函数的凹凸性在高考中的应用

1、凹凸函数定义及几何特征

⑴引出凹凸函数的定义：

如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。

⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）：

设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有：

（1）1212()()(

)22

x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22

x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征：

几何特征1（形状特征）

图4（凹函数） 图5（凸函数）

如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点122

x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。

几何特征2（切线斜率特征）

图6（凹函数） 图7（凸函数）

设21,A A 是函数y=)(x f 曲线上两点，函数曲线1A 与2A 之间任一点A 处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而增大；

凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而减小；

简记为：斜率凹增凸减。

几何特征3（增量特征）

图8（凹函数） 图9（凸函数）

图10（凹函数） 图11（凸函数）

设函数ｇ（ｘ）为凹函数，函数ｆ（ｘ）为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图10、11可知，当自变量ｘ逐次增加一个单位增量Δｘ时，函数ｇ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越大；函数ｆ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越小； 由此，对ｘ的每一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，…） 凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大；

凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小；

弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．

函数凹凸性的应用

应用1 凹凸曲线问题的求法

下面我们用增量特征（增量法）准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题． 题目： 一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图12所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图13中的（ ）．

解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V 的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．

例3（06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（ ）

图

17

A B C

D

图

12

图13

解：易得弓形AxB 的面积的2倍为f(x)=ｘ-sin ｘ．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝sin ｘ是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的f(x)的变化，在ｘ∈［0，π］上其增量Δf(x)ｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，在ｘ∈［π，2π］上，其增量Δf(x)ｉ则越来越小，故f(x)关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是凹的，后来在［π，2π］上是凸的，故选D ．

应用2 凹凸函数问题的求法

例1、(2005·湖北卷) 在y=2x , y=log 2x, y=x 2, y=cos2x 这四个函数中,当0

,

恒成立的函数的个数是( ).

A.0

B.1

C.2

D.3

分析：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x 1,x 2∈I,且x 1

凹凸性，对试题中的不等关系式：

，既可以利用函数的图像直观的认识，也可以通过代数式的

不等关系来理解。考查的重点是结合函数的图像准确理解凹凸的含义.

例2、（05北京卷理13）对于函数f(x)定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ① f(x 1＋x 2)=f(x 1)·f(x 2)； ② f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)； ③1212()()f x f x x x -->0； ④1212()()()22x x f x f x f ++<.

当f(x)=lgx 时，上述结论中正确结论的序号是 （②③） 。

本题把对数的运算（①②）、对数函数的单调性（③）、对数函数图像的凹凸性（④）等知识有机的合成为一道多项填空题，若对函数的性质有较清楚的理解便不会有困难，而靠死记硬背的考生就会有问题。