整式的乘除 教材分析

整式的乘除教材分析

浙版新教材第5章《整式的乘除》是在七年级（上）第四章《代数式》学习的基础上，结合初一学生已有的生活经验，引入同底数幂的乘、除法则，幂的乘方和积的乘方法则等实现由整式的加减运算到整式的乘除运算的过渡，使学生思维品质提升到一个更高的层面，实现学生思维活动的一个质的飞跃。同时，它又为以后学习因式分解、分式及解方程等内容作准备。因此这一章在整个初中代数中起着承上启下的作用。

根据新课程标准，本章的内容有所减少，教学要求有所降低。与原教材相比，在“整式的乘法”部分，多项式的乘法仅指一次式相乘，删掉了二次及二次以上多项式相乘的内容，只在C组习题中保留了少量的简单的这方面内容的题目；在“乘法公式”部分，只保留平方差公式与完全平方公式，并由直接运用公式不超过三次降低为两次，删去了立方和与立方差公式及其相关内容；在“整式的除法”部分，删掉了关于多项式除以多项式的内容。

Δ本章教学内容

在知识学习上各部分知识之间的联系如下：

从上面可以看出，本章内容有两个突出的特点，一个是内容联系紧密，另一个是以运算为主。本章内容紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。全章重点是整式的乘除运算，包括运用乘法公式进行运算，关键是单项式的乘除运算，而正整数指数幂的运算性质是基础。

Δ本章教学目标

1. 经历探索整式运算法则的过程，理解整式运算的算理，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。

2. 了解整式指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质，掌握同底数幂的乘、除法则，

以及幂的乘方和积的乘方法则，并能进行简单的混合运算。

3.掌握整式乘除的运算法则，会进行简单的整式加、减、乘、除混合运算，并能解决实际问题（其中多项式相乘仅限于一次式相乘，整式的除法只要求到多项式除以单项式且结果是整式）。

4. 会推导乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；(a±b) 2 =a 2±2 a b+ b 2，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算。

5. 在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心。以及感受推理过程的意义和必要性。

Δ本章教学重点

1.在实际问题中，使学生经历探索幂的运算性质和整式的运算法则的过程，发展推理能力和有条理的表达能力；

2. 理解整式乘、除法运算的算理，体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及表达能力；

3. 会推导平方差公式和完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。

Δ本章教学难点

1. 了解整式指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质，理解幂的乘、除、乘方法则、积的乘方法则的推导过程。

2. 了解平方差公式、完全平方公式的几何背景

3. 在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心。

Δ本章设计思路

1、为了达到上述教学目标教材设置了大量的实际背景，一方面在实际问题情境中产生了计算整式乘除的需要，是让学生体会学习整式的一些有关运算的必要性，另一方面在学习完整式的加减后本身也具有必须向乘除运算这一高级运算发展。使学生经历实际问题“符号化”的过程，培养符号感。

2、在本章的引例、例题和课后练习中共引用有关天体行星、以及航天技术等内容的材料达11处，通过丰富的实例，以“问题情境——数学模型——求解模型”为主要线索呈现整式及其运算的内容，注重从问题情境中寻求数量关系，运用符号进行表示的过程，形成幂的运算性质及整式的乘除运算法则。使学生感受到了数学的价值和学习的必要性，发展“用数学”的信心。

3、教材几乎为每一种整式运算都设置了具体的探索活动，以“观察——归纳-----类比——概括”为主要线索呈现运算法则的探索过程，在探索活动中体会整式运算的规律，把握其算理。注重学生推理能力和表达能力的培养。

4、通过设置恰当数量和难度的符号运算，注重整式运算每一步的算理，要求学生说明运算的根据，重视幂的意义、乘法分配律等的作用，渗透转化、类比等思想，促进学生对算理的理解和基本运算技能的掌握。

5、渗透数形结合思想。数形结合思想是数学中一个非常重要的基本思想，它在一定程度上反映了数学的本质。数与形的有机结合，实际上就是抽象与直观的结合。在以运算为主的“整式的乘除”一章中，抽象的运算公式、性质和法则借助于图形，就可以直观地反映它们的含义，揭示它们的本质，便于学生理解，增强记忆效果。比如介绍单项式与多项式相乘的运算法则时，利用宽都是m，长分别是a、b、c的三个长方形，组成一个宽为m、长为a+b+c的长方形，并且这个长方形的面积等于前三个长方形的面积之和，从而直观地解释了运算法则m(a+b+c)=ma+mb+mc。再如在处理多项式的乘法法

则以及完全平方公式时，都渗透了数形结合的思想。

6、渗透集合与对应的思想。集合作为数学的基本语言，可以简洁明了地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理。集合与对应的思想是中学数学中的重要思想，是建立函数概念的基础，而函数是中学数学的重要内容之一，因此尽早渗透集合与对应的思想是必要的。本章在这方面作了积极的努力。例如，在整式除法的P143练习第3题，就渗透了集合与对应的思想，给出了一些代数式，需要用对应的方法添上对应的元素。

7、渗透分类的思想。合理的分类可以使知识条理化，便于从整体掌握知识。分类思想是指把被研究的数学问题视为一个整体，然后根据一定的划分标准，将整体分为几个部分，通过对这几部分的研究，达到对整体的认识。分类思想也是中学数学中一种重要的思想，本章教材中给予了充分重视。比如在同底数幂的除法法则a m÷a n=a m-n中，教科书首先讨论了m＞n的情况，并将结论用方框加以强调，作为正整数指数幂的一条性质要求学生掌握和熟练应用，接着又讨论了m=n的情况，得出关于0指数幂的规定，最后又讨论了m＜n的情况，给出负整数指数幂的概念，为以后把正整数指数幂的性质推广到整数及有理数范围打下基础。

8、注意发挥三种数学语言的功能。本章注意充分发挥文字语言、符号语言、图形语言这三种数学语言的功能，根据内容的具体特点，将三种语言有机地结合起来。比如教材在介绍单项式与多项式相乘（P119-120）以及多项式与多项式相乘（P123）的法则时，先通过计算，得出用符号语言表达的法则，然后又用图形语言加以解释，最后用文字语言加以概括和总结。再如，P126平方差公式，教材首先给出公式的符号表示，然后用文字语言进一步说明，最后用图形语言给出直观解释。P128完全平方公式先利用图形语言，在使用符号语言，最后用文字语言。三种语言的有机结合，有利于学生理解和掌握知识，提高学生学习数学的兴趣，培养学生的数学交流能力。

Δ本章评价建议

1. 注重对学生从具体问题中抽象出数量关系以及探索运算法则等过程的评价。

可以从以下两个方面来进行：一是学生在具体活动中的投入程度——能否积极，主动地从事各项活动，向同伴解释自己的想法，听取他们的建议和意见等。二是学生在活动中的水平——是否能通过独立思考抽象出数量关系或探索运算法则，能否有条理地表达自己的活动过程，是否有独立的解决问题的想法，是否能反思自己的活动过程并提出一些新的问题等。

2. 对知识技能的评价应关注学生对整式运算法则的理解和运用，以及学生基本运算技能的形成。对知识技能的评价应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用，而不仅仅是记忆和使用的熟练程度，代数知识的学习应“淡化形式、注重实质”，避免“背黑体字”和“抠字眼”，评价时一定要避免出现，是否能背运算法则等非本质的问题，而将重点放在对有关内容的理解和运用上来。

Δ课时安排

本章教材的编排上可分为四个单元，共七个小节，教学时间约为17课时，建议分配如下：

第一单元 5.1同底数幂的乘法4课时

第二单元 5.2—5.3整式的乘法3课时

第三单元 5.4—5.5乘法公式3课时

第四单元 5.6—5.7整式的除法4课时

复习测试2课时