南京市2004年中考数学试题

南京市
2004年中考数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（每小题2分，共30分）： 1．下列四个数中，在－2到0之间的数是（ ）．
(A) －1 (B) 1 (C) －3 (D) 3 ２．计算x 6÷x 3的结果是（ ）． (A) x 9 (B) x 3 (C) x 2 (D) 2
3．光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9 500 000 000 000km ，用科学记数法可表示为( )．
(A) 950×1010 km (B) 95×1011 km (C) 9.5×1012 km (D) 0.95×1013 km
4．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）．
(A) 1 (B) 0 (C) －1 (D) －3 5．下列二次根式中，最简二次根式是( )．
(A)
2
1 (B)4 (C) 6 (D) 8
6．方程x 2 －4x ＋4＝0根的情况是（ ）． (A)有两个不相等的实数根
(B) 有两个相等的实数根
(C) 有一个实数根
(D)没有实数根
7. 不等式x －2＜0的正整数解是( ).
(A)1 (B)0，1 (C)1，2 (D)0，1，2 8．在平面直角坐标系中，点P （2，1）关于原点对称的点在（ ）． (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
9．抛物线y ＝(x －2)2的顶点坐标是（ ）．
(A)（2，0） (B)（－2，0） (C)（0，2） (D)（0，－2） 10. 如果∠α＝20°，那么∠α的补角等于（ ）．
(A) 20° (B) 70° (C) 110° (D) 160°
11．在比例尺是1∶8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm ，它的实际长度约为（ ）．
(A) 320 cm (B) 320 m (C) 2000 cm (D) 2000 m 12．用两个边长为a 的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）．
(A) 等腰梯形 (B) 正方形 (C) 矩形 (D) 菱形 13．在△ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝2，BC ＝1，那么sin A 的值是( ).
(A)
2
1 (B)
5
5 (C)
3
3 (D)
2
3
14．如图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B ＝70°，则∠BAC 等于（ ）． (A) 70° (B) 35° (C) 20° (D) 10°
15．如图，边长为12 m 的正方形池塘的周围是草地，池塘边A 、B 、C 、D 处各有一棵树，且AB ＝BC ＝CD ＝3 m ．现用长4 m 的绳子将一头羊栓在其中的一棵数上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子栓在（ ）．
(A) A 处 (B) B 处 (C) C 处 (D) D 处
二、填空题（每小题2分，共10分） 16．计算：
b
a b b
a a --
-＝ ．
17．分解因式：3x 2
－3＝ ．
18．写出一个无理数，使它与2的积是有理数： ．
19．如图，割线PAB 与⊙O 交于点A 、B ，割线PCD 与⊙O 交于
点C 、D ，PA ＝PC ，PB ＝３cm ，则PD ＝ cm ． 20. 如图，矩形ABCD 与⊙O 交于点A 、B 、F 、E ，DE ＝1 cm ，EF ＝３cm ，则AB ＝ cm ． 三、（每小题５分，共25分） 21．计算：
12322-
-
．
22．解不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧+<
+≤-．413,
13)1(2x x x x
23．已知方程x 2＋kx －6＝０的一个根是2，求它的另一个根及k 的值． 24．已知：如图，E 、F 是□ABCD 的对角线上的两点，AE ＝CF ． 求证：(1) △ABE ≌△CDF ； (2) BE ∥DF 是平行四边形．
O
A
B C
P
A
C
D E
F
25．为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下：
(1) 计算这家庭的平均月用水量；
(2) 如果该小区有500户家庭，根据上面的计算结果，估计该小区居民每月共用水多少吨？ 四、（每小题6分，共12分）
26．在压力不变的情况下，某物体承受的压强p （Pa ）是它的受力面积S （m 2
）的反比例函数，其图象如图所示．
(1) 求p 与S 之间的函数关系式；
(2) 求当S ＝0.5 m 2时物体承受的压强p ． 27．(1)如果二次函数y ＝x 2－2 x ＋c 的图象经过点（1，2），求这个二次函数的解析式，并写出该函数图象的对称轴；
(2)图象的对称轴是y 轴的二次函数有无数
个．试写出两个不同的二次函数解析式，使这两个函数图象的对称轴是y 轴．
五、（每小题6分，共12分）
28．如图，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 点的仰角为45°，从地面B 点测得C 点的仰角为60°．已知AB ＝20 m ，
点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．
29．某地举办乒乓球比赛的费用y （元）包括两部分：
一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b ，另一部分与参加比赛的人数x （人）成正比例． 当x ＝20时，y ＝1600，当x ＝30时，y ＝2000．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)如果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员
分摊，那么每名运动员需要支付多少元？ 形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫
做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．
(1)选择：如图1，点O 是等边三角形PQR 的中心，P ′、
Q ′、R ′分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P ′Q ′R ′与△PQR 是位似三角形．此时，△P ′Q ′R ′与△PQR 的位似比、位似中心分别为（ ）．
m 2）
B C
45°60°
A ．2、点P
B ．
2
1、点P C ．
2、点O
D ．
2
1、点O
P Q
R O
P'
Q'R'
O A B
C
E
C'
E'
图１ 图２
(2) 如图２，用下面的方法可以画△AOB 的内接等边三角形．阅读后证明相应问题． 画法：①在△AOB 内画等边三角形CDE ，使点C 在OA 上，点D 在OB 上；
②连结OE 并延长，交AB 于点E ′，过点E ′作E ′C ′∥EC ，交OA 于点C ′， 作E ′D ′∥ED ，交OB 于点D ′； ③连结C ′D ′．则△C ′D ′E ′是△AOB 的内接三角形．
求证：△C ′D ′E ′是等边三角形． 七、（本题7分）
31．某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出
50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中
盈利350元，求每盒茶叶的进价． 八、（本题9分）
32．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝20 cm ，BC ＝4 cm ，点P 从A 开始沿折线A —B —C —D
以4 cm / s 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1 cm / s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t （s ）．
(1) t 为何值时，四边形APQD 为矩形？ (2) 如图2，如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2 cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？
图１ 图２
九、（本题８分）
33．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B 、C ．
(1)当AB＝4，DC＝1，BC＝4时，在线段BC上是否存在点P，使AP⊥PD？如果存在
求线段BP的长；如果不存在，请说明理由．
(2)设AB＝a，DC＝b，AD＝c，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上
存在点P，使AP⊥PD？
A
D
B C
南京市答案
1．A． 2．B 3．C 4．B． 5．C． 6．B． 7．A． 8．C． 9．A． 10．D．
1 1．D． 1 2．D． 1 3．A．1 4．c． 15．B．
16．1 17．3(x+1)(x-1)．
18．答案不唯一，例如：2、22．
19．3． 20．5．21．4． 22．-3≤x<3．
23．方程的另一个根是-3，k的值是1．
24．(1)∵四边形ABCD是平行四边形∴ AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，∵AE=CF，△△ABE∽△CDF；
(2)∵△ABE≌△CDF，△∠AEB=∠CFD，△∠BEC=∠DFA，△BE∥DF．
25．(1)14(吨)，即这10户家庭的平均月用水量为14吨；
(2)500×14=7 000．估计该小区居民每月共用水7 000吨．
26．(1)设p=k/S ∵点A(0．1，1000)在函数图象上 p与s之间的函数关系式是p=100/S；
(2)当S=0．5 m2时，p=200(Pa)．
27．(1)根据题意，得2=1—2+c，∴c=3，∴这个二次函数的解析式是y=x2—2x+3，∴该函数图象的对称轴是x=1；
(2)答案不唯一，例如：y=x2，y=x2—1等．
28．作CD⊥AB，垂足为D．设气球离地面的高度是xm．
在Rt△ACD中，∠CAD=45° ∴AD=CD=x．
在Rt△CBD中，∠CBD=60° ∴cot60°=BD/CD ∴BD=3 X/3
∵ AB=AD—BD，∴20=X-3 X/3．∴ X=30+103
答：气球离地面的高度是(30+103 )m ． 29．(1)y 与x 之间的函数关系式是y=40x+800； (2)当x=50时，y=2800，则2800/50=5 6，． ∴每名运动员需要支付56元．
3.(1)D ；
(2)∵ EC∥E'C’，．∴ CE/C'E'=OE/OE' ，∠CEO=∠C'E'O．∴ED∥E'D’， ∴ED/E'D'=OE/OE'，∠DEO=∠D'E'O．
∴ CE/C'E'=ED/E'D' ，∠CED=∠C'E'D’∵△CDE 是等边三角形，． ∴CE=ED，∠CED=60°．∴C'E’=E’D’，∠C'E'D’=60°．
∴ △C'E'D’是等边三角形．
31．设每盒茶叶的进价为x 元．根据题意，得50×20％x-5(2400/x —50)=350．解这个方程，得x 1=-30，x 2=40．
经检验，x 1=-30，x 2=40都是所列方程的根，但进价为负数不合题意。

所以只取x=40． 答：每盒茶叶的进价为40元． 32．(1)根据题意，当AP=DQ 时，由AP∥DQ，∠A=90°，得四边形APQD 为矩形，此时，4t=20—t ，解得t=4(s)，∴ t 为4 s 时，四边形APQD 为矩形；
(2)当PQ=4时，⊙P 与⊙Q 外切．
① 如果点P 在AB 上运动．只有当四边形AP≌为矩形时，PQ=4．由(1)，得t=4(s)． ② ②如果点P 在BC 上运动．此时，t≥5．则CQ≥5，PQ≥CQ≥5>4，∴⊙P 与⊙Q 外离． ③如果点P 在CD 上运动，且点P 在点Q 的右侧．可得CQ=t ，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，⊙P 与⊙Q 外切．此时，t-(4t-2 4)=4．解得t=20/3(s)．
④如果点P 在CD 上运动，且点P 在点Q 的左侧．当CP —cQ=4时，⊙P 与⊙Q 外切．此时，4t-24-t=4．解得t=28/3(s)．∵ 点P 从A 开始沿折线A —B —C －D 移动到D 需要ll s ，点Q 从c 开始沿CD 边移动到D 需要20s ，而28/3<1 1， ∴当t 为4 s ，20/3 s ，28/3 s 时，⊙P 与⊙Q 外切．
33．(1)如果存在点P ，使AP⊥PD，那∠∠APD=90°，
∴ ∠APB+∠CPD=90°，∵AB⊥BC ，DC⊥BC ，∴∠B=∠c=90°∴∠APB+∠BAP=90° ∴∠BAP=∠CPD，∴△APB∽△PDC，∴ AB/PC=BP/CD， 设BP=X ，则PC=4-x ∴ 4/(4-x)=x/1
∴ x 1=x 2=2，∴在线段BC 上存在点P ，使AP⊥PD，此时，BP=2；
(2)如果在直线BC 上存在点P ，使AP⊥PD，那么点P 在以AD 为直径的圆上，且圆的半径为c/2,取AD 的中点O ，过点O 作OF⊥BC，垂足为E
∵ ∠B=∠OEC=∠C=90° ∴AB∥OE∥DC
∵AO=DO ∴BE=CE． ∴ OE=(AB+DC)/2=(a+b)/2． ∴当OE<c/2， 即a+b<c 时，以AD 为直径的圆与直线BC 相交．此时，存在⊙O
和直线BC 的交点P 1、P 2，使AP 1⊥P 1D ，AP 2⊥P2D．当OE=c/2，即a+b=c 时，以AD 为直径的圆与直线BC 相切．此时，存在切点P ，使AP⊥PD 当OE>c/2，即a+b>c 时，以AD 为直径的圆与
直线BC相离．此时，在直线BC上不存在点P，使AP⊥PD.
综上，当a+b≤c时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．。