苏教版数学高一必修4学案1.3.2第1课时正弦函数、余弦函数的图象与性质

1.3.2三角函数的图象与性质

第1课时正弦函数、余弦函数的图象与性质

学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.4.掌握正弦曲线、余弦曲线的性质．

知识点一正弦函数图象

思考1结合课本内容，思考并体会利用正弦线作正弦函数图象的方法．

思考2如果有y＝sin x，x∈[0,2π]图象上的五个点，进行描点、连线，作出图象，那么哪五个点最关键？

梳理正弦曲线及作法

(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线．如图：

(2)正弦曲线的作法

①几何法——借助三角函数线．

②描点法——五点法．

用“五点法”画正弦曲线在[0，2π]上的图象时所取的五个关键点为________，________，________，________，________.

知识点二余弦函数图象

思考1能否把正弦函数y＝sin x的图象转化为y＝cos x的图象？

思考2如果用“五点法”作出y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点应为什么？

梳理余弦曲线及作法

(1)余弦函数的图象叫做余弦曲线．如图：

(2)余弦曲线的画法

①要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向__________平移

π

2个单位长度便可，这是由于cos x＝____________.

②用“五点法”画出余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点分别为：________，________，________，________，________.

知识点三正弦函数、余弦函数的性质

正、余弦函数的性质可从定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性及最值等方面进行比较．

正弦函数余弦函数

解析式y＝sin x y＝cos x

图象

定义域R R

值域[－1,1][－1,1]

周期2π2π

奇偶性奇函数偶函数

单调性

在_________(k∈Z)上是单调增函数，

在________(k∈Z)上是单调减函数

在____________(k∈Z)上是单调增函数，

在___________(k∈Z)上是单调减函数最值

x＝________(k∈Z)时，y max＝1；x＝

________(k∈Z)时，y min＝－1

x＝_________(k∈Z)时，y max＝1；x＝

_________(k∈Z)时，y min＝－1

类型一“五点法”作图的应用

例1利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．

反思与感悟作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．

跟踪训练1 用“五点法”作出函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图．

类型二 求正弦、余弦函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间． (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3； (2)y ＝cos 2x .

反思与感悟 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．

跟踪训练2 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫

π4－x 的单调增区间．

类型三 正弦函数、余弦函数的最值问题

例3 (1)已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π

3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值；

(2)求函数y ＝sin 2x －cos x 的值域．

反思与感悟 (1)求形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值要注意对a 的讨论． (2)将函数式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式． (3)换元后配方，利用二次函数求最值．

跟踪训练3 (1)若y ＝a sin x ＋b 的最大值为3，最小值为1，则ab ＝________. (2)求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π

6的最大、最小值及相应的x 值．

(3)求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域．

1．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________． 2．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦

⎤－π

2，π的值域是________． 3．函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－1

2的交点有________个．

4．函数y ＝2sin x －1的定义域为________． 5．请用“五点法”画出函数y ＝1

2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象．

1．对“五点法”画正弦函数图象的理解

(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．(2)图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．

2．作函数y＝a sin x＋b的图象的步骤：

3．用“五点法”画函数y＝a sin x＋b在一个周期[0,2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出．