高考数学-等差数列和典型例题

高考数学-等差数列的前n 项和·例题解析

【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，

求其第6项．

解 依题意，得

10a d =140a a a a a =5a 20d =125

1135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．

∴ 其通项公式为

a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135

∴a 6=－22×6＋135＝3

【例2】 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，

求它们相同项的和．

解 由已知，第一个数列的通项为a n ＝3n －1；第二个数列的通项为b N =5N

－3

若a m ＝b N ，则有3n －1＝5N －3

即＝＋ n N 213

()N - 若满足n 为正整数，必须有N ＝3k ＋1(k 为非负整数)．

又2≤5N －3≤197，即1≤N ≤40，所以

N ＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66

∴ 两数列相同项的和为

2＋17＋32＋…＋197=1393

【例3】 选择题：实数a ，b ，5a ，7，3b ，…，c 组成等差数列，且a ＋b ＋

5a ＋7＋3b ＋…＋c ＝2500，则a ，b ，c 的值分别为

[ ]

A ．1，3，5

B ．1，3，7

C ．1，3，99

D ．1，3，9

解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒

又∵ 14＝5a ＋3b ，

∴ a ＝1，b ＝3

∴首项为1，公差为2

又＋

∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212

∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99

∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99

【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，

若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．

解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d ①

前半部分的和＝＋＋

②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212 由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=11112122

9131222

913()()()() nd =511

由①，有(2n ＋1)d=1 ⑤

由④，⑤，解得，d =111

n =5 ∴ 共插入10个数．

【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝

S n ，m ≠n ，求S m+n ．

解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212

且S m ＝S n ，m ≠n

∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122

d

即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212

∴S m+n ＝0

【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．

解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24

n 111设公差为，由公式＝＋

得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12

解方程组得：d ＝－2，a 1＝9

∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11 由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112

其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：

S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12

∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n

当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n

∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50

即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N

说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．

【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和． 解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34

得4a 1＋38d ＝34

又＝＋×S 20a d 20120192

＝20a 1＋190d

＝5(4a 1＋38d)=5×34=170

解法二 S =(a +a )202

=10(a a )20120120×＋ 由等差数列的性质可得：

a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17

S 20＝170

【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．

解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得

(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩

由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4

再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10

最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180

解法二 由等差数列的性质可得：

a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4

又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：

a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根

解方程可得x 1=－6，x 2＝2

∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列

∴a 3＝－6，a 7=2

d =a =2a 10S 1807120--a 373

，＝－，＝ 【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若