高等代数第四章 矩阵
高等代数第四章矩阵练习题参考答案
高等代数第四章矩阵练习题参考答案第四章矩阵习题参考答案一、判断题1.对于任意阶矩阵,,有、错、2.如果则、错、如、3.如果,则为可逆矩阵、正确、,因此可逆,且、4.设都就是阶非零矩阵,且,则得秩一个等于,一个小于、错、由可得、若一个秩等于,则该矩阵可逆,另一个秩为零,与两个都就是非零矩阵矛盾、只可能两个秩都小于、5.为阶方阵,若则错、如,有但、6.为矩阵,若则存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵,使正确、右边为矩阵得等价标准形,矩阵等价于其标准形、7.阶矩阵可逆,则也可逆、正确、由可逆可得,又、因此也可逆,且、8.设为阶可逆矩阵,则正确、又====、AB B A A BB A A B EA B AA A B E()(**)(*)*||*||*||||因此、由为阶可逆矩阵可得可逆,两边同时左乘式得逆可得二、选择题1.设就是阶对称矩阵,就是阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵得就是(B )、(A) (B) (C) (D)(A)(D)为对称矩阵,(B)为反对称矩阵,(C)当可交换时为对称矩阵、2、设就是任意一个阶矩阵,那么( A)就是对称矩阵、(A) (B) (C) (D)3.以下结论不正确得就是( C )、(A)如果就是上三角矩阵,则也就是上三角矩阵;(B)如果就是对称矩阵,则也就是对称矩阵;(C)如果就是反对称矩阵,则也就是反对称矩阵;(D)如果就是对角阵,则也就是对角阵、4.就是矩阵, 就是矩阵, 若得第列元素全为零,则下列结论正确得就是(B )(A ) 得第行元素全等于零; (B )得第列元素全等于零; (C ) 得第行元素全等于零; (D ) 得第列元素全等于零; 5.设为阶方阵,为阶单位阵,则以下命题中正确得就是(D ) (A) (B) (C) (D)6.下列命题正确得就是(B )、 (A) 若,则 (B) 若,且,则 (C) 若,且,则 (D) 若,且,则7、就是矩阵,就是矩阵,则( B)、 (A) 当时,必有行列式; (B) 当时,必有行列式 (C) 当时,必有行列式; (D) 当时,必有行列式、为阶方阵,当时,因此,所以、 8.以下结论正确得就是( C ) (A) 如果矩阵得行列式,则; (B) 如果矩阵满足,则;(C) 阶数量阵与任何一个阶矩阵都就是可交换得; (D) 对任意方阵,有9.设就是非零得四维列向量,为得伴随矩阵,已知得基础解系为,则方程组得基础解系为( C )、(A)、 (B)、(C)、 (D)、由得基础解系为可得、因此(A),(B)中向量组均为线性相关得,而(D)显然为线性相关得,因此答案为(C)、由12341234**(,,,)(*,*,*,*)A A A A A A A O αααααααα===可得均为得解、10、设就是阶矩阵,适合下列条件( C )时,必就是可逆矩阵(A) (B) 就是可逆矩阵 (C) (B) 主对角线上得元素全为零11.阶矩阵就是可逆矩阵得充分必要条件就是( D )(A) (B) (C) (D)12.均就是阶矩阵,下列命题正确得就是( A )(A)若就是可逆矩阵,则从可推出(B)若就是可逆矩阵,则必有(C)若,则从可推出(D)若,则必有13.均就是阶矩阵,为阶单位矩阵,若,则有(C )(A)(B) (C) (D)14.就是阶方阵,就是其伴随矩阵,则下列结论错误得就是( D )(A)若就是可逆矩阵,则也就是可逆矩阵;(B)若就是不可逆矩阵,则也就是不可逆矩阵;(C)若,则就是可逆矩阵; (Ｄ)15.设就是5阶方阵,且,则( Ｄ )(A)(B) (C) (D)16.设就是得伴随阵,则中位于得元素为(Ｂ )(A) (B) (C) (D)应为得第列元素得代数余子式与得第列元素对应乘积与、17、设, ,其中就是得代数余子式,则(C )(A)就是得伴随 (B)就是得伴随 (C)就是得伴随(D)以上结论都不对18.设为方阵,分块对角阵,则 ( Ｃ )(A)(B)(C) (D)利用验证、19.已知,下列运算可行得就是( C )(A)(B) (C) (D)20.设就是两个矩阵,就是阶矩阵,那么( D )(A)(B)(C)(D)21.对任意一个阶矩阵,若阶矩阵能满足,那么就是一个( Ｃ )(A)对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)得逆矩阵与任意一个阶矩阵均可交换得矩阵为数量矩阵、22.设就是一个上三角阵,且,那么得主对角线上得元素( Ｃ )(A)全为零 (B)只有一个为零（C）至少有一个为零 (D)可能有零,也可能没有零23.设,则( D )(A)(B) (C) (D)24. 设,若,则( B )(A)(B) (C) (D)25.设阶矩阵,若矩阵得秩为1,则必为(A )(A)1 (B)-1 (C)(D)矩阵得任意两行成比例、26、设为两个阶矩阵,现有四个命题:①若为等价矩阵,则得行向量组等价;②若得行列式相等,即则为等价矩阵;③若与均只有零解,则为等价矩阵;④若为相似矩阵,则与解空间得维数相同、以上命题中正确得就是( D )(A) ①, ③、(B) ②, ④、(C) ②,③、(D)③,④、当时,为相似矩阵。
高等代数第4章矩阵1,2,3节
B 18 6,
例
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
转置矩阵的运算性质
1 A
T T
A;
T
2 A B AT BT ;
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 X , xn
b1 b2 B . bm
性质：1.( AB)C A( BC )
2.k ( AB) (kA)B A(kB) 3. A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
4. Em Amn Amn , Amn En Amn
5.( kEm ) Amn kAmn , Amn ( kEn ) Amn
全相等
k 0 0 0 k 0 的方阵, 称为数量矩阵. （8）形如 记作 kE (或kEn ). 0 0 k
(9)方阵
1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
4.2.2 矩阵的数乘
数k与矩阵A的乘积记作kA, 规定为
ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2 n kA [kaij ] . kam1 kam1 kamn 性质： 1.1的数乘：1 A A 2.数乘结合律： ) A k (lA) (kl 3.数乘分配律： l ) A kA lA (k
定义n阶方阵的k次幂为： Ak AA A 显然： Ak Am Ak m k个A
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a aa a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ijb a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B =③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
高等代数第四章 矩阵
30 10 15
10 70 35
45 20 25
100
,B
150 320000
20 45 16200
15500 ,C 28000
19750
5650 10350, 6775
第四章 矩阵
16
高等代数
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定义2
（1）结合律 ABC ABC;
（2）分配律 AB C AB AC,
B C A BA CA;
第四章 矩阵
18
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4）矩阵乘法不满足交换律，即一般来说 AB BA
例如 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
A1 A
Ak
1
Ak
A
由乘法结合律有 Ak Al Akl
Ak
l Akl
注 1）方幂只能对行数和列数相等的矩阵来定义。
2）一般来说 ABk Ak Bk
第四章 矩阵
21
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a11x1 a12 x2 a1n xn b1
第四章 矩阵
2
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化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题，但 是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。 定义 化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种 原子的个数，排列成的数字表称为化学反应矩阵。
第四章 矩阵
3
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矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2,
高等代数课件PPT之第4章矩阵
0
1
–1
–1
0
1
1
–1
0
石头 剪子 布
乙方
石头 甲
剪子 方
布
0 1 1 答案 : 1 0 1 .
1 1 0
2.矩阵的线性运算（矩阵加法、 数乘） （1）矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
总利润:862.5元
C矩其(1阵中)定AA义c与Baaij 12B设11的a矩i1乘baa阵 1积12j22是a一Ai 2b个2 jmaaa×i 12j ssnm矩sa阵,bbiBs12b11sCj bbbi12sj22ascinki b.j kjmbbn12nn,
a m1 i
a1m,22,, m; aj ms1,2,bs,1n
矩阵,也就是一个数.
4 1 0
例8
求
矩
阵A
1 2
0 1
3 0
21与B
1
2
1
1 0 3
3的 1
乘 积AB.
4
解
4 1 0
C AB
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3 1 4
14 01 32 11 11 01 30 13 10 0 3 31 14
24 11 0 2 21
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
高等代数课件(北大版)第四章-矩阵§4-2
则称 A 为反对称矩阵.
a1n a2n
ann
a1n a2n
0
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
性质
(1) A, B 对称 A B, A B 对称 ; A, B 反对称 A B, A B 反对称．
(2) A 对称，k P kA 对称 ； A 反对称，k P kA 反对称．
(3) 奇数级反对称矩阵的行列式等于零．
A A A A A (1)n A ,
n 为奇数时，A A A 0.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
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想一想 A, B 皆为 n 级对称矩阵， i) A, B 对称，积 AB对称吗? ii) A, B 反对称，积 AB 反对称吗?
例7 已知 A, B 皆为 n 级对称矩阵，证明：
AB 对称 AB BA.
证： 若AB对称，则有
AB ( AB) BA BA .
反过来，若AB=BA，则有 ( AB) BA BA AB. 所以 AB 对称.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
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例8 设 A 为 n 级实对称矩阵，且 A2 0，证明：
1
1,
12,
1 3
23
3,
An 3n1
1
3n1 3n1 A 3n1 2
3
1 2 1
3 2
1
3 2
3 1
.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
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附: 共轭矩阵
定义
当 A aij 为复矩阵时，用 aij 表示 aij 的共轭 复数, 记 A aij ， A 称为 A 的共轭矩阵.
第四章 矩阵
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
高等代数 矩阵.
a. A有n个线性无关的特征向量 A相似于对角形
b. A有n个不同的特征根，则A相似于对角形。
c.设n阶矩阵A有s个不同的特征根 1, 2 , , s ,A
s
的属于 i 的线性无关特征向量的个数为ni， ni n i 1
A相似于对角形。
d.A的初等因子都是一次因式 A相似于对角形.
(8)若
1
1
A
若AB=BA, 则B是A的多项式.
1
4.方阵的行列式
(1) 若A是 n 阶矩阵，AT 是 A的转置矩阵，则| AT || A |;
(2) 若A是n阶矩阵，则 | kA | k n | A |; (3) 若A, B都是n阶矩阵，则 | AB || A || B |;
(4) 若A是n阶矩阵，则 | A || A |n1; (5) 若A是n阶可逆矩阵，则 | A1 || A |1;
的特征向量是方程组 (I A)X 0 的所有非零解.
(1) n阶方阵A的特征多项式
f () | I A | n a1n1 an1 an ,
其中
ak (1) k 1i1i2 ik n Aii11
i2 i2
ik
ik
n
特别地， a1 aii , an (1)n | A | . i 1
e.若r(A)=r,则
A
P
Ir
0
00Q,其中| P | 0，| Q | 0.
f. A=TBT-1,其中B是上三角形矩阵且对角线上的元 素是A的特征根。
g. 若r(A)=r,则A=PR，R是上三角形的矩阵，其主 对角线上前r个元素为1，后n-r个元素为0而|P|≠0.
h. A=B·C,其中BT=B,CT=-C. i. 对任意n阶矩阵A有A=BU，其中B是半正定矩阵， U为酉矩阵。
高等代数第四章 矩阵PPT
矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的m行n 列的数表
a11 a12 L
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n
a2n
M
amn
称为 m n矩阵. 简记为 A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
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第四章 矩 阵
1、矩阵概念的一些背景
矩阵是线性代数中最基本的概念之一， 也 是解决数学问题和实际问题的一个强有力的武 器之一。
2020/3/25
第四章 矩阵
1 1
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矩阵在密码学中的应用实例 古罗马皇帝恺撒首先使用了这样一种密码：在保 留明文中的大小写、空格及标点符号的前提下， 把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第 4个字母。人们为了纪念恺撒德，就把这种密码 称为恺撒密码。但是恺撒密码有一个致命的缺陷， 即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密 文出现的频率是相通的。1929 年，Hill 提出了 一种克服恺撒密码缺陷的密码，该密码以矩阵变 换的方法建立字母组间的对应关系，该方法的诞 生从此使密码学进入了以数学方法处理问题的新 阶段。
b2n M bsn
称为A和B的和，记为C＝A+B。
注 1）矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。相加 的矩阵必须要有相同的行数和列数
2）矩阵加法满足
结合律：A+(B+C)=(A+B)+C； 交换律： A+B=B+A。
2020/3/25
高等代数课件北大版第四章矩阵
高等代数课件(北大版)第四章矩阵第一节：矩阵的概念及基本运算矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。
在数学和应用领域有着重要的应用价值。
1.1 矩阵的定义定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。
例如:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
例如：$$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\-4 & -5 & -6 \\-7 & -8 & -9\end{pmatrix},$$则 $C=A+B$ 得：$$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$1.2.2 矩阵的数乘定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。
高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-4
立即可得,
a11 a 21 * AA a n1 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn A1 1 A 2 1 A1 2 A 2 2 A1 n A 2 n
d 0 0 0 d 0 dE . 0 0 d数学与计算科学学院 2012-9-22 §4.4 矩阵的逆
AB A 2B
求矩阵B．
解：由
，得 ( A
2 E ) B A ，又
2 3 3 A 2 E 1 1 0 2 0 1 2 1
A 2E
可逆，且
(A 2E )
1
1 1 3 3 1 1 3 2 1 1 1
0 3 3 1 B ( A 2 E ) A 1 2 3 1 1 0
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1 1 E 1
A
1
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
三、逆矩阵的运算规律
1 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 A
1 1 1
A.
2 若 A 可逆 , 数 0 , 则 A 可逆 , 且
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
X A CB
1
1
.
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3. 矩阵积的秩
定理4
A s n ,
若 Ps s , Q n n 可逆，则
R( A) R( PA) R( AQ ) R( PAQ )
证： 令
B PA,
由定理2， R ( B ) R ( A ),
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代数方法 第四章__高等代数选讲之矩阵
分析 因为可逆矩阵的定义式是矩阵相乘可交换次序 的等式，所以可将等式进行恒等变形，变成 CD E（或
DC E ）的形式，此时有 DC E（或 CD E ）。利用 此可证明矩阵乘积可交换的命题。
由 AB A B 得 AB A B O ，即 AB A B E E 于是有 A E B E E 证 因为 A E 与 B E 为 n 阶方阵，则由上式知 A E 可逆 且 B E 为 A E 的逆矩阵，从而有 B E A E E 即 BA A B E E 故
A
k T
k
T
k 1
T T
k 1
A
注
当 A 可分解为 A T 时，可知 r A 1.
方法4 分块对角矩阵求方幂：对于分块对角矩阵
A1 A AN A1k 有 Ak
A' A, AA' A2 0
2 2 a11 a12 a12n 0 2 2 2 a21 a22 a2 n 0 则有 2 2 2 an1 an 2 ann 0
又 aij R 则有 aij 0， i, j 1,2,n
xy y2 yz
xz 1 1 1 yz 1 1 1 z 2 1 1 1 1，于是 T x2 y 2 z 2 3.
例2.
12
13
14
15
AB 例3、设 A, B 为 n 阶方阵，且 AB A B ，证明： BA.
3
T 例3、设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA E，且 A 0 ，
高等代数第四章矩阵练习试题参考包括答案.docx
第四章矩阵习题参考答案一、判断题1.对于任意 n 阶矩阵A，B，有A B A B .错.2.如果 A20, 则A0 .错 . 如A 110, 但A 0 . 1, A213.如果 A A2 E ，则 A 为可逆矩阵.正确 . A A2E A( E A) E ，因此A可逆，且A1 A E .4.设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且AB 0 ，则A, B的秩一个等于n，一个小于n.错 . 由AB0 可得r ( A)r (B)n .若一个秩等于 n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾. 只可能两个秩都小于n .5．A, B, C为n阶方阵，若AB AC ,则 B C.错 . 如A 112132，有 AB AC ,但B C. 1, B2, C32116．A为m n矩阵，若r ( A)s, 则存在 m 阶可逆矩阵P及 n 阶可逆矩阵 Q ，使I s0PAQ.00正确 . 右边为矩阵A的等价标准形，矩阵 A 等价于其标准形.7．n阶矩阵A可逆，则A *也可逆 .正确 . 由A可逆可得| A |0 ，又 AA* A* A| A | E .因此 A *也可逆，且( A*) 11A . | A |8．设A, B为n阶可逆矩阵，则( AB)* B * A* .正确 . ( AB)( AB)*| AB | E| A || B | E. 又( AB)( B * A*) A( BB*) A* A | B | EA* | B | AA* | A || B | E .因此 ( AB)( AB)* ( AB)( B * A*) .由 A, B 为 n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆可得( AB)* B * A * .二、选择题1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(B T B ),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）.(A) AB BA (B)AB BA (C)( AB)2(D)BAB(A)(D) 为对称矩阵，（ B）为反对称矩阵，（ C）当A, B可交换时为对称矩阵.2.设 A 是任意一个n阶矩阵，那么（A）是对称矩阵.(A)A T A(B) A A T(C)A2(D)A T A3．以下结论不正确的是（C）.(A)如果 A 是上三角矩阵，则 A2也是上三角矩阵；(B)如果 A 是对称矩阵，则 A2也是对称矩阵；(C)如果 A 是反对称矩阵，则 A2也是反对称矩阵；(D)如果 A 是对角阵，则 A2也是对角阵.4．A是m k 矩阵, B 是 k t 矩阵,若 B 的第 j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ B ）( A)AB 的第 j 行元素全等于零；( B) AB的第j列元素全等于零；( C)BA 的第 j 行元素全等于零；( D)BA 的第 j 列元素全等于零；5 ．设 A, B 为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）(A)( A B)2 A 2 2 ABB 2 (B) A 2 B 2( A B)( A B)(C) ( AB) 2A 2B 2 (D) A 2E 2( A E)( A E)6．下列命题正确的是（ B ） .(A) 若 AB AC ，则 B C(B) 若 AB AC ，且 A0 ，则 B C(C) 若 AB AC ，且 A 0 ，则 BC(D)若 ABAC ，且 B 0, C 0 ，则 B C7.A 是 m n 矩阵，B 是 n m 矩阵，则（ B ） .(A) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 ； (B) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 (C) 当 nm 时，必有行列式 AB0 ；(D) 当 n m 时，必有行列式 AB 0 .AB 为 m 阶方阵，当 m n 时， r ( A) n, r ( B) n, 因此 r ( AB) n m ，所以AB 0 .8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵 A 的行列式 A 0 , 则 A 0 ； (B) 如果矩阵A 满足 A 2 0 ，则A 0；(C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵 A, B ，有 ( A B)( A B) A 2 B 29．设 1 , 2 , 3 ,4 是非零的四维列向量， A ( 1 ,2 ,3 ,4 ), A * 为 A 的伴随矩阵，已知 Ax0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，则方程组 A * x0 的基础解系为（ C ） .（ A ） 1 , 2,3 .（ B ） 12 ,23 ,31 .（ C）2,3,4 .（ D）1 2 ,2 3 , 3 4 , 4 1 .1由 Ax 0 的基础解系为(1,0, 2,0)T可得 ( 1 , 2 , 3 , 4 )00, 1 2 30 .2D）显然为线性相关的，因此答案因此（ A），（B）中向量组均为线性相关的，而（为（ C） . 由A* A A*( 1 , 2 ,3, 4 )( A *1, A* 2 , A* 3 , A * 4 )O 可得 1 , 2 , 3 , 4 均为A* x0 的解.10.设 A 是n阶矩阵， A 适合下列条件（C）时，I n A 必是可逆矩阵(A)A n A(B) A 是可逆矩阵(C)A n0(B) A 主对角线上的元素全为零11． n 阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是（D）(A) A 1 (B)A 0 (C) A A T(D)A012． A, B, C 均是 n 阶矩阵，下列命题正确的是（A）(A)若 A 是可逆矩阵，则从 AB AC 可推出 BA CA(B)若 A 是可逆矩阵，则必有 AB BA(C) 若A0 ，则从 AB AC 可推出 B C(D) 若B C ，则必有 AB AC13．A, B,C均是n阶矩阵，E为 n 阶单位矩阵，若ABC E ，则有（C）(A) ACB E （B） BAC E （C） BCA E (D)CBA E14．A是n阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（D）(A)若 A 是可逆矩阵，则 A*也是可逆矩阵；(B) 若A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵；(C) 若 A *0 ，则 A 是可逆矩阵；（Ｄ） AA *A .AA *A E nA .15．设 A 是 5 阶方阵，且A0 ，则 A * （ Ｄ）(A)A(B)A23 (D)4(C)AA16．设 A * 是 A(a ij )n n 的伴随阵，则 A * A 中位于 (i , j) 的元素为（Ｂ ）nnnn(A)ajkA ki (B)a kjAki(C)a jkAik(D)a kiAkjk 1k 1k 1k 1应为 A 的第 i 列元素的代数余子式与 A 的第 j 列元素对应乘积和 .a11L a 1nA11L A1n17. 设 ALL L, BLL L, 其中 A ij 是 a ij 的代数余子式， 则（ C ）an1LannAn1LAnn(A)A 是B 的伴随 (B)B 是 A 的伴随 (C) B 是 A 的伴随(D) 以上结论都不对18．设 A, B 为方阵，分块对角阵CA 0*( Ｃ )0 , 则 CB(A)A *(B)A A *C0 B *CB B *(C)CB A *0 (D)A B A *A B *CA B B *利用 CC*| C | E 验证 .46 1 3 5 19．已知 A, B4 ，下列运算可行的是（C）122 6(A)A B (B)A B(C)AB (D) AB BA20．设A, B是两个m n 矩阵，C是 n 阶矩阵，那么（D）(A) C ( A B) CA CB(B)( A T B T )C A T C B T C(C) C T( A B) C T A C T B(D)( A B)C AC BC21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB BA ，那么 B 是一个（Ｃ）(A)对称阵(B) 对角阵(C)数量矩阵(D) A 的逆矩阵与任意一个 n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A是一个上三角阵，且A0，那么 A 的主对角线上的元素（Ｃ）(A)全为零（ B）只有一个为零（ C）至少有一个为零（ D）可能有零，也可能没有零23．设A 13D2，则 A 1（）1111 2332(A)（ B）（ C）（ D）1111111136362636a1b1 24．设A a2b2a3b31 00(A)0 0 10 2 0c1a1c12b1c2，若 AP a2c22b2，则 P（ B）c3a3c32b3100001200（ B）002（ C）020（D）001 0101000101 a a L aa 1a L a25．设 n(n3) 阶矩阵 Aa a1 L a ，若矩阵 A 的秩为 1，则 a 必为（ A ）L L LL La aa L1(A) 1（ B ） -1（C ） 1（D ）1 nn 11矩阵 A 的任意两行成比例 .26. 设 A, B 为两个 n 阶矩阵 , 现有四个命题 :①若 A, B 为等价矩阵 , 则 A, B 的行向量组等价 ;②若 A, B 的行列式相等 , 即 | A | | B |, 则 A, B 为等价矩阵 ; ③若 Ax 0 与 Bx 0 均只有零解 , 则 A, B 为等价矩阵 ; ④若 A, B 为相似矩阵 , 则 Ax 0 与 Bx 0 解空间的维数相同 .以上命题中正确的是 ( D )(A) ① , ③. (B) ② , ④. (C) ② , ③ .(D)③ , ④ .当 BP 1 AP 时， A, B 为相似矩阵。
高等代数北大版第四章矩阵知识点总结
高等代数北大版第四章矩阵知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第四章 矩阵（ * * * ）一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。
在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。
总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。
二、考点精讲：（一） 基本概念及其运算1.基本概念矩阵—形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a aa a a212222111211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。
（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。
（2）对n m ij a A ⨯=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。
（3）称⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11 E 为单位矩阵。
（4）对称矩阵—设n n ij a A ⨯=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij ==，称A 为对称矩阵。
（5）转置矩阵—设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n n m m Ta a a a a a a a a A212221212111，称T A 为矩阵A 的转置矩阵。
（6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。
（7）伴随矩阵—设n n ij a A ⨯=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111，称为矩阵A 的伴随矩阵。
高等代数第四章
§1 二次型及其矩阵表示教学目的: 使学生了解及掌握二次型及其矩阵的表示方法 重点: 矩阵的表示方法及矩阵合同关系 难点: 矩阵合同关系的性质 课时: 2学时 教学方法: 讲授法 教学内容:一、二次型及其矩阵表示设P 是一个数域,一个系数在数域P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式)1(222),,,(2222222112112211121nnn n n n n n x a x x a x a x x a x x a x a x x x f ++++++++= 称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.定义1 设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,, (2)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式≠ij c ,那么线性替换(2)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令.,j i a a ji ij <=由于,i j j i x x x x =所以二次型(1)可写成)3(),,,(11222112222221221112112211121∑∑===++++++++++++=ni nj ji ij n nn n n n n nn nn n x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f把(3)的系数排成一个n n ⨯矩阵,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A (4) 它称为二次型(3)的矩阵.因为,,,2,1,,n j i a a ji ij ==所以A A ='把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令()()∑∑===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='ni nj ji ij n nn n n n n n n n n nn n n n n n x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x x x a a a a a a a a a x x x AX X 11221122221211212111212121222211121121,,,,,,或AX X x x x f n '=),,,(21应该看到二次型(1)的矩阵A 的元素,当j i ≠时ji ija a =正是它的j i x x 项的系数的一半,而ii a 是2i x 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型BX X AX X x x x f n '='=),,,(21且B B A A ='=',,则B A =.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n y y y Y c c c c c c c c c C21212222111211,,于是线性替换（4）可以写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 或者CY X =.经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型，替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系.设A A AX X x x x f n '='=,),,,(21 (7)是一个二次型，作非退化线性替换CY X = (8)得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y ' ，例1 试写出2211ni ji i j nxx x =≤< ≤+∑∑的矩阵解:111122211112221111222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例2写出11211(,,,)n n i i i f x x x ix x -+==∑ 的矩阵解:122334123(1)n n f x x x x x x n x x -=++++-∴100212022202102102A n n ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭例3写出222121211n n n n n x x x x x x x ---+++++ 的矩阵解:(21)(21)121211212n n n n A -⨯-→⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行列二、矩阵的合同关系 现在来看矩阵A 与B 的关系. 把（8）代入（7），有.)()()(),,,(21BY Y Y AC C Y ACYC Y CY A CY AX X x x x f n '=''=''='='=易看出，矩阵AC C '也是对称的，由此即得AC C B '=.这是前后两个二次型的矩阵的关系。
高等代数--第四章 矩阵的对角化
特征值与特征向量的性质
如果 是矩阵 A 属于特征值 0 的
一
k 0 k
个特征向量, 那么任取
,
也
是
0
矩阵 A 属于特征值 的特征向量,
特征值与特征向量的性质
设 1 , 2 是矩阵 A 属于特征值 0 的两个
特征向量, 如果 1 2 0 那么1 2
也是矩阵 A 属于特征值 0 的特征向量,
高等代数--第四章 矩阵的对角 化
相似矩阵的性质
反身性: 矩阵 A与自己相似 对称性: A相似于 B, 则B也相似于 A 传递性: A相似于B, B相似于C, 则A相
似于 C 若A相似于B, 则它们的行列式相等 如果 A可逆, 且A相似于B, 则B可逆,
它们的逆 A1 , B1 也相似.
4 8 2
3 ( 2)
1 ( 2)( 1)2
4 1
矩阵 A 的特征值是 1, -2
把特征值 1 代入, 得到齐次方程组
4
2 x1 x1
2
x2 x2
0, 0,
4 x1 8x2 3x3 0,
它的基础解系是
3
16ຫໍສະໝຸດ 2 0 属于 1 的全部特征向量就是 k 1 1 ， k1 0
而A的全体特征值的积为|A|.
§3 矩阵的对角化
相似矩阵的性质 矩阵可对角化的条件 如何判断一个矩阵是否可对角化
相似矩阵的性质
定理1：相似矩阵有相同的特征多项 式
定理2：相似矩阵有相同的特征值 注意：上述两个定理的逆定理不成立.
例:
1 A0
0 1
和B10
1 1
特征向量的性质
定理3 定理4
在特征多项式中令 0,即得常数项
高等代数第四章矩阵知识点复习与相关练习
6. 证明关于秩的不等式： 1) r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}, r(A + B) ≤ r(A) + r(B); 2) 设 A, B ∈ P n×n, 且 AB = 0, 证明：r(A) + r(B) ≤ n;
()
(
)
对方程 Y C = B, C −初−等−−列−变−换→
E
.
B
Y = BC−1
4.2 相关练习
一. 填空题
1．设 A ∈ P n×m, B ∈ P m×s，则 r(AB) ≤
。
2
2．对一个 s × n 矩阵 A 作一次初等列变换就相当于在 A 的
边乘上一个相应的
初等矩阵。
3．设 A ∈ P n×n，写出 A 可逆的充要条件：
14. 设 A, B 是 n 级可逆方阵， A 0
=
0A
,
=
.
0 B
B0
k111
15.
设矩阵 A =
1 1
k 1
1 k
1 1
,
且
r(A) = 3，则 k =
.
111k
16. 设 A 为 3 级方阵，若 |A| = 2, 则 |2A| =
.
17. 设 A 是实对称矩阵，若 A2 = 0, 则 A =
7. 证明：若 A, B 分别为 n × m, m × n 矩阵，则 |λEn − AB| = λn−m|λEm − BA|.
高等代数课件--第四章 矩阵§4.2 矩阵的运算
为反对称矩阵；A可表示为一个对称矩
阵与一个反对称矩阵之和。
例4 A反对称，B对称．证明： 1）A2对称．2）ABBA对称； AB+BA反对 称． 3）AB反对称的充要条件为 AB=BA． 例5 A为n级实对称矩阵,且A2＝0,证明:A=0。
§4.2 矩阵的运算
一、加法
1. 定义
设A=(aij)sn, B=(bij)sn 则矩阵
C = (cij)sn=(aij+bij)sn 称为矩阵A与B的和，记作 C=A+B．
2．性质
1）交换律 2）结合律 3） A+0=A 4） A+(A)=0 A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C )
3．减法：A B= A+(B)
1. 定义
设A=(aij)sn, kP, 记矩阵
B = (kaij)sn 称B为矩阵A与k的数量乘积，记作 B=kA．
2．性质：
1) (k+l)A=kA + lA 2) k (A+B)= kA + kB 3) k(lA)=(kl)A 4) 1A=A
5) k (AB)= (kA)B= A(kB)
6) 若A是n级方阵，则|kA|=
(AB)k与AkBk 是否相等？如果不等，
又需要添加什么条件？
7) 对于两个n级矩阵A, B,当AB=0时， R(A) + R(B) n 8) 对于n级矩阵A, 当A2=0时，
R(A+E) + R(AE) = n
9) 对于n级矩阵A, 当A2=A时， R(A) + R(AE) = n三、数量乘法（数乘） Nhomakorabea 性质：
高等代数 讲义 第四章
⎜⎝ 0 0 λ2 ⎟⎠⎜⎝ 0 0 λ ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 λ 3 ⎟⎠
§4.1 矩阵的概念
由此归纳出
⎜⎛ λ k
Ak
=
⎜ ⎜
0
⎜⎜⎝ 0
kλ k −1 λk 0
k (k − )1 λ k −2 ⎟⎞
2 kλ k −1
⎟ ⎟
λk
⎟⎟⎠
(k ≥ 2)
用数学归纳法证明之.
当 k = 2 时，显然成立. 假设 k = n 时成立，则 k = n + 1时，
第一节：矩阵的概念 第二节：矩阵的运算
本堂课的要求：
掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟 练地对矩阵进行运算。
掌握转置矩阵及其运算性质。 掌握方阵的幂、方阵的多项式。
重点难点
矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。
§4.1 矩阵的概念
一、矩阵的概念 二、矩阵的相等 三、一些特殊矩阵
L L L L
−a1n −a2n L −asn
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
称为A的负矩阵，记作－A .
即 − A = (−aij )s×n .
§4.1 矩阵的概念
一、加法
1．定义 设 A = (aij )s×n , B = (bij )s×n , 则矩阵
C = (cij )s×n = (aij + bij )s×n 称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B ．即
§4.1 矩阵的概念
⎜⎛ λn
An+1
=
AnA =
⎜ ⎜
0
nλn−1 λn
n(n − 1)λn−2
2 nλn−1
⎟⎞ ⎟ ⎟
⎜⎛ ⎜
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a11 a12 L
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n
a2n
M
amn
称为 m n矩阵. 简记为 A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
第四章 矩阵
4
高等代数
东北大学秦皇岛分校
求各工厂的总收入与总利润.
单位利润
20 45 120 60
第四章 矩阵
15
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解 容易算出各工厂的总收入与总利润, 也
可以列表如下:
项目 工厂
甲 乙 丙
总收入
15500 28000 19750
总利润
5650 10350 6775
本例中的三个表格可用三个矩阵表示, 设
20 A 15
A1 A
Ak
1
Ak
A
由乘法结合律有 Ak Al Akl
Ak
l Akl
注 1）方幂只能对行数和列数相等的矩阵来定义。
2）一般来说 ABk Ak Bk
第四章 矩阵
21
高等代数
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a11x1 a12 x2 a1n xn b1
3）元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为Osn或O。 对于所有的矩阵A，都有A+O＝A。
4）矩阵
a11 a21 M as1
a12 L a22 L
M as2 K
a1n a2n
M asn
称为矩阵A的负矩阵，记为-A。则有A +(-A)＝ O 。
5）矩阵的减法定义为 A－B＝A＋(-B)
设 A
aik
B
sn
bkj
，那么矩阵 C
nm
cij sm
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj n aikbkj
k 1
称为A与B的乘积，记为 C AB .
例１ C 2 1
4 2 222 3
4
(2)k A B kA kB
第四章 矩阵
24
高等代数
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(3)kl A k lA; (4)1A A
(5) k AB kAB AkB
定义
k 0 L 0
矩阵
kE
0
kL
0
通常称为数量矩阵。
L L L L
0
0L
k
东北大学秦皇岛分校
如 2 3 5 9 是一个 1 4 矩阵,
1 2 是一个 3 1 矩阵, 4
4 是一个 11 矩阵.
例4 设A＝(aij)mn，B＝(bij)lk，如果m＝l，n＝k，且 对于i＝1,2,…,m； j＝1,2,…,n, aij = bij 都成立， 称A＝B。
(6)kA kE A AkE (7)kE lE k l E (8) kElE kl E
第四章 矩阵
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高等代数
东北大学秦皇岛分校
4、转置
定义6 设
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
as1 as2 L
所谓A的转置就是指矩阵
a11 a21 L
A
a12
a22
L
L L L
xx23
a21 y1 a31 y1
a22 a32
y2 y2
a23 y3 a33 y3
, ,
(1)
x4 a41 y1 a42 y2 a43 y3 .
第四章 矩阵
11
高等代数
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y1 b11z1 b12 z2 ,
y2
b21z1
xxn2 ,
b1
B
bbm2 ,
方程组变成
AX B
第四章 矩阵
22
高等代数
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例3 设
0 3 4
1
A
1
0
0 1 5
1 3 1
2
0
4
B
1
3
1
2 1 2
1
aik bkj z j
aik bkj z j
k 1 j1
j1 k 1
第四章 矩阵
12
高等代数
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2 3
aikbkj z j (i 1,2,3,4) . (3)
j1 k 1
2
如果用 xi cij z j (i 1,2,3,4) (4) j 1
则 AB 0 0
0 , 0
BA 2 2
2 , 故 2
AB BA.
5）矩阵乘法不满足消去律，即当 AB AC 时，不一
定有B C ；
因为由上例可以看到，两个不为零的矩阵的乘积 可以是零。
第四章 矩阵
19
高等代数
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特别的,如果 AB BA,则称 A, B 可交换.
ka11 ka12 L
ka21
ka22
L
L L L
kam1 kam2 L
ka1n
ka2n
L
kamn
称为矩阵A (aij )mn 与数k的数量乘积，记作kA。
注 1）用数k乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上k。 2）数量乘法满足
(1)k l A kA lA
6）秩( A＋B) ≤秩(A)＋秩(B)
第四章 矩阵
9
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例1 12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4
1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
例1 1 0 3 5 是一个 2 4 实矩阵, 9 6 4 3
13 6 2i 2 2 2 是一个 3 3 复矩阵, 2 2 2
例2 n维向量也可以看成矩阵的特殊形式： n维行向量就是1×n矩阵；n维列向量就是n×1矩阵。
第四章 矩阵
5
高等代数
第四章 矩阵
2
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化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题，但 是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。 定义 化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种 原子的个数，排列成的数字表称为化学反应矩阵。
第四章 矩阵
3
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矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
622
16 ?
32
8 16 22
第四章 矩阵
17
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注 1）两个矩阵相乘，必须第二个矩阵的行数与第一 个矩阵的列数相等。 2）计算法则：两个矩阵A与B乘积的第i行第j列的 元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B第j列 的对应元素乘积的和。 3）矩阵乘法满足
L K
b1n b2n M bsn
第四章 矩阵
7
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则 C
cij
sn
aij bij
sn
a11 b11 a12 b12 L a1n b1n
a21 as1
b21 M bs1
a22 b22 L M
b22 z2
,
(2)
y3 b31z1 b32 z2 ,
求 x1, x2, x3, x4与 z1, z2之间的关系. 把 (2) 代入 (1) ，得
xi
3
aik yk
3
aik
2
bkj z j
k 1
k 1
j 1
32
23
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
若令
a11 a12 a1n
A
a21 am1
a22 am2
aam2nn ,
x1
X
20
30 10 15
10 70 35
45 20 25
100
,B
150 320000
20 45 16200
15500 ,C 28000
19750
5650 10350, 6775
第四章 矩阵
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定义2
as2 bs2 K
a2n asn
b2n M bsn
称为A和B的和，记为C＝A+B。
注 1）矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。相加 的矩阵必须要有相同的行数和列数
2）矩阵加法满足 结合律：A+(B+C)=(A+B)+C； 交换律： A+B=B+A。