新教材2020人教B版数学必修第四册教师用书：第11章 立体几何初步 章末复习课

空间几何体的表面积与体积

们将体积公式“V＝kD3”中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V＝kD3，其中，在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长．假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么，k1∶k2∶k3＝()

A．π

4∶π

6∶1B．

π

6∶

π

4∶2

C．1∶3∶12

πD．1∶

3

2∶

6

π

D[球中，V＝4

3πR

3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫D2

3

＝π

6D

3＝k1D3，所以k1＝π6；

等边圆柱中，V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫D 22·D ＝π4D 3＝k 2D 3，所以k 2＝π4； 正方体中，V ＝D 3＝k 3D 3，所以k 3＝1；

所以k 1∶k 2∶k 3＝π6∶π4∶1＝1∶32∶6π.]

几何体表面积与体积的解题策略

几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．

1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为

( )

A ．142π平方尺

B ．140π平方尺

C ．138π平方尺

D ．128π平方尺

C [可以把该四棱锥补成一个长方体，长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，四棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为

72＋52＋82＝138尺，所

以表面积为138π平方尺．]

共点、共线、共面问题 别是BC ，PC 的中点，点G 在PD 上，且PG ＝13PD .证明：点A ，E ，F ，G 四点

共面．

[思路探究]连接EF，AG，在平面ABCD内，连接AE并延长交DC的延长线于点M，在平面PCD内，连接GF并延长交DC的延长线于点M1，证明点M与点M1重合，进而可得结论．

[证明]连接EF，AG，在平面ABCD内，连接AE并延长交DC的延长线于点M，则有CM＝CD.

在平面PCD内，连接CF并延长交DC的延长线于点M1.

取GD的中点N，连接CN.

则由PG＝1

3PD可知PG＝GN＝ND.

因为点F为PC的中点．

所以在△PCN中有FG∥CN，即GM1∥CN.

所以在△GM1D中有CM1＝CD.

所以点M与点M1重合，即AE与GF相交于点M.

所以A，E，F，G四点共面．

证明点、线共面的两种方法

方法一：先由确定平面的条件确定一个平面，然后再证明其他的点、线在该平面内．

方法二：先由有关点、线确定一个平面α，再由其余元素确定一个平面β，然后根据有关定理，证明这两个平面重合．

2．如图，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．

[证明]因为AB∥CD，

所以AB，CD可确定一个平面，设为平面β，

所以AC在平面β内，即E在平面β内．

而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.

可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，

根据基本事实3可得，B，D，E三点共线.

空间中的平行关系【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

[思路探究]假设存在满足条件的点F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF、PM，则必有AF∥PM，又PB ＝2MA，则点F是PB的中点．

[解]当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，

证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么

PF＝1

2PB.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是BD的中点．∴OF∥PD.

又OF平面PMD，PD平面PMD，

∴OF∥平面PMD.又MA 1

2PB，∴PF MA

．

∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.

又AF平面PMD，PM平面PMD.

∴AF∥平面PMD.

又AF∩OF＝F，AF平面AFC，OF平面AFC.

∴平面AFC∥平面PMD.

空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．

3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.