第六章-微元法的应用

第六章微元法的应用 (2)

§6.1 微元法 (2)

§6.2 定积分在几何学中的应用 (4)

§6.3 定积分在物理学中的应用 (9)

§6.4 定积分在其它领域的应用 (11)

总结与提高 (14)

复习题六 (14)

第六章 微元法的应用

如阿基米德一个根本的那个人的、牛顿与高斯这样的最伟大的数学家，总是不偏不倚地把理论与应用结合起来。

——克莱因

“微元法”就是根据定积分的定义抽象出来的将实际问题转化成定积分的一种简单直接方法,就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量．通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。在处理问题时,从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事物整体的方法.这是一种深刻的思维方法,是先分割逼近,找到规律,再累计求和,达到了解整体. 微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用．本章我们首先重点讨论定积分在几何上的应用；其次，讨论它在物理、力学方面的一些应用．最后再讨论在工程技术以及经济学方面的应用．

§6.1 微元法

6.1.1 微元法的原理

定积分概念的引入，体现了一种思想，它就是：在微观意义下，没有什么“曲、直”之分，曲顶的图形可以看成是平顶的，“不均匀”的可以看成是“均匀”的。简单地说，就是以“直”代“曲”，以“不变”代“变”；的思想.

直观的看，对于图所示图形的面积时，在[a , b ]上任取一点x ，此处任给一个“宽度”x ∆，那么这个微小的“矩形”的面积为

dx x f x x f dS )()(=∆=

此时我们把dx x f dS )(=称为“面积微元”。把这些微小的面积全部累加起来，就是整个图形的面积了。这种累加通过什么来实现呢？当然就是通过积分，它就是

⎰=b

a

dx x f S )(

这些问题可化为定积分来计算的待求量A 有两个特点：一是对区间的可加性，这一特点是容易看出的；关键在于另一特点，即找任一部分量的表达式：

()A f x x x ε∆=∆+∆

（6.1.1）

然而，人们往往根据问题的几何或物理特征，自然的将注意力集中于找()f x x ∆这一项。但不要忘记，这一项与A ∆之差在0x ∆→时，应是比x ∆高阶的无穷小量（即舍弃的部分更微小），借用微分的记号，将这一项记为

()dA f x dx = （6.1.2）

这个量dA 称为待求量A 的元素或微元。用定积分解决实际问题的关键就在于求出微

图6.1.1 微元法的意义

元。

设()f x 在[,]a b 上连续，则它的变动上限定积分

()()x

a

U x f t dt

=⎰ （6.1.3）

是()f x 的一个原函数，即()()dU x f x dx =.于是，

()b

b

a

a

f x dx dU U

==⎰

⎰ （6.1.4）

这表明连续函数()f x 的定积分就是（6.1.1）的微分的定积分.

由理论依据（6.1.2）可知，所求总量A 就是其微分()dU f x dx =从a 到b 的无限积累（即积分）()b

a

U f x dx =

⎰

，这种取微元()f x dx 计算积分或原函数的方法称为微元法.

如，求变速直线运动的质点的运行路程的时候，我们在T 0到T 1的时间内，任取一个时间值t ，再任给一个时间增量t ∆，那么在这个非常短暂的时间内（t ∆内）质点作匀速运动，质点的速度为v ( t )，其运行的路程当然就是

dt t v t t v dS )()(=∆=

()dS v t dt =就是“路程微元”，把它们全部累加起来之后就是：

⎰

=

1

)(T T dt

t v S

用这样的思想方法，将来我们还可以得出“弧长微元”、“体积微元”、“质量微元”和“功微元”等等。这是一种解决实际问题非常有效、可行的好方法。

6.1.2 微元法的主要步骤

设想有一个函数()F x , 所求量A 可以表示为: ()()A F b F a =-，然后实际进行以下三步:

第一步取dx , 并确定它的变化区间[,]a b ;

第二步设想把[,]a b 分成许多个小区间, 取其中任一个小区间[,]x x dx +, 相应于这个小区间的部分量A ∆ 能近似地表示为()f x 与dx 的乘积),就把()f x dx 称为量A 的微元并记作dA , 即

()A dA f x dx ∆≈=

第三步在区间[,]a b 上积分, 得到()()()b

a

A f x dx F b F a =

=-⎰

Q =ba

这里的关键和难点是求dA , 在解决具体问题时本着dA 是A ∆的线性主部的原则, 这样计算的A 为精确值。

6.1.3 微元法的使用条件

据以上分析，可以用定积分来解决的确实际问题中的所求量A 应符合下列条件：

（1）A 是与一个变量的变化区间],[b a 有关的量； （2）A 对于区间],[b a 具有可加性；

（3）局部量i A ∆的近似值可表示为,)(i i x f ∆ξ这里)(x f 是实际问题选择的函数.

§6.2 定积分在几何学中的应用

6.2.1直角坐标系下平面图形的面积

由定积分的几何意义，连续曲线 )0()(≥=x f y 与直线 x a b b x a x ,)(,>== 轴所围成的曲边梯形的面积为

⎰=b

a

dx x f A )(

若)(x f y = 在 ],[b a 上不都是非负的，则所围成的面积为

⎰=b

a

dx x f A |)(|

一般的，由两条连续曲线 )(,)(2211x f y x f y == 及直线)(,a b b x a x >==所围成的平面图形称为-X 型图形，其面积为

⎰-=b

a

dx x f x f A )]()([12

而由两条连续曲线 1122(),()x g y x g y == 及直线,()y c y d d c ==>所围成的平

面图形称为-Y 型平面图形其面积为：⎰

-=d

c

dy y g y g A )]()([12

上述结果用微元法分析如下：如图6.2.1可选取积分变量为x ，并可确定x 的变化区间为[a , b ]，在[a , b ]上任取一小区间 [x , x+d x ]，它对应的小条形区域的面积近似等于

dx x g x f )()(-，故面积元素为

dx x g x f dA )()(-=，

所以()()b a

A f x g x dx =

-⎰

图6.2.1