基于高斯曲率的曲面质量评价方法研究

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辽宁大学学报 自然科学版
2012 年
其高斯曲率色标如图 6 所示． 从图 6 可以看出，轿 车车门外板除门把手外，整个曲面的高斯曲率色 标图 颜 色 变 化 均 匀，过 渡 自 然，且 没 有 突 变 的 地 方，已经满足 G2 曲率连续的要求，说明曲面整体 质量已经达到了 A 级曲面的标准．
是空间中给定的 （ n + 1） × （ m + 1） 个网格点，通
常 称 为 曲 面 S（ u，v） 的 控 制 顶 点，Bi，k（ u） 和 Bj，h（ v） 分别是关于节点向量 u ，v 的 k 阶和 h 阶 B － Spline 样条曲线的基函数．
过曲面 S（ u，v） 上的任意点 P 有无数个包含
第3 期
武振锋，等： 基于高斯曲率的曲面质量评价方法研究
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较大但其曲率变化较小的零件，不适合创建复杂 型面的曲面． 第二种方法是利用多个彼此相交的 曲面来“拼”成所需要的复合曲面模型，适用于创 建曲率变化较大的复杂曲面模型． 在此方法中，用 来连接两个基础曲面的过渡曲面又称为桥接曲 面，基础曲面与桥接曲面的关系如图 2 所示．
1 高斯曲率的定义与特点
高斯曲率的概念最早是由德国著名的物理学 家、数学 家 高 斯 （ 1777． 04 ～ 1855． 02 ） 首 先 提 出 的，现在已经成为曲面论中最重要的内蕴几何量．
透彻理解高斯曲率的含义有利于提高曲面质量分
析与评价的效率，对后续的曲面钣金零件模具制
造也会产生积极影响．
1． 1 曲面的主曲率
当两基础曲面间为 G2 － 曲率连续时，不仅曲 面间没有尖锐的接缝，而且具有光滑流畅的视觉 效果，高斯曲率色标图如图 5 所示．
图 3 G0 连续高斯曲率色标图
从图 3 可以看出，因为基础曲面为空间自由 曲面，其高斯曲率色标会根据曲面不同位置的弯 曲程度而发生变化，但由于桥接曲面为近似平面， 所以其高斯曲率值处处近似为零，即颜色几乎没 有变化． 虽然 G0 位置连续保证了两基础曲面间
图 6 某轿车车门外板曲面高斯曲率色标图
5 结论
设计出曲面流畅且符合美学要求的曲面是制 造曲面钣金类零件的基础性工作，而对曲面质量 进行分析与评价又是曲面模型创建完毕后必不可 少的环节． 由于高斯曲率方法提供了视觉明显的 色标图，所以应用该方法可以快速地对曲面质量
进行分析与评价． 如出现色标图大面积为零、错位 或突变的情况，说明曲面质量不能满足 A 级曲面 的要求，应及时对曲面存在的问题进行修改，直到 色标图呈现过渡自然，无错位或突变时为止．
辽宁大学学报
自然科学版 第 39 卷 第 3 期 2012 年
JOURNAL OF LIAONING UNIVERSITY
Natural Sciences Edition
Vol． 39 No． 3 2012
基于高斯曲率的曲面质量评价方法研究
武振锋1* ，袁玄成1 ，朱 黎1 ，李建林2
（ 1． 兰州交通大学机电工程学院，甘肃 兰州 730070； 2． 南车集团戚墅堰机车车辆工艺研究所有限公司，江苏 常州 213011）
2）
3 2
y'（ t） y″（ t）
2
（ 2）
的． 当曲面为球面、椭球面、双叶双曲面的一叶或 椭圆抛物面时，LN － M2 ＞ 0 ，即 K ＞ 0 ，点 P 为椭
圆点； 当曲面为伪球面、单叶双曲面或双曲抛物面 时，LN － M2 ＜ 0 ，即 K ＜ 0 ，点 P 为双曲点； 对于 平面或圆柱面而言，LN － M2 = 0 ，即 K = 0 ，点 P
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2012 年
y（ t） ，z（ t） ） 来表示，则其曲率计算公式为［5］：
y'（ t）
槡 k = y″（ t）
z'（ t）
2
+
z'（ t）
x'（ t）
2
+
x'（ t）
z″（ t）
z″（ t） x″（ t）
x″（ t）
（
x'（
t）
）
2
+
（
y'（
t）
）
2
+
（
z'（
t）
）
［3］ 李辉，罗龙飞，陈志刚． CATIA 的汽车 A 级曲面质量 评价方法［J］． 汽车工程师，2010（ 6） ： 45 － 47．
［4］ 徐家川，雷雨成，洪英武，等． 汽车车身 A 级曲面光 顺方法［J］． 汽车技术，2008（ 2） ： 17 － 20．
较好地反映其邻域内曲面的形状． 根据矢量运算 法则，EG － F2 = r2u r2v － （ ru ·rv ） 2 = （ ru × rv ） 2 ＞ 0， 所以曲面在某点的高斯曲率与 LN － M2 是同号
A 级曲面（ Class A Surface） 一词首先是由法 国 Dassault System 公司在开发大型 CAD / CAM 软 件包 CATIA 时提出并付诸应用的，专指汽车设计 中既满足几何光滑要求，又满足审美需求的曲面． 最初 A 级曲面主要应用在汽车车身设计领域，如 发动机罩、前后翼子板、前后保险杠、车门、后背门 及顶盖等． 目前随着人们对 A 级曲面认知程度的 提高，A 级曲面已经广泛应用在飞机、动车、船舶、 手机和卫生设备等多种工业产品的设计过程中［7］．
摘 要： 对于复杂型面的曲面钣金零件，对其进行曲面质量分析是曲面模型创建完毕后必不可少的工作内 容． 目前曲面质量分析常用的多截面曲率梳、等照度线和反射线方法已经比较成熟，但采用高斯曲率的曲 面质量分析方法还有很多工作要做． 针对曲面高斯曲率的含义与表现特征，重点探讨了曲面分别在 G0、G1 和 G2 连续情况下的高斯曲率色标分布特点． 研究表明，应用高斯曲率方法可以快速完成曲面质量的评价， 也可为后续的零件模具加工制造提供可靠的理论依据． 关键词： 主曲率； 高斯曲率； 质量评价； A 级曲面； CATIA 中图分类号： TH164 文献标识码： A 文章编号： 1000-5846（ 2012） 03-0273-04
参考文献：
［1］ 张国忠，赖征海． 汽车空气动力学与车身造型研究 最新进展［J］． 沈阳大学学报，2005，17（ 6） ： 39 － 44．
［2］ Reda Hsakou． Curvature： the relevant criterion for Class － A surface quality［J］． Journal of JEC composites magazine，2006，23（ 3） ： 105 － 108．
图 5 G2 连续高斯曲率色标图
从图 5 可以看出，曲面间高斯曲率色标过渡 自然，没有发生错位和突变的现象，达到了 A 级 曲面的要求． 由于曲率连续曲面具有上述特点，所 以其广泛应用在汽车车身外形、仪表板、高可见内 饰件和动车组外形等对曲面质量要求较高的曲面 类零件上．
4 工程案例
采用桥接方法创建了某轿车车门外板曲面，
0 引言
对于曲面钣金类零件的设计与制造而言，高 质量的曲面可以达到缩短设计周期、降低制造难 度和节约企业成本的目的． 另外，对于行驶类工业 产品，高 质 量 的 曲 面 可 以 有 效 地 降 低 空 气 阻 力［1］． 因此，高质量的曲面钣金类产品越来越受 到大众的关注，成为了科研人员进行相关产品造 型与研究的热点． 产品曲面模型创建完毕后对其 进行质量分析与评价是使产品达到设计要求的重 要工作． 近年来，研究人员主要采用控制顶点法、 多截面曲率梳［2］、等照度线和反射线［3 ～ 4］方法对 曲面质量进行分析和评价，而采用高斯曲率方法 对曲面进行评价的文献相对较少，本文拟从高斯 曲率的具体含义出发，结合具体曲面，探讨了高斯 曲率法在分析曲面质量中的应用．
1． 2 高斯曲率的计算
高斯曲率是主曲率 kmax 和 kmin 的点积，记为 K = kmax ·kmin ，也称为全曲率． 设曲面 S（ u，v） 的矢 函数为 r（ u，v） ，且矢函数 r（ u，v） 具有连续偏导
数 ru 和 rv 及混合偏导数 ruu 、ruv 和 rvv ，根据曲面
论的基本公式，可以得到曲面 S（ u，v） 在某点的
高斯曲率计算公式［6］：
K
=
LN － M2 EG － F2
（Biblioteka Baidu3）
（ 3） 式中 E = r2u ，F = ru rv ，G = r2v ，L = n·ruu ， M = n·ruv ，N = n·rvv ． 1． 3 高斯曲率的特点
因为高斯曲率所反映的实质是曲面上点附近
曲面的弯曲程度，所以曲面上某点的高斯曲率能
参照施法中［8］和朱心雄［9］关于 A 级曲面特 征的介绍，可以将 A 级曲面定义为： （ 1） 大的曲面 片是全凸的，即不存在奇异多余的拐点； （ 2） 曲率 变化分布均匀； （ 3） 曲面满足 G2（ 曲率） 连续或者 以上； （ 4） 应变能最小．
图 2 基础曲面与桥接曲面的关系
在工程实际应用中，创建 A 级曲面通常有两 种方法，一种是采用四边域为基础的单曲面来创 建 A 级曲面． 此种方法操作简单，仅适用于曲面
法矢 n 在内的密切平面，无数个密切平面与曲面
S（ u，v） 相交可以得到无数条过点 P 的空间曲线，
如图 1 所示．
如果密切平面与空间曲面 S（ u，v） 相交所得
到的空间曲线可以采用参数方程 r（ t） = （ x（ t） ，
* 作者简介： 武振锋（ 1976 － ） ，男，汉族，讲师，硕士，研究方向： 数字化设计与数字化制造． 基金项目： 兰州交通大学青年科学研究基金（ 2011018） 收稿日期： 2012 － 05 － 18
目前包括 CATIA 在内的多数三维 CAD 软件
都采用 B － Spline 方法绘制空间曲面，如 k × h（ k
≤ n，h ≤ m） 阶的 B － Spline 曲面可以表示成如下
形式：
nm
∑∑ S（ u，v） =
Sij Bi，k （ u） Bj，h （ v）
（ 1）
i=0 j=0
上式中 uk－1 ≤ u ≤ un+1 ，vh－1 ≤ v ≤ vm+1 ，Sij
当两基础曲面间为 G1 － 切线连续时，桥接曲 面的边界线空间自由曲线，同样其端点也与基础 曲面的端点重合，桥接曲面为空间自由曲面，高斯 曲率色标图如图 4 所示．
图 4 G1 连续高斯曲率色标图
从图 4 可以看出，虽然切线连续保证了曲面 在桥接过程中不会出现尖锐的接缝，但由于在曲 面过渡处明显存在颜色的错位和突变，即在视觉 上仍会有一种表面中断的感觉，所以切向连续只 在汽车、飞机和船舶外表面的低可见区域以及内 饰的大部分曲面中允许存在． 3． 3 G2 － 曲率连续
为抛物点．
2 A 级曲面的定义
图 1 曲面与密切平面的交线
通过公式（ 2） 可以看出，由于空间曲线的弯
曲程度不同，所以包含法矢 n 在内的密切平面与
曲面 S（ u，v） 相交得到的所有空间曲线在 p 点通
常具有不同的曲率，一般将所有曲率绝对值的最
大值称为最大曲率，用 kmax 表示； 所有曲率绝对值 的最小值称为最小曲率，用 kmin 表示，kmax 和 kmin 称为曲面 S（ u，v） 在 p 点的主曲率．
当两基础曲面间为 G0 － 位置连续时，桥接曲 面的边界线空间直线，且其端点与基础曲面的端 点重合． 桥接曲面一般为采用直纹面生成的空间 近似平面，可以保证两基础曲面间完全接触，即没 有缝隙，高斯曲率色标图如图 3 所示．
可以完全接触，但在过渡处存在一个很尖锐的接 缝，所以位置连续属于连续性等级中最低的一种， 应极力避免． 3． 2 G1 － 切线连续
3 曲面质量分析
由于采用四边域方法生成 A 级曲面的应用 领域较窄，所以目前科研人员都将采用桥接曲面 方法生成复合曲面模型作为研究的重点内容． 按 照曲面类零件设计等级的不同，通常将基础曲面 与桥接曲面划分为 3 种连续等级，分别为 G0 － 位 置连续，G1 － 切线连续和 G2 － 曲率连续，总体上 说，提高曲面的连续级别可以使曲面看起来更加 光滑流畅． 在三维 CAD 软件中，通常使用不同的 颜色来表示曲面上不同的高斯曲率值，曲面某区 域的高斯曲率值如果相同，则该区域的颜色就是 一致的； 如果曲面上的高斯曲率值发生突变，则颜 色也会随之改变． 所以通过观察基础曲面与桥接 曲面颜色的变化可以直观地对曲面连续级别进行 判断． 下面将结合具体曲面，分别探讨 3 种连续等 级的高斯曲率色标图分布特点． 3． 1 G0 － 位置连续