在原点的极限不存在的证明
关于证明二元函数在某一点极限不存在的一点思考
路径 ，，： 一 。＋ ’，则
：（二：： ：！：鱼
ｉｍ Байду номын сангаас
：
．
ｙ—ｍ
詈
即，（ ，ｙ）＝ 沿着这些 路径 的极 限值 与参数 有
关．故 ，，，）＝ 在 （ｏ，ｏ）也是不 存在极 限的．那 么 ，一
限 ｌｉｍ ，ｙ）存在且 也等 于 Ａ．这一 性质 常常 用来证
、
～ ，ｙ
０ Ｏ
●
·
·
●
羡晋迳嘞
纂一 椴隰 谤侄勃一 考
◎ 吴元 泽 （中 国矿 业 大 学数 学 学 院 ，江 苏 徐 州 ２２１００８）
【摘 要】众所周 知，对于二元 函数 ，Ｙ）来说 ，证明其在 某一 点（ 。，Ｙｏ）不 存在 极 限的方 法是 找到 两条 不 同的趋 于 （ 。，Ｙｏ）的路 径 ，使 得ｆ（ ，Ｙ）在这 两条 路径 上趋 于 不 同的 值．本文利用复合 函数 的观 点并结 合一元 函数 的洛 必达 法 则 ，给 出 一种 发 现 这 些路 径 的 新 思路 ．
的路径 Ｙ＝一 ＋ｇ（ ）是 充分光 滑 的，则分 子、分母 同时求 导 可 得 如 下 极 限 ：
３ ＋３ ＇，
． ‘
若进一步地 ，还 有 （ ）：０，则 ｌｉｍ
同样
州 —
Ｕ
二 Ｚ 十 ｙ
学 学 习 与研 究 ２０１８，３
●
· 戮 ·
● 蟹
●
是一个关于变量 的罟型极限．对分子、分母再次同时求导
（ ）； ，则上述 极 限存 在且 等于 ．由一元 函数 的洛必
路证 明其在 （Ｏ，０）不存在极 限 ，只不过对该 函数的计算 量偏 大罢 了．事 实上 ，通过观察我们不难 发现当 Ｙ＝ 一 ＋ｇ（ ）且
二元函数极限证明
二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。
我们必须注意有以下几种情形：’(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在(2)两个二次极限存在而不相等(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|证毕3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。
1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。
2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。
4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在而当x->0,y->0时由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2所以|f|<=|x|+|y|所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了就我这个我就线了好久了5(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
证明二元函数极限不存在的方法与技巧
219理论研究证明二元函数极限不存在的方法与技巧杨万娟,杨子艳,木绍良（云南大学旅游文化学院 信息学院,云南 丽江 674100）摘 要：本文主要解决在证明二元函数极限不存在的问题时选择特殊路径的方法和技巧。
关键词：二元函数极限；无穷小量；无穷小量的阶；特殊路径DOI:10.16640/ki.37-1222/t.2019.19.1961 二元函数极限概念分析 二元函数的极限存在,是指点沿任意路径无限接近某一点时,函数总是无限接近某一固定的数A 。
此时称A 为二元函数在时的极限,记作。
定理（1）设函数在内有定义,则；（2）设函数在有定义,且,则。
由定理可知,在求二元函数极限时,通过选择特殊的路径可转化为一元函数极限问题,所以,当沿着不同的路径趋于时（即当时,沿着不同的趋近于）函数趋于不同的值,那么就可以断定此函数的极限不存在。
但是找到特殊路径对学生来说不是一件容易的事,因此很有必要探究该问题。
本文对常见的两种类型作了讨论,其思路为：考虑分母中的最高次幂与分子中的最低次幂保持一致,通过化解可知极限是否与有关,若与有关,则可知极限不存在。
2 证明二元函数极限不存在时找特殊路径的方法2.1 类型一：证明(,)(0,0)lim a bm mx y x y x y →±极限不存在时找特殊路径的方法 （1）当且时,令； （2）当时,令。
例1 证明233(,)(0,0)limx y x yx y →−极限不存在。
证明：，故令， 显然,当k 不同时,31k k −便不同,所以极限233(,)(0,0)lim x y x yx y →−不存在。
例2 证明极限(,)(0,0)lim +x y xyx y→不存在。
证明：，故令，， 显然,当k 不同时,1k−便不同,所以极限(,)(0,0)lim +x y xyx y →不存在。
2.2 类型二：证明(,)(0,0)+lima b x y x y x y→±极限不存在时找特殊路径的方法 （1）当时,令； （2）当时,令。
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
x→y0
分析：通过观察极限中的二元函数知分子是分母的高阶无穷小，
故极限应为 0。定义证明：坌ε>0，因为
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
+
y4 x2+y2
姨 ≤x2+y2， 故 要 使
x4+y4 x2+y2
-0
<ε 只 要 取 δ =
ε 4
，则
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
x2y2ln(x2+y2)
x2y2 x2+y2
x2+y2ln(x2+y2)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
由于
0≤
x2y2 x2+y2
≤
(x2+y2)2 x2+y2
≤x2+y2→0，令 x2+y2=t 则
x2y2
lim (x2+y2)ln(x2+y2)=lim tlnt=0,故 lim (x2+y2) =e0=1。
科技信息
高校理科研究
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
山东政法学院 唐新华
［摘 要］极限方法是研究函数最主要的方法之一，函数极限是高等数学中的重点、难点内容。文章通过具体例子给出了求二元函数 极限的几种方法和二重极限不存在的判断方法。 ［关键词］二元函数 极限 二重极限
引言
二元函数极限定义[1] 设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某空心邻域有
=e
x→∞
x
知识点6 证明极限式与证明极限不存在的方法
第一章 函数与极限
知识点6 证明极限式与证明极限不存在的方法 精选习题 作者：邹群
例6.1(难度系数0.2) 证明： lim
arctan x 0. x
x
解析：利用函数极限的定义进行证明，即设 找X.
arctan x 2 ，只要 x 证明：对于任意的 0 ，因为 ，取 X ，则当 2 2 x x
1 1 1 1 1 1 ak 1 ak 2 (ak ) (ak 1 ) (1 )(ak ak 1 ) 0 ，即 an an 1 . 2 ak 2 ak 1 2 ak ak 1
故数列 an 单调递减.所以由单调有界准则可知， lim an 存在.
但 sin
2 sin 2k 1 ， sin 3 2 2k 2 2k 2
1 ，两个子列的极限值不相等.根据函数极限与子列极限的关系
2 2
3 sin 2k 2
可得 f x sin
2 的极限不存在. x
arctan x arctan x 0. ，即 lim x x x
x X 时，恒有
例6.2(难度系数0.2) 设 xn 1 2 1 2 1 2 ，证明：当 n 时 xn 的极限存在. 2 3 n 解析：此题数列通项的因子个数趋于无限，思路是将无限个因子化为有限个 因子.利用阶乘将数列通项化简，然后再直接求解.
n
令 lim an a ，对方程 an 1 (an
n
1 2
1 1 1 ) 两边取极限得 a (a ) ，解得 a 1 . 2 a an
22 132 1 n 2 1 1 1 1 证明： lim xn lim 1 2 1 2 1 2 lim n n 22 32 n 2 2 3 n n
极限不存在证法例谈
双侧极限 & 当函数在分点两侧用不同式子定义时 ! 则需计算两个单侧极限 $ 需要提醒注意的是 ! 有时 函数在分点两侧虽 然 用 一 个 式 子 定 义 ! 但极限情 况不同 ! 此时也要从单侧极限入手考虑 $ 例 " 设 -’ ?(: 9 E 6 C ? + !’ ? % #! ? :""""? : #!求 0 , I ?( 7 -’ *? ?1# ’ E 6 C %+ % # ? $ #! , ?
注 " 用极限 定 义 的 否 定 式 去 否 定 某 一 个 常 数是数列的极限时 " 要用逐次缩小不等式的方法 " 关键是找! #7 ’" 用子列的性质 讨论数列的敛散性 " 经常用到子数列 $ 子数列 与原数列的 极 限 具 有 密 切 的 关 系 " 即& 如果数列 ) 有极限’" 则其任何子数列 ) *的极限必存 ? ? ** * F 在" 并且也是 ’’ 与这个结论等 价 的 叙 述 是 ( 如果 7 数列 ) 有某一个子数列 发 散 " 或有某两个收敛 ? **
第9 % 卷第 ; 期 ’ # # ;年9 ’月
高等函授学报 ! 自然科学版 # ! # ? 6 . 3 * / 0 6 @A , B 2 35 6 3 3 2 C 6 * + 2 * E 2F + . E / 8 , 6 * > / 8 . 3 / 0G E , 2 * E 2 C """ """ 4 D
收稿日期 ( ’ # # ;J9 #J9 9 与研究 $
的极限 $ 这也是发散数列的正面叙述 $
* * 例 " 证明数列 ) ! # *发散 $ !9 * <9
证明极限不存在
证明极限不存在证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线 y=2xy=-2x 趋于(0,0)时极限分别为 -3 和 -1/3 不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)证明该极限不存在lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)=1-lim8 / [(x/y)^2+3]因为不知道x、y的大校所以lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2) 极限不存在4如图用定义证明极限不存在~谢谢!!反证法若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。
第二节二元函数的极限
lim
x0 ykx
f (x, y)
lim
x0
x2
kx2 (1 k
2
)
1
k k
2
当 k 不同时, 极限也不同、 因此, f (x, y) 在 (0, 0)
得极限不存在 、
请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0) 得情形、
沿 x 轴, y = 0、 函数极限
lim
x0
f
(x,
二元函数得极限运算举例
例 求 lim( x2 2 y2 3xy).
x0
y1
解 lim( x2 2 y2 3xy) lim( x2 ) lim(2 y2 ) lim(3xy)
x0
x0
x0
x0
y1
y1
y1
y1
lim( x2 ) 2lim( y2 ) 3(lim x)(lim y)
x0
x0
x0 x0
记作 lim f (P) A, 或 P P0
lim f (x, y) A,
x x0 y y0
也可记作 f (P) A (P P0), 或,
f (x, y) A (x x0, y y0 )
注 定义中要求X0就是定义域D得聚点, 这就是
为了保证 P0得任意近傍总有点P使得f (P)存在, 进
都收敛、
上述定理及其推论相当于数列极限得子列定理 与一元函数得海涅归结原则
注意： P P0 是指 P 以任何方式趋于P0 .
一 lim f ( x) A,
元 x x0 0
lim f ( x) A.
中 lim f ( x) A,
x x0
x x0 0
多 元
证明极限不存在的方法
证明极限不存在的方法引言极限是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点附近的行为。
在某些情况下，我们可能希望证明一个函数的极限不存在，即在某一点上函数无法趋近于一个确定的值。
本文将介绍几种常见的证明极限不存在的方法。
反证法反证法是一种常用的证明方法，用于证明某个命题的否定。
在证明极限不存在时，我们可以假设极限存在，并通过推理得出矛盾的结论，从而得出极限不存在的结论。
步骤：1.假设函数f(x)在点a处存在极限L。
2.利用极限的定义，选择一个足够小的正数ε，使得对于任意的x，只要|x-a|<δ，就有|f(x)-L|<ε。
3.通过推理得出矛盾的结论，例如找到一个特定的x值，使得|f(x)-L|≥ε。
4.得出结论：函数f(x)在点a处的极限不存在。
间隔法间隔法是一种通过构造两个不同的数列来证明极限不存在的方法。
我们可以选择两个不同的数列，使得它们分别趋近于函数极限的两个不同值，从而得出极限不存在的结论。
步骤：1.找到两个不同的数列{xn}和{yn}，使得lim(xn)=a，lim(yn)=b，其中a≠b。
2.利用函数的性质，证明对于任意的ε>0，存在正整数N1和N2，使得当n>N1时，|f(xn)-L1|<ε，当n>N2时，|f(yn)-L2|<ε。
3.选择一个足够小的正数ε，使得ε<|L1-L2|，从而得出矛盾的结论。
4.得出结论：函数f(x)的极限不存在。
Cauchy准则Cauchy准则是一种常用于证明数列极限存在的方法，但也可以用于证明极限不存在。
该准则要求函数在某一点附近的值具有一定的波动性，即存在一对足够接近的点，使得函数在这两个点上的取值差异较大。
步骤：1.假设函数f(x)在点a处存在极限L。
2.利用Cauchy准则，选择一个足够小的正数ε，使得对于任意的x1和x2，只要|x1-a|<δ1，|x2-a|<δ2，就有|f(x1)-f(x2)|<ε。
如何证明极限不存在
如何证明极限不存在如何证明极限不存在反证法若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。
即|1-L|这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在。
反证法：一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)矛盾所以原命题成立令y=x, lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y= lim(x趋于0) x^3-x^2/ x^2 =-1两种情况极限值不同，故原极限不存在2答案：首先需要二项式定理：(a+b)^n=∑ C(i=0 – i=n)n i a^(n-i) * b^i (式一)用数学归纳法证此定理：n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1a+b故此，n=1时，式一成立。
设n1为任一自然数，假设n=n1时，(式一)成立，即：(a+b)^n1=∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i (式二)则，当n=n1+1时:式二两端同乘(a+b)[(a+b)^n1]*(a+b)=[∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b) = (a+b)^(n1+1)= ∑ C(i=0 – i=(n1+1))(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 据乘法分配律)因此二项式定理(即式一成立)下面用二项式定理计算这一极限：(1+1/n)^n (式一)用二项式展开得：(1+1/n)^n =1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2 *1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) …2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) …2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n - +∞,得0。
极限不存在的证明
极限不存在的证明
在微积分中，一个函数的极限在某些情况下可能不存在。
当一个函数的值无限地接近另一个值且趋向于该值时，我们说该函数在该值处具有极限。
然而，有时候我们无法找到函数在某个位置的极限。
下面就讲述一些无法存在极限的情况。
一、无界的函数
如果一个函数的值在某个点附近没有上下限，即值趋于正无穷或负无穷，则该函数在该点不存在极限。
例如，函数$f(x)=x$在$x$趋近于无穷大时，$f(x)$的值也趋近于正无穷大，因此$f(x)$在$x$趋近于无穷大时不存在极限。
二、周期函数
如果一个函数以某一个周期重复变化，则该函数在任意点不存在极限。
一个典型的例子是正弦函数。
正弦函数的图像是以一定的周期重复变化的，因此在任意点都不存在极限。
三、摆动不定的函数
综上所述，当一个函数在某个点的值摆动不定，以某一个周期重复变化，处于无界状态或者不存在左右侧极限时，该函数在该点不存在极限。
这些情况在数学分析和微积分中非常重要，因为它们说明了函数在某些情况下可能不存在极限，需要另外的方法来处理。
补充说明，对于不同的函数，需要观察其具体的性质来确认其是否存在极限。
极限不存在但连续的例子(一)
极限不存在但连续的例子(一)极限不存在但连续介绍在数学中，极限是一个重要的概念。
通常情况下，我们说一个数列或者函数的极限存在，意味着它有一个确定的数值。
然而，有时候我们会遇到一些特殊情况，即使极限不存在，但函数仍然可能是连续的。
这种现象被称为“极限不存在但连续”。
例子1：Dirichlet函数Dirichlet函数是数学中一个著名的例子，它在任何有理数点都没有极限，但是在所有实数点都是连续的。
这个函数可以用以下公式表示：D(x) = 1, if x是有理数D(x) = 0, if x是无理数通过以上定义可以看出，无论有理数点趋近于某个值还是无理数点趋近于某个值，函数值始终不变。
因此，在任何点上取极限都会得到不同的结果。
然而，如果我们考虑函数的连续性，可以发现无论在有理数点还是无理数点上，函数都取到相应的函数值，没有跳跃或间断的情况。
例子2：Thomae函数Thomae函数是另一个典型的例子，它在有理数点处极限不存在，但在所有实数点都是连续的。
这个函数可以用以下公式表示：T(x) = 1/n, if x是有理数，可以写成x = p/q (最简分数形式)，其中p和q是互质的正整数，且q > 0，n是一个正整数T(x) = 0, if x是无理数通过以上定义可以看出，无论有理数点取什么样的极限，都无法满足函数的连续性。
因为对于任何极小的正数ε，我们可以找到一个最简分数，使得1/n < ε。
然而，对于无理数点，由于它们不能表示为有理数的形式，函数值始终为0，没有跳跃或间断的情况。
例子3：Cantor集合Cantor集合是一个另类的例子，它是一个闭合的集合，并在实数轴上连续分布，但其测度为0。
Cantor集合是通过迭代删除中间三分之一闭区间的方式生成的。
虽然Cantor集合包含无穷多个点，但每个点的测度为0，所以集合的总测度也为0。
尽管如此，Cantor集合仍然在实数轴上形成了一个连续的线。
这些例子说明了极限不存在但连续的情况。
多元函数微分学总结
`第八章 多元函数微分学8.1基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若∃常数A ，对于∀0ε>，总∃0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作000(,)(,)lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。
②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。
浅谈极限不存在的判定
浅谈极限不存在的判定作者：王常春汤小燕罗东升来源：《读写算》2014年第17期【摘要】极限不存在是数学分析中的一个难点，在数学分析中只是形式地给出一个判断规则，并未给出直接的证明，导致学生对其认识不够深刻，这里结合复变函数中的本质奇点给出其进一步的解释，并得出一个推论来说明他们的联系，希望对初学者有一定的帮助.【关键词】极限本质奇点收敛基金项目：黔教高发[2013]446号；遵义师范学院教研项目[13-42]。
在判定极限存在及不存在时，我们经常应用海涅定理及其推论，判定极限不存在常用如下海涅定理推论。
推论1[1]：若存在某两个数列{an}与{bn}，an≠a,bn≠a，且，有与，而c≠d，则函数f(x)在a不存在极限。
极限不存在有如下几种情况：（1）极限为无穷；（2）存在收敛点列可使函数收敛于值域内的任意值。
例1：证明：函数在x=0极限不存在。
分析1：函数值域为[-1,1]，通常我们构造，就有，，由推论2可知极限不存在.我们经常取定义域内的特殊点列来说明问题，往往会使学生形成思维定式，导致对极限不存在的认识得不到进一步升华.例如如下举例应该可使学生对极限不存在的情形认识更加深刻.分析2：对于函数值域内的任意t∈[-1,1]，总存在，使得sinα=t，从而，令，就有.即存在点列{an}收敛于0，可使函数值收敛于值域内得任意值t.因而极限不存在.关于极限不存在的海涅定理的推论，并未给出它的直接证明，而是应用它的逆否命题得出的，关于它的直接证明可见复变函数论[1]中的皮卡定理如下。
定理:如果a为函数f(z)的本质奇点（极限不存在），则对于任何常数A，不管它是有限还是无限，都有一个收敛于a的点列{zn}，使得.就是说，存在收敛点列可使函数收敛于任意值.我们知道实数是复数的子域，可得如下推论.推论2：如果实函数f(x)中的x改写为z，如果a为函数f(z)的本质奇点，则对于值域内的任意常数A，都有一个收敛于a的点列{an}，使得.例2.应用推论2说明例1的问题极限不存在.将函数f(x)中的x改写为z，可得.由于，可知z=0是的本质奇点（本质奇点主要部分有无限项）。
证明极限不存在的方法有哪些
证明极限不存在的方法有哪些证明极限不存在的方法有哪些“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
下面是店铺带来的证明极限不存在的方法有哪些，希望对你有帮助。
证明极限不存在方法一若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的.任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|<1/3，和|sin[1/x2(n)]-L|<1/3，同时成立。
即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同时成立。
这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在证明极限不存在方法二令y=x, lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y= lim(x趋于0) x^3-x^2/ x^2 =-1两种情况极限值不同，故原极限不存在2答案：首先需要二项式定理：(a+b)^n=∑ C(i=0 – i=n)n i a^(n-i) * b^i (式一)用数学归纳法证此定理：n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1a+b故此，n=1时，式一成立。
设n1为任一自然数，假设n=n1时，(式一)成立，即：(a+b)^n1=∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i (式二)则，当n=n1+1时:式二两端同乘(a+b)[(a+b)^n1]*(a+b)=[∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b) = (a+b)^(n1+1)= ∑ C(i=0 – i=(n1+1))(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 据乘法分配律)因此二项式定理(即式一成立)证明极限不存在方法三(1+1/n)^n (式一)用二项式展开得：(1+1/n)^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n - +∞,得0。
证明极限不存在的方法
证明极限不存在的方法要证明一个极限不存在，可以使用数学中的反证法来进行证明。
反证法是一种运用逻辑推理的方法，通过假设所要证明的结论为假，然后推导出一个导致矛盾的结论，从而证明原来的假设不成立。
假设要证明的极限L不存在，那么我们可以假设对于任意给定的正数ε，不存在正数δ，使得当x趋近于某个值c时，如果0 < x - c < δ，则f(x) - L < ε。
为了证明这个假设是不成立的，我们需要找到一个正数ε，对于任意的正数δ，总能找到一个x的取值范围，使得满足0 < x - c < δ，但是f(x) - L ≥ε。
这样就可以说明极限L不存在。
接下来，我们需要通过推理找到矛盾的地方。
一种常见的方法是通过构造一个符合要求的数列。
假设我们已经找到一个数列{x_n}，满足其极限为c。
那么我们就可以让函数取该数列作为自变量的取值，即考虑函数序列{f(x_n)}。
由于极限L不存在，那么对于我们已找到的正数ε，不存在正数δ，使得当0 < x - c < δ时，有f(x) - L < ε。
那么可以推断出，对于我们已找到的正数ε，对于任意正整数n，都存在正数δ_n，使得当0 < x_n - c < δ_n时，有f(x_n) - L ≥ε。
因为数列{x_n}的极限为c，所以我们可以构造一个正数序列{δ_n}，满足当n趋近于无穷大时，δ_n趋近于0。
那么根据上述推断可以得知，随着n无限增大，数列{f(x_n)}的值变化很小程度上不满足条件f(x_n) - L < ε，即不趋近于L。
这就产生了矛盾，因为数列{x_n}的极限为c，而根据传递性，函数序列{f(x_n)}的极限也应该是L。
但是我们通过构造数列和上述推理得到，函数序列{f(x_n)}的极限不可能是L。
因此，我们得出结论，原假设不成立，即极限L不存在。
总结来说，证明极限不存在的方法可以通过反证法进行。
证明多元函数极限不存在
证明多元函数极限不存在在数学中，极限是一种非常重要的概念，它用于描述函数在某一点或某一区间内的变化趋势，是解决许多数学问题的基础。
多元函数极限则是指在多元函数中，当自变量趋近某一点或某一区间内时，函数值的变化趋势。
在本文中，我们将探讨多元函数极限不存在的情况。
首先，我们需要了解多元函数的定义。
多元函数是指有多个自变量的函数，它的一般形式为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2, (x)是自变量，f是因变量。
在多元函数中，我们通常会遇到一些特殊的点，如极限点、奇异点和间断点等。
这些点对于多元函数的极限有着重要的影响。
在证明多元函数极限不存在时，我们需要先了解什么是单侧极限。
单侧极限是指函数在某一点的左侧或右侧的极限，它可以用来判断函数在该点是否存在极限。
若函数在该点的左侧和右侧的极限相等，则函数在该点存在极限；若函数在该点的左侧和右侧的极限不相等，则函数在该点不存在极限。
接下来，我们来看一个例子，证明多元函数极限不存在。
考虑函数f(x,y)=sin(xy)/(x^2+y^2)，我们需要证明当(x,y)趋近于(0,0)时，函数f(x,y)不存在极限。
首先，我们考虑当x=0时，f(x,y)的值为0。
当y=0时，f(x,y)的值不存在，因为分母为0。
因此，我们只需要考虑当x和y同时趋近于0时，函数f(x,y)的极限是否存在。
我们可以通过极坐标系来分析函数f(x,y)在(0,0)附近的变化趋势。
设x=r*cosθ，y=r*sinθ，则有：f(x,y)=sin(xy)/(x^2+y^2)=sin(r^2*cosθ*sinθ)/(r^2)=sin θ*cosθ当r趋近于0时，sinθ和cosθ的值均趋近于0或1，因此f(x,y)的值在(0,0)附近不收敛，不存在极限。
我们还可以通过单侧极限来证明多元函数极限不存在。
我们先考虑当y=mx时，即函数f(x,mx)=sin(mx^2)/(x^2+m^2*x^2)。
极限不存在该证明
极限不存在该证明证明极限需要什么方法呢?极限存在与否该怎么证明呢?下面就是给大家的证明极限不存在内容，希望大家喜欢。
二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线y=2xy=-2x趋于(0,0)时极限分别为-3和-1/3不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在im(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2) 证明该极限不存在lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)=1-lim8/[(x/y)^2+3]因为不知道x、y的大校所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。