几何概型得计算１)几何概型中,事件得概率定义为,其中表示区域得几何度量,表示区域得几何度量。 2)两种类型线型几何概型:当基本事件只受一个连续得变量控制时。面型几何概型:当基本事件受两个连续得变量控制时,一般就是把两个变量分别作为一个点得横坐标与纵坐标,这样基本事件就构成了平面上得一个区域,即可借助平面区域解决、五、几何概型具备以下两个特征: 1)无限性:即每次试验得结果(基本事件)有无限多个,且全体结果可用一个有度量得几何区域来表示; 2)等可能性:即每次试验得各种结果(基本事件)发生得概率都相等. 一、古典概型古典概型就是基本事件个数有限,每个基本事件发生得概率相等得一种概率模型,其概率等于随机事件所包含得基本事件得个数与基本事件得总个数得比值、【题干】甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜得概率相等,现任意将这个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇得概率为( ) A、Ｂ. ?? C、??Ｄ. 【答案】D。【解析】甲、乙在同一组:、甲、乙不在同一组,但相遇得概率:. 【点评】

高考数学考点归纳之古典概型与几何概型

高考数学考点归纳之古典概型与几何概型一、基础知识 1•古典概型 (1) 古典概型的特征： ①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件； ②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征一一有限性和等可能性• (2) 古典概型的概率计算的基本步骤： ①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A； ②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m； ③利用古典概型的概率公式P(A) = m，求出事件A的概率• (3) 频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同 (1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 (2 )几何概型的基本特点： ①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； ②每个基本事件出现的可能性相等• (3)计算公式：构成事件A的区域长度面积或体积_________ P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积• 几何概型应用中的关注点

1关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率• 2确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性

A. 3_ 10 考点一古典概型［典例精析］(1)(2018全国卷n )我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果•哥德巴赫猜想是“每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 = 7 + 23. 在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30的概率是( ) C.15 (2)(2019武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为 a 和b ,贝U 方程ax 2 + bx + 1 = 0有实数解的概率是( ) 7 1 A.36 B.2 19 5 C — D — C. 36 D. 18 ［解析］⑴不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有 C 1o = 45种情况，而和为30的有7+ 23,11+ 19,13 + 17这3种情况，所以所求概率P =45=1 _ * 1 < a <6, a € N , ⑵投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为 1 w b < 6, b € N *, 组合有36种. 若方程ax 2 + bx + 1 = 0有实数解，贝U △= b 2— 4a > 0，所以 b 2> 4a. 当b = 1时，没有a 符合条件；当 b = 2时，a 可取1;当b = 3时，a 可取1,2 ;当b = 4 时，a 可取 1,2,3,4 ;当 b = 5 时，a 可取 1,2,3,4,5,6 ;当 b = 6 时，a 可取 1,2,3,4,5,6. 满足条件的组合有 19 19种，则方程ax 2 + bx + 1 = 0有实数解的概率 P =--. 36 ［答案］(1)C (2)C ［题组训练］ 1. (2019 益阳、湘潭调研)已知 a € { — 2,0,1,2,3}, b € {3,5}，则函数 f(x) = (a 2— 2)e x + b 为减函数的概率是( ) 所以a 和b 的 3 2 1

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型一、古典概型 1、定义（1）样本空间的元素只有有限个；（2）每个基本事件发生的可能性相同。比如：抛掷一枚均匀硬币的试验，抛掷一枚均匀骰子的试验,从一副扑克牌中随机抽取一张。称具备条件（1）、（2）的实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。 2、古典概型中事件概率的计算设{}ωωωn ，，， 21=Ω ，由古典概型的等可能性，得}{}{}{21n P P P ωωω=== 又由于基本事件两两互不相容；所以},{}{}{}{121n P P P P ωωω ++=Ω=.,,2,1,1 }{n i n P i ==ω 若事件A 包含m 个样本点，即{} ωωωi i i A m ,,,21 =，则有：中元素个数中元素个数Ω=A P(A)基本事件总数发生的基本事件数使A = n m = 1．（2010佛山一模）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（） A ．0.85 B ．0.8192 C ．0.8 D ． 0.75 2．(2007·广东)在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 A ．310 B ．15 C ．110 D ．112 3.（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 .

古典概型和几何概型的联系和区别

古典概型和几何概型的联系和区别古典模式和几何模式是几何学中最重要的概念，两者都拥有自己独特的性质和特点，古典模式在几何学中有着重要的地位，而几何模式的作用也是不可忽视的。本文研究古典模式和几何模式之间的联系和区别，探究它们在几何学中的作用和分别。古典模式概念的最初来源于古希腊的几何学家，他们提出一种建立在基本几何设定上的认识框架，把它们用来构建古典几何模式。这种模式考察两个点之间的关系，即连续无穷的直线上可以放置无数个点，而不同点之间可以确定一个角度，即认为两个点之间可以构成一条线，并且可以求出两点之间的距离和它们的点积。古典模式可以用来定义几何图形的形状，例如圆形和多边形，也可以用来计算各种平面或空间几何形状的面积和体积。几何模式是20世纪出现的一种新型几何学，它从古典模式出发，使用现代数学理论构建出更为复杂的几何模型。几何模式以向量论、线性代数和拓扑学作为基础，运用几何模型来分析和解决实际几何问题。几何模式是一种抽象的模型，用于表示几何图形的抽象特征和性质，它利用数学函数和抽象空间概念来分析和解释几何形状和空间结构的属性。这种模型主要用于几何学研究，目的在于更好地理解复杂的几何形状和空间结构。古典模式和几何模式之间存在着某种关联，古典模式是几何模式的基础。古典模式的概念在几何学中有着重要的作用，它们为几何学提供了基本的基础和理论，几何学家们可以利用它们来构建和

推导几何模型。另外，古典模式也可以用来计算几何图形的面积和体积，而几何模式则可以深入分析几何形状和空间结构的抽象特征和性质。虽然古典模式和几何模式有一定的关联，但它们之间也存在着明显的区别。古典模式是以古希腊的几何学家所提出的一种框架为基础，主要用来定义几何图形形状和计算几何图形的面积和体积；而几何模式则是在古典模式基础上发展而来的，它建立在物理实验、向量论、线性代数和拓扑学等数学理论基础上，运用几何模型来分析和解决实际几何问题。由此可见，古典模式主要是用来定义几何图形形状，而几何模式则是运用数学理论深入分析几何形状的性质。综上所述，古典模式和几何模式是几何学中最重要的概念，它们之间存在着一定的关联，但它们之间也有着明显的差别，古典模式主要用来定义几何图形形状，而几何模式则是运用数学理论深入分析几何形状的性质。两者都具有重要的意义，有助于我们更好地理解复杂的几何形状和空间结构。

高考数学一轮复习专题训练—古典概型与几何概型

古典概型与几何概型考纲要求 1.理解古典概型及其概率计算公式； 2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率； 3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率； 4.了解几何概型的意义．知识梳理 1．古典概型 (1)基本事件的特点 ①任何两个基本事件是互斥的． ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． (2)古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (3)古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数. 2．几何概型 (1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． (2)几何概型的两个基本特点

(3)几何概型的概率公式 P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 . 1．古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法． 2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 3．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．诊断自测 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．() (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．() (3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．() (4)概率为0的事件一定是不可能事件．() 答案(1)×(2)×(3)√(4)× 解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确．

古典概型与几何概型的异同点

古典概型与几何概型的异同点一、背景和定义 1. 古典概型：基于等可能性的最直观概率模型。若一个试验只有有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同，则该试验称为古典概型。 2. 几何概型：当试验的可能结果不是有限可数时，或者每个结果发生的可能性不都是相等的，这时候就需要用到几何概型。它是基于长度、面积、体积等几何量与概率的结合。二、相同点 1. 两者都是概率模型，用于描述随机试验中各种结果出现的可能性。 2. 在每种模型下，每个基本事件（或样本点）的概率都是非负的，并且它们的和都等于1。三、不同点 1. 试验的基本事件数量：古典概型是有限可数的，而几何概型则可能无限不可数。 2. 概率的定义方式：在古典概型中，概率是基于等可能的假设来定义的。而在几何概型中，概率是通过与某个几何量（如长度、面积、体积等）的关联来定义的。 3. 概率的计算方法：在古典概型中，概率通常是直接计算基本事件的数量来得到。而在几何概型中，概率的计算可能需要使用几何知识，如长度、面积或体积等。 4. 适用范围：古典概型适用于具有有限个等可能结果的情况，例如掷骰子、抽签等。而几何概型适用于试验结果连续且无限的情况，例如在一定范围内的随机落点、随机选择一条线段上的点等。 5. 公平性：古典概型假定每个基本事件的发生是公平的，即每个基本事件的概率都是相等的。而几何概型中，公平性的概念可能不那么直观，因为基本事件的发生可能与空间的分布有关。 6. 概率的取值：在古典概型中，概率的取值是离散的，通常是0或1。而在几何概型中，概率的取值是连续的，可以在0到1之间任意取值。

7. 问题的复杂性：对于一些复杂的问题，如复杂的多因素决策问题，可能需要考虑更复杂的概率模型，而不仅仅是古典概型或几何概型。四、例子 1. 古典概型例子：抛掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的概率都是0.5；从一副扑克牌中抽取一张牌，每种花色的概率都是1/4。这些例子都是基于等可能的假设，每个基本事件的发生概率都是相等的。 2. 几何概型例子：在一段长度为1的线段上随机选择一个点，选择的点落在任意一个特定长度区间的概率是该区间的长度除以整个线段的长度；在一个面积为1的圆内随机选择一个点，选择的点落在任意一个特定面积区域的概率是该区域的面积除以整个圆的面积。这些例子中，概率是通过与某个几何量的关联来定义的。五、应用领域 1. 统计学：在统计学中，古典概型和几何概型都是用于描述数据分布的概率模型。古典概型通常用于描述离散数据的分布，而几何概型则用于描述连续数据的分布。 2. 物理科学：在物理科学中，这两种模型也都有应用。例如，在量子力学中，波函数是一种描述粒子状态的几何概型；而在经典力学中，粒子运动轨迹的概率可以通过几何概型来描述。 3. 工程学：在工程学中，这两种模型也都有应用。例如，在通信工程中，信号传输的质量可以通过几何概型来描述；而在电子工程中，电路的工作状态可以通过古典概型来描述。 4. 社会科学：在社会科学中，这两种模型也有应用。例如，在经济学中，股票价格的波动可以通过几何概型来描述；而在心理学中，人类的决策行为可以通过古典概型来描述。

古典概型与几何概型

概率专题——古典概型与几何概型 4、盒中有9个球，其中4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色以外完全相同。（1）从盒中随机取2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P （2）从盒中一次取4个球，其中红球、黄球、绿球的个数记为 x1、x2、x3，随机数学学院，其余7名来自物理、化学等其他各不相同的 7个学院，先从10名同学一、知识梳理： 1、古典概型：性质：公式： 2、几何概型：性质：公式：二、例题： 1、花园小区有块三边长分别为5m 、5m 、6m 的三角形绿化地，有只小花猫在其内部玩耍，若不考虑小花猫的大小，则在任意的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m 的概率是 ___________________ 2、欧阳修《卖油翁》中写到：“翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”。可见“行行出状元,卖油翁的技艺让人叹为观止。若铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔，若随机向铜钱上第一滴油（油滴不出边界），则油滴整体（油滴是直径为 0.2cm 的球）正好落入孔中的概率是 _____________________ 中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）（1）求选出3名同学是来自不同学院的概率；（2）设X 为选出同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列。变量X 表示x1、x2、x3中的最大数，求X 的分布列及数学期望

3、某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中3名同学来自

5、一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4个卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张。 6、求所取3张卡片上的数字完全相同的概率P 7、X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列及数学期望。

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型【学习目标】 1．能说明古典概型的意义并会求解古典概型的概率； 2．能说明几何概型的意义并会求解几何概型的概率．【学习重点】古典概型与几何概型的概率求解．【学习过程】一、知识梳理 1．知识要点（1）古典概型 ○ 1定义：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；且每个基本事件出现的可能性相等．我们将这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ○ 2古典概型计算任何事件的概率计算公式为： ○ 3古典概型的特征： (ⅰ) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (ⅱ) 每个基本事件出现的可能性相等．（2）几何概型 ○ 1定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． ○ 2几何概型中事件A 的概率计算公式为: 积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件）（A A P = ． ○ 3几何概型的两个特征： (ⅰ)试验结果有无限多； (ⅱ)每个结果的出现是等可能的．二、基础自测 1．知集合A={}9,7,5,3,1,0,2,4,6,8-----,在平面直角坐标系0x y 中,点(),x y 的坐标,x A y A ∈∈,点(),x y 正好在第二象限的概率是 ( C )

A ． 13 B ． 14 C ． 15 D ． 25 2．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）（A ） 136 （B ）19 （C ）536 （D ）16 【解】选D 甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有4466A A ⋅（种）；最后一小时他们同在一个景点的情形有3 35 5 6A A ⋅⨯（种），所以33 55446 6 616 A A P A A ⋅⨯= = ⋅． 3．A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A 、B 两点,它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为 ( B ) A ． 12 B ． 23 C ． 32 D ． 14 4．如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该图内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）P （A ）= _____________；（2）P （B|A ）= ．【答案】（1） 2 π ，（2）14 5．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为．（结果用最简分数表示）【答案】28 145 三、典例解析例1某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（I ）没有人申请A 片区房源的概率；（II ）每个片区的房源都有人申请的概率．思路启迪：这是古典概型的概率计算问题．解：（I ）所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A 片区房源”的申请方式有24 种．记“没有人申请A 片区房源”为事件A ，则 44 216().81 3 P A = = （II ）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有 1 2 1 2 3 34243()C C C C C 或种．记“每个片区的房源都有人申请”为事件B ，从而有

古典概型和几何概型

古典概型和几何概型古典概型和几何概型都是特殊的随机事件概率模型，是高考常考的知识点.高考试卷中，古典概型和几何概型常以选择题、填空题的形式出现，有时也有解答题，属中、低档题目；理科绝大多数与排列组合、分布列、期望、方差、平面几何、函数、向量等一起综合考查. 重点难点重点：明确古典概型的等可能性和有限性；明确几何概型的等可能性和无限性. 会灵活应用古典概型和几何概型的概率计算公式，特别是古典概型中，文科学生主要掌握借助表格、树形图用列举法求解概率；理科学生更应掌握用排列组合、独立重复事件、二项分布、对立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式等方法求概率. ？摇难点：要会区分问题是古典概型或几何概型；慎重对待基本事件的等可能性，注意要恰当地分类，并做到试验包含的基本事件不重不漏；选择合适的方法和测度解决概率问题，特别要分清问题是“放回”还是“不放回”，是“有序”还是“无序”. 方法突破（1）对简单的概率问题要能迅速判断出是哪种类型的概率问题，再套用公式解决.

（2）对古典概型，要会用列举法，借助表格、树形图等写出所有基本事件和所求事件包含的基本事件. 求古典概型的一般方法和步骤如下： ①判断试验是否为等可能性事件，并用字母表示所求事件. ②计算基本事件的个数n及事件A中所包含的基本事件的个数m. ③计算事件A的概率P（A）=■. （3）对几何概型，要根据题意判断是直线型、面积型、体积型还是角度型.判断的关键是看它是不是等可能的，也就是点是不是均匀分布的.求解的关键是要注意古典概型与几何概型的区别（基本事件的有限性和无限性），构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率. （4）要注意古典概型、几何概型与其他知识的联系，根据问题的特点，联想相关知识，找到所求事件满足的条件. 典例精讲一、几种几何概型的辨别 1. 长度型几何概型 ■例1 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM 思索记“AM 破解P（A）=■=■=■=■.

知识讲解_高考总复习：古典概型与几何概型(基础)

高考总复习：古典概型与几何概型编稿：孙永钊审稿：张林娟【考纲要求】 1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率； 2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。【知识网络】【考点梳理】知识点一、古典概型 1. 定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。 2. 古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。 3.古典概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是 1n 。如果某个事件A 包含m 个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和，即n m A P )(。所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为：随机事件的概率古典概型几何概型应用

试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A A P =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ；（3）应用公式()m P A n =求值。 5．古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。知识点二、几何概型 1. 定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 2.几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3.几何概型的概率计算公式：随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。所以几何概型计算事件A 的概率计算公式为：Ω =μμA A P )( 其中μΩ表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，A μ表示构成事件A 的区域的几何度量。要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法. 【典型例题】