倒易点阵与衍射
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导教学文稿
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导教学文稿第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导竭诚为您提供优质文档/双击可除第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导篇一：第十二章习题答案new1、分析电子衍射与x衍射有何异同？答：相同点：①都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。
②两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。
不同点：①电子波的波长比x射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad。
而x射线产生衍射时，其衍射角最大可接近2。
②在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使衍射条件变宽。
③因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。
④原子对电子的散射能力远高于它对x射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。
2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。
关系：①倒易矢量ghkl垂直于正点阵中对应的（hkl）晶面，或平行于它的法向nhkl②倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面③倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即ghkl=1/dhkl④对正交点阵有a*//a，b*//b，c*//c，a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c。
⑤只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl]平行⑥某一倒易基矢量垂直于正交点阵中和自己异名的二基矢所成平面。
3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。
倒易点阵与晶体衍射
利用透射电镜进行物相形貌观察（如图2-12中的各种结果）仅是一种较为直接的应用，透射电镜还可得到另外一类图像---电子衍射图（图2-15所示）。
图中每一斑点都分别代表一个晶面族，不同的电子衍射谱图又反映出不同的物质结构。
图2-15 金蒸发膜的多晶和钢中Mo23C6单晶的电子衍射花样按照一定规则进行分析，我们可以标定出每一斑点对应的晶面指数，再由标准物质手册，可以查出这两种物质分别是金的多晶体和Mo23C6单晶碳化物。
可见，利用电子衍射图也可以分析未知的物相。
电子衍射原理和X射线衍射原理是完全一样的，但较之其还有以下特点：1.电子衍射可与物像的形貌观察结合起来，使人们能在高倍下选择微区进行晶体结构分析，弄清微区的物象组成；2.电子波长短，使单晶电子衍射斑点大都分布在一二维倒易截面内，这对分析晶体结构和位向关系带来很大方便；3.电子衍射强度大，所需曝光时间短，摄取衍射花样时仅需几秒钟。
下面我们就来讨论为什么透射电镜中的电子束可以产生上述衍射花样----电子衍射原理。
电子衍射原理已知，当波长为l 的单色平面电子波以入射角θ照射到晶面间距为d的平行晶面组时，各个晶面的散射波干涉加强的条件是满足布拉格关系：2dsinθ =nλ（11）式中n=0，1，2，3，4….，称为衍射级数，为简单起见，至考虑n=1的情况，即可将布拉格方程写成2dsinθ =l 或更进一步写成：( )这一关系的几何意义为布拉格角的正玄函数为直角三角形的对边(1/d)与斜边(2/λ)之比，而满足上式关系的点的集合是以1/λ为半径，以2/λ为斜边的球的所有内接三角形的顶点---球面上所有的点均满足布拉格条件。
可以想象，AO'为入射电子束方向，它照射到位于O点处的晶体上，一部分透射出去，一部分使晶面间距为d的晶面发生衍射，在OG方向产生衍射束。
由于该表示方法首先由爱瓦尔德（Ewald）提出，故亦称为爱瓦尔德球。
图 2-16 爱瓦尔德球图解如果我们要想判断一个特定的晶面能否产生衍射，或者衍射的方向如何，可以假想将这个晶面放在球心O处，沿其法线方向从Ｏ＇点出发，射出一长度为１／ｄ的射线，其与球面相交处若能满足布拉格关系（入射角等于反射角），则说明其衍射成立，反之，说明不满足衍射条件。
倒易点阵介绍
n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )
相应的位向差为
2
2
( S S0 )
OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
2
1/
A
O
S0 /
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
O
S0 /
25
概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。
26
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl
2
S/的晶面不Fra bibliotek1/
2 C S0/
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。
1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例
倒易格子与衍射—1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例一、倒易格子概念及性质1. 倒易点阵的定义设有一正点阵，用三个基矢(a,b,c)描述，记为S=S(a,b,c)。
引入三个新基矢(a*,b*,c*)描述，记为S*=S(a*,b*,c*)。
二者之间的关系：a*•a=1a*•b=0 a*•c=0b*•a=0b*•b=1b*•c=0c*•a=0c*•b=0c*•c=1则S*称作S的倒易点阵(Reciprocal lattice)。
2. 正倒格子的关系：a*=(b×c)/V b*=(c×a)/V c*=(a×b)/V其中V= a•(b×c)正格子的体积或为：a=(b*×c*)/V*b=(c*×a*)/V* c=(a*×b*)/V*其中V*=a*•(b*×c*)倒格子的体积亦有：V* = 1/V正倒格子的角度换算：|a*| = bcsinα/V|b*| = casinβ/V |c*|= absinγ/V或：|a| = b*c*sinα*/V* |b| = c*a*sinβ*/V* |c|= a*b*sinγ*/V*上式中：cosα* = (cosβcosγ-cosα)/sinβsinγcosβ* = (cosγcosα -cosβ)/sinγsinαcosγ* = (cosαcosβ -cosγ)/sinαsinβ当晶体的对称中，α=β=γ=90°时|a*| = 1/a|b*| =1/b|c*| = 1/c单斜晶系时，α=γ=90°，β≠90°，即：α*=γ*=90°，β*=180°-β则：|a*| =1/asinβ |b*| = 1/b |c*| =1/csinβ图1-1.三斜晶系的倒易点阵如图1-1所示为三斜晶系的倒易点阵，其中a*在与bc平面垂直的方向，b*与ac平面垂直，长度为1/b，c*与ab平面垂直，长度为1/c。
倒易点阵
§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法一、倒易点阵的概念X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。
通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。
1921年爱瓦尔德（P.P. Ewald ）通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。
也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。
倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。
它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。
一、 倒易点阵中基本矢量的定义设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ，倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9），则有V b a c V a c b V c b a ⨯=⨯=⨯=***,, （2-11） 式中，V 为正点阵中单胞的体积：)()()(b a c a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系二、 倒易点阵的性质a ） 根据式（2-11）有（因为00cos *=⋅⋅=⋅=⋅b a b a b a θ）0******=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅b c a c c b a b c a b a （2-12）1***=⋅=⋅=⋅c c b b a a （2-13）b ） 在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为***lc kb ha g hkl ++= （2-14）Φ3在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1=k ，以O 为中心，1/λ为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。
若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是，或者写成衍射波的波矢量k ´，其长度也等于反射球的半径1/λ。
第四章--倒易点阵及晶体衍射方向
第四章 倒易点阵及晶体衍射方向1. 布拉格定律一定波长的 X 射线或入射电子与晶体试样相互作用 , 可以用布拉格定律来表征产生衍射的条件。
图 4.1 布拉格定律的几何说明如图 4.1, 设平行电子束σ0入射到晶体中面间距为 d hkl 的晶体面网组 (hkl), 在人射波前 SS' 处 , 两电子波位相相同, 如果左边一支波经历波程 PA+AD = n λ，n 为包括零的整数 , 则两支波离开晶体后达到新波前 TT' 时 , 将具有相同的位相 , 相干结果可以达到衍射极大; 反之, 若 PA+AD ≠ n λ, 则达到TT' 时, 它们位相不同 , 不能相干得到衍射极大。
由图 4.1 可知，PA+AD =2d hkl sin θ=n λ (4.1)此即布拉格方程,n 称为衍射级数。
式(4.1)也可以写成:λθ=⎪⎭⎫⎝⎛sin 2n d hkl (4.1a)因为 d hkl /n=d nh, nk, hl ，故可把n 级 (hkl) 反射看成是与 (hkl) 平行 但面网间距缩小 n 倍的、 (nh, nk, nl) 的一级反射。
这样 , 布拉格方程可以写成一般形式 :λθ=sin 2hkl d (4.1a) 还可以写成下述形式：λθ/2/1sin hkld =(4.1b) 只要满足布拉格方程 , 就获得了产生衍射极大的条件。
式 (4.1a) 中 d hkl 为晶体中晶面组 (hkl) 的晶面间距；λ为入射电子束的波长；θ为人射电子束方向相对于晶面 (hkl) 的掠射角。
2. 倒易点阵2.1 倒易点阵定义 （1）倒易点阵：若已知晶体点阵的单位矢量 a 、b 、c, 可以定义倒易点阵的单位矢量a *、b *、c *，该点阵的方向矢量垂直于同名指数的晶体平面, 它的大小等于同名指数晶面间距的倒数,该点阵称为倒易点阵。
（2）正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系：图4.2 正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系取一晶体单胞 , 如图 4.2, 晶体点阵的单位矢量为 a 、b 和 c , 相应点阵的 6 个参数是a 、 b 、 c 、α、β和 γ。
倒易点阵与衍射
Xi’an Jiaotong University
倒易矢量的数学定义
a*·a=c*·c=b*·b=1 同文字的倒易矢量与正矢量的 数量积为1的图形解释见图2. 从图2可知，c cosδ是（001） 面的面间距d001，因此： c*·c=c* c cosδ=c*d001=1 可得 c*=1/d001 b*
倒易空间不同点阵面与反射球相交的投影示意图
磁学与磁性材料
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几点讨论 （2）如果晶胞的尺寸增加，倒易点阵参数将较小， 各个结点将更互相靠近，从而使它们与反射球交 截得几率更大，衍射斑点也更靠近。 （3）如果用于照射晶体的X射线波长较短，则反射 球的半径增大，这时能落到球面上的结点当然亦 会增多，增加晶体衍射的光点数目。
磁学与磁性材料
d P a B θ 1 2θ A t b
图6.在倒易空间中反射的几何条件 a—入射线；b—反射球； C—反射线；d—反射线方向。
c θ θ
R t
Hhkl O
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三、厄瓦尔（Ewald）图解
将倒易点阵置于反射球中， 就可将衍射和倒易点阵联系 起来。 如图6，以O点作为倒易点阵 原点，而入射线的方向BO与 倒易点阵的基本平移矢量一 致。在这种情况下，所有落 到球面上的结点均处于射线 束的反射位置。例如有一个 倒易结点落到球面的P点 处，则反射线的方向将与反 射球的中心A到P点的连线相 平行。
磁学与磁性材料
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二、衍射方程
倒易点阵不仅可使晶体几何 学问题的解决简化，更为重 要的是同衍射问题相联系。 设入射光波长为λ，其方向 由单位质量 S0 表示；衍射光 方向由单位矢量 S 表示。 设晶体沿三个轴方向的的那 位矢量为 a, b, c. 若希望 在 S 方向上的散射加强，则 在与此相垂直的波阵面上， 晶体中各原子的散射线的位 相必须相同。
3倒易点阵与电子衍射
3 倒易点阵与电子衍射1.电子波的波长电子束的波长很短，因此根据布拉格方程，其衍射角度2θ也特别小。
波长C射线衍射仪0.1--100电子显微分析0.0251(200kV)2.晶体形状与倒易点形状的关系3.倒易格子与倒易球因为电子束的波长很短，只有一半X射线波长的1%，因此倒易球的半径很大，能与倒易球直接相交的一般只能是0层倒易面(即在垂直入射光束的方向倒易原点所在的平面)。
另外，由于电子衍射时，样品制作成为很薄的片状，因此，倒易点阵中的各倒易点体现为棒状，可以有更多的0层倒易点与倒易球相交。
图4-1.倒易点阵图4-2倒易点阵与倒易球图4-3.0层的棒状倒易点与倒易球相交产生点阵衍射4.电子衍射方程如图所示，倒易点G与倒易球相交，产生的衍射效果记录在胶片的G'点。
图4-4电子衍射方程的推导因为电子波长很短，倒易球的半径很大，在倒易原点附近，倒易球面非常接近平面，因此，O1O/O1O'=OG/OG'1/λ/L=1/d/RRd=Lλ在恒定的实验条件下，Lλ是一个常数，即衍射常数(单位:mm.nm)。
此即电子衍射的衍射方程。
由以上分析可知，单晶电子衍射花样可视为某个(uvw)*方向的0零层倒易平面的放大像[(uvw)*的0层平面法线方向[uvw]近似平行于入射束方向(但反向)]。
因而，单晶电子衍射花样与二维(uvw)*的0层平面相似，具有周期性排列的特征。
5.单晶电子衍射花样的标定标定是指确定衍射花样中各斑点的指数(hkl)及其晶带轴方向[UVW]，并确定样品的点阵类型和位向。
(1)对斑点进行指标化如图所示，晶带轴方向[uvw]，指向与入射电子束方向相反，属于该晶带的0层倒易面为[uvw]*0，记录的衍射花样相当于0层倒易面面的放大象。
中心为倒易点阵原点(000)，图4-5记录的衍射花样与倒易点阵的关系图4-6一例典型的电子衍射花样图4-7衍射斑点的矢量关系如图4-7所示，表达衍射花样周期性的基本单元(可称特征平行四边形)的形状与大小可由花样中最短和次最短衍射斑点矢量R1与R2描述，平行四边形中3个衍射斑点连接矢量满足矢量运算法则:R3=R1+R2|R3|2=|R1|2+|R2|2+2|R1||R2|cosφ(φ为R1,R2夹角)同理:R4=R1+2R2|R4|2=|R1|2+|2R2|2+2|R1||2R2|cosφ=|R1|2+4|R2|2+4|R1||R2|cosφR5=R1-R2|R5|2=|R1|2+|R2|2-2|R1||R2|cosφ若5个向量终点的衍射斑点衍射指标分别为(h1k1l1),(h2k2l2),(h3k3l3),(h4k4l4),(h5k5l5),则斑点指标之间有如下关系:h3=h1+h2k3=k1+k2l3=l1+l2h4=h3+h2k4=k3+k2l4=l3+l2h5=h1-h2k5=k1-k2l5=l1-l2假定(h1k1l1),(h2k2l2)倒易指数为(100)和(010),则上图中各点的指标化结果如下:图4-8衍射斑点的指标化结果如果晶体是面心结构的，则其衍射效果要满足面心结构的衍射消光规律，即衍射指标要全奇或全偶(见图)，体心结构的晶体，衍射指标要符合h+k+l=偶数(见图)，因此，可根据电子衍射图的指标化结果确定空间格子类型。
倒易点阵
倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。
暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。
衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。
二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。
透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。
结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。
这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。
焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。
焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。
透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。
弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。
1-4倒易点阵
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
2.1 什么是倒易基矢 我们将正点阵中晶胞中旳a、b、c、、、六个点阵
常数用三个基矢 a、b、c 来替代，那么 a、b、c 就能
四、倒易点阵
4 实际晶体中旳倒易点阵
倒易点阵中出现节点旳条件： 正点阵中相互平行旳（hkl）面旳全体包括（经过）全部旳正点阵节 点。 例如：BCC和FCC旳（002）平行晶面族包括了全部原子
（001）平行晶面族只包括了二分之一原子 所以：在BCC和FCC旳倒易点阵中只出现（0，0，2）节点，而不 出现（0，0，1）节点。
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
• 为了从几何学上形象旳拟定衍射条件， 人们就找到一个新旳点阵（倒易点阵），使 其与正点阵（实际点阵）相相应。
•
相应旳条件：新点阵中旳每一个结点都 相应着正点阵旳一定晶面，该结点既反O映P 该
晶面旳取向也反映该晶面旳面间距。
•
具体条件：OP 1/d(hkl)
• a. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl) （倒易 点）旳矢量 正好沿正点阵中{hkl}面旳法 线方向。
（100）
四、倒易点阵
2.2 怎样拟定倒易基矢 2经过怎正样点拟阵定，倒能易够点得阵到：
d(100) =a
b b
c c
（2）
将（2）式代入（1）式得到：
a*= bc bc abc V
一样：b*
=
c
a V
c*
ab V
V 为正点阵晶胞旳体积。
（100）
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
第1章倒易点阵及电子衍射基础ppt课件
单晶C-ZrO2
多晶Au
非晶
准晶（quasicrystals）
FIGURE 2.13. Several kinds of DPs obtained from a range of materials in a conventional 100-kV TEM: (A) amorphous carbon, (B) an Al single crystal, (C) polycrystalline Au, (D) Si illuminated with a convergent beam of electrons. In all cases the direct beam of electrons is responsible for the bright intensity at the center of the pattern and the scattered beams account for the spots or rings that appear around the direct beam.
1.1.2 晶体学点群 对称要素 晶体的宏观对称性是按宏观点对称操作所构成的点群来进
行分类的。 群，是代数理论中的抽象概念，满足一定条件的一些元素
的集合。
晶体的独立宏观对称要素共有8种，即
1，2，3，4，6，i，m，4
对称中心的国际符号 形象法表示
等效位置，+、—号表示正反面， ，左右手的变化
对称的极图表示
2) 电子衍射产生斑点大致分布在一个二维倒易截面内，晶体 产生的衍射花样能比较直观地反映晶体内各晶面的位向。 因为电子波长短，用Ewald图解时，反射球半径很大，在衍 射角很小时的范围内，反射球的球面可近似为平面。
倒易点阵及X射线衍射几何条件
晶向指数具有如下规律：
由于晶体的对称性，有些晶向上原子排列情况相同，
因而性质也相同。晶体中原子排列情况相同的一组晶
向称为晶向族，用<uvw>表示。
例如： 立方晶系中 [111] ， [-111] ， [1-11] ， [11-1] ， [-1-11] ，
[1-1-1] ， [-11-1] ， [-1-1-1] 八个晶向是立方体中四个体对角
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h = v1w2 - v2w1 k = w1u2 - w2u1 l = u1v2 - u2v1
7. 晶面间距的计算
晶面间距：指相邻两个平行晶面之间的距离。
斜方(正交)晶系
正方晶系
立方晶系
1 4 2 (h hk k 2 ) / a 2 l 2 / c 2 3
下列关系：
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hu+kv+lw=0，
通常把这个关系式称为晶带定律。
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注意，晶面指数与其法线的晶向指数实际上 是一样的。
晶带定律的应用
在实际晶体中，立方晶系最为普遍，因此晶带定理
有非常广泛的应用。
（1）可以判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂 直； （2）可以判断某一晶向是否在某一晶面上（或平行 于该晶面）； （4）若已知两个晶带面为（h1 k1 l1)和(h2 k2 l2)，则 可用晶带定律求出晶带轴；
第二、三节
倒易点阵及X射线 衍射几何条件
X射线晶体衍射学的发展历程
1895年伦琴发现 X射线后，认为是一种波，但无 法证明。 当时晶体学家对晶体构造（周期性）也没有得到 证明。 1912年劳埃和他学生厄瓦尔德产生了用晶体作为 光栅的想法。 同年，劳埃将 X 射线用于 CuSO4 晶体衍射同时证 明了这两个问题，从此诞生了X射线晶体衍射学。 布拉格父子首先利用X射线衍射测定了 NaCl晶体 的结构，提出更简洁的Bragg方程。
材料分析方法第二章X射线衍射原理
29
（3） 衍射极限条件
• 由 sin ，可以 1说明两个问题：
2d • ① 晶体产生衍射的波长条件：λ≤2d
• 由于大部分金属的d为0.2～0.3nm，所以波长λ也是在同一 数量级或更小。
• ② 晶体中产生的衍射线条有限：d≥λ/2
• 所以，采用短波长的X射线时，能参与反射的晶面将会增 多。
仅在正交晶系中，下列关系 成立：
a * // a,b* // b, c * // c
a 1 ，b 1 ，c 1
a
b
c
7
• 另外，正倒空间的单胞体积互为倒数：
V*·V=1
•
倒易点阵的单位晶胞体积
V
*
*
a
*
(b
*
c )
• 正倒空间中角度之间的关系：
cos * cos cos cos sin sin
30
（4）衍射方向与晶体结构具有确定的关系
• 从 2d sin看出，波长选定之后，θ是d的函数。
• 各种晶系衍射角与晶面指数的对应关系：
• 立方系
2
sin 2 θ λ H 2 K 2 L2 4a 2
• 正方系 • 斜方系
sin2
2
4
H
2 K2 a2
L2 c2
sin 2
2
4
H2 a2
K2 b2
• 如图，X-ray以θ角入射到原子面并以β角散射时，相距为a 的任意两原子E、A的散射X射线的波程差为：
• δ=EG-FA=a(cosβ-cosθ)
当δ=nλ时，在β方向干涉加强。
假定原子面上所有原子的散射线 同位相，即δ=0，则a(cosβcosθ)=0，θ=β
倒易点阵介绍重点
Ewald 图解
反射方向 反射线 P
g
入射线 B
θ 2θ θ θ
(hkl)
1
A 反射球
O
Ewald 作图法
1、设以单位矢量S0代表波 长为的X-RAY,照射在晶 P
S/
体上并对某个hkl面网产生
衍射， 衍射线方向为S，二 者夹角为2。
S S0 g
2
1/
A
S0 /
O
2、定义S=S-S0为衍射矢量，
倒易点阵
倒易点阵几何 衍射条件 爱瓦尔德图解法 粉末衍射法
1
倒易点阵简介
布拉格公式作为结构分析的数学工具,在 大多数场合已经足够,但是,还有一些衍射 效应是布拉格公式无法解释的,例如非布 拉格散射就是如此. 倒易点阵概念的引入,为一般衍射理论奠 定了基础.
2
倒易点阵几何
倒易点阵的概念 倒易点阵的定义 倒易点阵的性质 晶带定理
2
1/
A
S0 /
O
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
S0 /
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了 X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。
二维晶体的衍射及其倒易点阵的物理内容
二维晶体的衍射及其倒易点阵的物理内容
二维晶体的衍射是指晶体中的波在结构的空间限制下的散射现象。
它是晶体中电磁波的一种特殊形式，可以用来描述物体在不同方向上的折射、反射和衍射现象。
倒易点阵是指在晶体表面上形成的一种特殊的点阵，它由二维晶体衍射出来的小点组成，这些小点按照一定的规律排列，形成一个点阵。
在倒易点阵中，每个点都是由衍射出来的波，这些波在晶体表面上形成一个小的空间，也就是倒易点阵。
在这种空间中，波的传播方向受到晶体结构的影响，从而形成了一个倒易点阵。
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4埃
0.25埃-1
系
z 可以看出，H矢量的长度 b
等于其对应晶面的间距的
倒数，且与晶面相垂直。
z 必须指出，像nh,nk,nl(n
为整数)这样的倒易阵点， 对应着与（hkl）平行且间
c
(010)
020 120
220
(110) (210)
(100) 010
110
210
b* H110
H210
a
000
c* a* 100 200
距为其1/n的点阵面。如图 3中的H220平行于H110，且
是H110的两倍。
图3. a=4埃 的立方晶体及其倒易点阵
磁学与磁性材料
倒易点阵的应用举例
Xi’an Jiaotong University
z 1、单胞体积
c*
b*
z 单胞体积等于底面积乘高。
δ
z 底面积为 a b sin γ=a×b
z 高是（001）面的面间 距，为 c cosδ
(hkl)
O
X
图1.晶体点阵中的晶面与倒易点 阵中倒易矢量的关系
磁学与磁性材料
一、倒易点阵基础
Xi’an Jiaotong University
z 从原点到Phkl点的 矢量称为倒易矢 量，其大小为：
Hhkl=k/dhkl
z 式中k位比例系数，在多 数场合下取作1，但很多 时候亦可令之等于X射线 的波长。
z 从图2可知，c cosδ是（001） 面的面间距d001，因此： c*·c=c* c cosδ=c*d001=1
可得
c*=1/d001
c*
b*
δ
c
b
γ
图2.晶体点阵基矢与倒易 点阵基矢的关系
磁学与磁性材料
倒易矢量的数学定义
Xi’an Jiaotong University
z 从以上定义可知：
磁学与磁性材料
倒易点阵的应用举例
Xi’an Jiaotong University
3、晶带与晶带轴 z 若干个晶面族同时平行于某一轴向时，则这些晶面族属于
同一晶带，而这个轴向就称为晶带轴。 设晶带轴矢量= u a+v b+w c 晶面族的任一个晶面的倒易矢量= h a*+k b*+l c*
z 若两个矢量互相垂直，则其数量积必为零，故 （u a+v b+w c）·（h a*+k b*+l c*）=0
磁学与磁性材料
一、倒易点阵基础
Xi’an Jiaotong University
z 真点阵中的一组晶面 （hkl），在倒易空间 中将用一个点Phkl表示
z 点子与晶面有倒易关 系，这种关系表现为： 点子取在（hkl）的法线 上，且Phkl点到倒易点 阵原点的距离与晶面间 距成反比。
Z
Y
N
P H hkl
故体积：
V= a b sin γ c cosδ
=（a×b）· c
c
b
γ
(001)
O
a
a*
=（b×c）· a =（c×a）· b
图2.晶体点阵基矢与倒易 点阵基矢的关系
磁学与磁性材料
倒易点阵的应用举例
Xi’an Jiaotong University
2、晶面间距 z Hhkl=1/dhkl，两边平方得： z H2=1/d2=H · H=（ha*+kb*+lc*）·（ha*+kb*+lc*）=
磁学与磁性材料
Xi’an Jiaotong University
1
Hhkl
s
t
θ mA θ
Xi’an Jiaotong University
倒易点阵与衍射
西安交通大学 材料物理系 宋晓平
2008.07
1
一、倒易点阵基础
Xi’an Jiaotong University
z 倒易点阵是一种数学方法 z 利用这一概念，可使晶体几何的问题大为简化。 z 对于一般的衍射现象
其解释变得更加简单 理解亦可更加深入。 z 对于复杂的衍射效应， 它可以提供必要的门径。
Z
Y
N
P H hkl
(hkl)
O
X
图1.晶体点阵中的晶面与倒易点 阵中倒易矢量的关系
磁学与磁性材料
倒易矢量的数学定义
Xi’an Jiaotong University
z 设真点阵的基本平移矢量为
abc z 设倒易点阵的基本平移矢量为
a* b* c* z a*·b=a*·c=b*·a=b*·c=c*·a=c*·b=0
简化可得： h u+k v+l w=0
这就是判别晶面是否平行于某晶向的条件。
磁学与磁性材料
二、衍射方程
z 倒易点阵不仅可使晶体几何 学问题的解决简化，更为重 要的是同衍射问题相联系。
z 设入射光波长为λ，其方向 由单位质量 S0 表示；衍射光 方向由单位矢量 S 表示。
z 设晶体沿三个轴方向的的那 位矢量为 a, b, c. 若希望 在 S 方向上的散射加强，则 在与此相垂直的波阵面上， 晶体中各原子的散射线的位 相必须相同。
（1）如果正点阵晶轴相互垂直，则 倒易轴亦相互垂直且平行于晶轴。
（2）倒易矢量可以表征真点阵（hkl） 晶面的方位，而H（hkl）的长度可以 表示（hkl）的晶面间距dhkl.
磁学与磁性材料
倒易点阵的图形表示
Xi’an Jiaotong University
z 图3是用平面图像表明立方
系晶体与其倒易点阵的关
磁学与磁性材料
一、倒易点阵基础
Xi’an Jiaotong University
z 晶体由质点按一定的规律排列而成，如果将这种 周期排列规律抽象出来，就是空间点阵。
z 将空间点阵（真实点阵或实点阵）经过倒易变 换，就得到倒易点阵。
z 倒易点阵的外形也很像点阵，但其上的结点并不 代表质点，而是对应着真点阵的一组晶面。
不同文字的倒易矢量与正矢量的数量积为零，其涵义为 a*⊥b及c; c* ⊥a及b; b*⊥a及c。 z a*·a=c*·c=b*·b=1 同文字的倒易矢量与正矢量的数量积为1.
磁学与磁性材料
倒易矢量的数学定义
Xi’an Jiaotong University
z a*·a=c*·c=b*·b=1 同文字的倒易矢量与正矢量的 数量积为1的图形解释见图2.