高等数学下册电子教案
高等数学下电子教案
高等数学下电子教案一、引言1.1 课程介绍本课程是高等数学下的电子教案，主要面向大学本科生和研究生，涵盖高等数学的基本概念、理论和方法。
1.2 教学目标通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本知识，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、极限与连续2.1 极限的定义与性质2.1.1 极限的定义2.1.2 极限的性质2.1.3 极限的存在性定理2.2 无穷小与无穷大2.2.1 无穷小的概念2.2.2 无穷小的比较2.2.3 无穷大2.3 极限的运算法则2.3.1 极限的四则运算法则2.3.2 复合函数的极限2.4 极限的求解方法2.4.1 直接代入法2.4.2 因式分解法2.4.3 洛必达法则2.5 连续函数的性质2.5.1 连续函数的定义2.5.2 连续函数的性质2.5.3 连续函数的例子三、导数与微分3.1 导数的定义与性质3.1.1 导数的定义3.1.2 导数的性质3.1.3 导数的计算法则3.2 高阶导数3.2.1 二阶导数3.2.2 三阶导数及更高阶导数3.3 隐函数求导3.3.1 隐函数求导的基本方法3.3.2 隐函数求导的例子3.4 微分3.4.1 微分的定义3.4.2 微分的性质3.4.3 微分的计算四、微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理4.1.1 罗尔定理4.1.2 拉格朗日中值定理4.1.3 柯西中值定理4.2 导数的应用4.2.1 函数的单调性4.2.2 函数的极值4.2.3 函数的凹凸性五、不定积分与定积分5.1 不定积分5.1.1 不定积分的概念5.1.2 不定积分的性质5.1.3 不定积分的计算方法5.2 定积分5.2.1 定积分的概念5.2.2 定积分的性质5.2.3 定积分的计算方法5.3 定积分的应用5.3.1 面积的计算5.3.2 弧长的计算5.3.3 质心、转动惯量的计算六、定积分的进一步应用6.1 定积分在几何中的应用6.1.1 计算平面区域的面积6.1.2 计算曲线围成的面积6.1.3 计算旋转体的体积6.2 定积分在物理中的应用6.2.1 计算物体的质量6.2.2 计算物体受到的力6.2.3 计算物体的动能和势能6.3 定积分在概率论中的应用6.3.1 概率密度函数的定义6.3.2 计算概率6.3.3 计算期望和方差七、微分方程7.1 微分方程的基本概念7.1.1 微分方程的定义7.1.2 微分方程的阶数7.1.3 微分方程的解7.2 一阶微分方程7.2.1 分离变量法7.2.2 积分因子法7.2.3 变量替换法7.3 高阶微分方程7.3.1 线性高阶微分方程7.3.2 非线性高阶微分方程7.3.3 常系数线性微分方程八、线性代数8.1 矩阵8.1.1 矩阵的定义8.1.2 矩阵的运算8.1.3 矩阵的性质8.2 线性方程组8.2.1 高斯消元法8.2.2 克莱姆法则8.2.3 矩阵的逆8.3 向量空间与线性变换8.3.1 向量空间的概念8.3.2 线性变换的概念8.3.3 特征值与特征向量九、概率论与数理统计9.1 概率论基本概念9.1.1 随机试验与样本空间9.1.2 事件与概率9.1.3 条件概率与独立性9.2 离散型随机变量9.2.1 离散型随机变量的定义9.2.2 离散型随机变量的分布律9.2.3 离散型随机变量的期望与方差9.3 连续型随机变量9.3.1 连续型随机变量的定义9.3.2 连续型随机变量的分布函数9.3.3 连续型随机变量的期望与方差9.4 数理统计的基本概念9.4.1 统计量与抽样分布9.4.2 估计理论9.4.3 假设检验十、复变函数10.1 复数的基本概念10.1.1 复数的定义10.1.2 复数的运算10.1.3 复数的性质10.2 复变函数的基本概念10.2.1 复变函数的定义10.2.2 复变函数的运算10.2.3 复变函数的性质10.3 复变函数的积分10.3.1 复变函数的积分公式10.3.2 复变函数的积分计算10.3.3 复变函数的line integral10.4 复变函数的应用10.4.1 复变函数在几何中的应用10.4.2 复变函数在物理中的应用10.4.3 复变函数在工程中的应用重点和难点解析一、极限与连续1.1 极限的定义与性质：理解极限的概念，特别是无穷小和无穷大的比较，以及极限的存在性定理。
高等数学 电子教案(下)
高等数学电子教案（下）《高等数学》2008 ,2009 学年第二学期教师姓名: 李石涛授课对象:1.化学工程与工艺0801,0803，应用化学0801，08022.高分子材料工程0801，0802;环境工程0801，0802授课学时: 128/64选用教材《高等数学》史俊贤主编大连理工大学出版社 2006/2基础部数学教研室沈阳工业大学教案第 1 周授课日期 09.2.18授课章节:第六章 6.1 定积分元素法教学目的: 1、理解定积分元素法的基本思想,2、掌握用定积分表达和计算一些几何量,平面图形的面积、平面曲线的弧长,教学重点:平面图形的面积、平面曲线的弧长教学难点:平面图形的面积教学内容纲要:一、定积分的元素法,二、平面图形的面积、教学三、平面曲线的弧长、实采用的教学形式:讲授施过教学方法:启发式教学程教学步骤: 设1、复习定积分的概念～引出定积分的元素法, 计2、举例讲解平面图形的面积3、举例讲解平面曲线的弧长课后复习及作业或思考题:1、复习定积分的元素法。
2、课后习题6-2 1、2、4、5。
教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 1 周授课日期 09.2.20授课章节:6.2 定积分在几何学上的应用教学目的:1、理解定积分元素法的基本思想,2、掌握用定积分表达和计算一些几何量,旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积,教学重点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积教学难点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积教学内容纲要:一、旋转体的体积、二、平行截面面积为已知的立体体积, 教学采用的教学形式:讲授实教学方法:启发式教学施教学步骤: 过1、复习定积分的元素法, 程2、举例讲解旋转体的体积设3、举例讲解平行截面面积为已知的立体体积计课后复习及作业或思考题:3、复习定积分的概念。
4、习题1～ 1 4、5、7、8、10、13。
教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 2 周授课日期 09.2.25授课章节:6.3 定积分在物理学上的应用教学目的:1、理解定积分元素法的基本思想,2、掌握用定积分表达和计算一些物理量,变力做功、压力,。
高等数学下电子教案
高等数学下电子教案一、引言1.1 课程简介本课程是高等数学下的电子教案，主要面向大学本科阶段的学生。
通过本课程的学习，学生将掌握高等数学的基本概念、方法和技巧，为后续专业课程的学习和科研工作打下坚实的基础。
1.2 教学目标（1）理解并掌握高等数学的基本概念和原理；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力；（3）提高学生的数学素养和科学研究的初步能力。
二、极限与连续2.1 极限的概念（1）极限的定义；（2）极限的性质；（3）极限的存在条件。
2.2 极限的计算（1）基础极限公式；（2）无穷小和无穷大的比较；（3）极限的运算法则。
2.3 连续性（1）连续性的定义；（2）连续函数的性质；（3）连续函数的判定定理。
三、导数与微分3.1 导数的概念（1）导数的定义；（2）导数的几何意义；（3）导数的物理意义。
3.2 导数的计算（1）基本导数公式；（2）导数的运算法则；（3）高阶导数。
3.3 微分（1）微分的定义；（2）微分的运算法则；（3）微分在近似计算中的应用。
四、积分与面积4.1 不定积分（1）不定积分的概念；（2）基本积分公式；（3）积分的换元法和分部法。
4.2 定积分（1）定积分的概念；（2）定积分的性质；4.3 面积计算（1）平面区域的面积计算；（2）曲线的面积计算；（3）旋转体的体积计算。
五、微分方程5.1 微分方程的基本概念（1）微分方程的定义；（2）微分方程的解法；（3）微分方程的应用。
5.2 线性微分方程（1）线性微分方程的定义；（2）线性微分方程的解法；（3）线性微分方程的解的存在性定理。
5.3 非线性微分方程（1）非线性微分方程的定义；（2）非线性微分方程的解法；（3）非线性微分方程的应用。
六、级数6.1 级数的基本概念（1）级数的定义；（2）级数的收敛性；6.2 幂级数（1）幂级数的概念；（2）幂级数的收敛半径；（3）幂级数的运算。
6.3 泰勒级数和麦克劳林级数（1）泰勒级数的概念；（2）泰勒级数的展开；（3）麦克劳林级数。
高等数学电子教案(大专版)(2024)
02
函数与极限
2024/1/28
8
函数概念及性质
2024/1/28
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中 的每一个数$x$，按照某种对应法则$f$，在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应， 则称$f$为从$D$到$M$的一个函数，记作$y = f(x), x in D$。
向量的坐标表示法
详细讲解向量的坐标表示法，包括向量在空间直角 坐标系中的表示方法、向量的模和方向余弦的坐标 计算公式等。
向量的运算与坐标计算
介绍向量的加法、减法、数乘和点积、叉积 等运算在坐标计算中的实现方法，以及这些 运算的几何意义和性质。
2024/1/28
30
平面与直线方程
2024/1/28
平面的方程
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率，反映了函数值随自变量变化的快 慢程度。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的 切线斜率，即函数图像在该点的倾斜 程度。
13
导数的计算法则
基本初等函数的导数公式
包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数 、三角函数等的基本导数公式。
导数的四则运算法则
2024/1/28
全微分的定义
如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全 增量$Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$可以表示为$Delta z=ADelta x+BDelta y+o(rho)$，其 中$A$和$B$不依赖于$Delta x$和 $Delta y$而仅与$x$和$y$有关， $rho=(Delta x^2+Delta y^2)^{frac{1}{2}}$，则称函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而 $ADelta x+BDelta y$称为函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分。
高数下教案模板范文
教学对象：大学本科一年级教学目标：1. 理解不定积分的概念，掌握不定积分的计算方法。
2. 熟练运用不定积分解决实际问题，如求解函数的微分方程、计算定积分等。
3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
教学重点：1. 不定积分的概念和计算方法。
2. 不定积分在实际问题中的应用。
教学难点：1. 不定积分的计算方法。
2. 不定积分在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入1. 复习不定积分的定义和性质。
2. 引入不定积分在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲授1. 不定积分的概念- 引入不定积分的定义，解释不定积分的几何意义。
- 通过实例说明不定积分在几何中的应用。
2. 不定积分的计算方法- 介绍基本积分公式和积分技巧。
- 通过实例讲解不定积分的计算方法。
3. 不定积分在实际问题中的应用- 求解函数的微分方程。
- 计算定积分。
三、课堂练习1. 基本积分公式的应用。
2. 不定积分的计算。
3. 求解函数的微分方程。
4. 计算定积分。
四、课堂小结1. 总结本节课的重点内容。
2. 强调不定积分在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 完成课后练习题。
2. 预习下一节课的内容。
教学评价：1. 课堂练习题的正确率。
2. 课后作业的完成情况。
3. 学生对不定积分的理解和应用能力。
教学反思：1. 本节课是否达到了教学目标。
2. 学生对不定积分的理解程度。
3. 教学过程中是否存在难点，如何改进。
教学资源：1. 教材：《高等数学》（下册）2. 多媒体课件3. 练习题集注：以上教案模板仅供参考，教师可根据实际情况进行调整。
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编) 电子教案-1_2 极限的概念-电子课件
2n 2 2n 1
成立.
发散数列 1n 也可能有界， 1 n 1 ；
无界数列 (1)n 2n 一定发散；
有界数列
1 2
1
(1)n
不
一
定
收
敛
，
1 2
1
(1)n
1，但当
n
为奇数时，
1 2
1
(1)
n
0 ；当
n
为偶数时，
1 2
1
(1)n
1.
综上可知：收敛数列必有界.数列有界是数列收敛的
2x 1 7 ，即 m f (x) M .此处 f x 2x 1 在x 3 处有定义，且当 x 3时， f x 的极限值恰好是f 2 .
例 8 由表达式
y
f
(x)
1
x, 0, x
x 0
0
1
的确定的函数，如图 1-26 所示.
O
1
x
图21-526
当 x 0时， f (x) 1 x，则lim f (x) lim(1 x) 1.
x2 x2
求 lim f (x), lim f (x),并由此判断lim f (x) 是否存在.
x2
x2
x2
解 lim f (x) lim (2x 1) 5, lim f (x) lim (x2 1) 5，
x2
x2
x2
x2
即 f (2 ) f (2 ) 5, 由函数 f (x) 在x 2 处极限存在的充要
自变 x x0的变化过程中，函数值 f (x)无限接近于 A，就
称 A 是函数 f (x)当
x
x0
时
极
限
.
记
高一下册数学教案全册 高一下册数学教案电子版(三篇)
高一下册数学教案全册高一下册数学教案电子版(三篇)高一下册数学教案全册高一下册数学教案电子版篇一1、结合实际问题情景，理解分层抽样的必要性和重要性；2、学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本；3、并对简单随机抽样、系统抽样及分层抽样方法进行比较，揭示其相互关系。
教学重点：通过实例理解分层抽样的方法。
教学难点：分层抽样的步骤。
教学过程：一、问题情境1、复习简单随机抽样、系统抽样的概念、特征以及适用范围。
2、实例：某校高一、高二和高三年级分别有学生名，为了了解全校学生的视力情况，从中抽取容量为的样本，怎样抽取较为合理？二、学生活动能否用简单随机抽样或系统抽样进行抽样，为什么？指出由于不同年级的学生视力状况有一定的差异，用简单随机抽样或系统抽样进行抽样不能准确反映客观实际，在抽样时不仅要使每个个体被抽到的机会相等，还要注意总体中个体的层次性。
由于样本的容量与总体的个体数的比为100∶2500=1∶25，所以在各年级抽取的个体数依次是。
即40，32，28。
三、建构数学1、分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫“层”。
说明：①分层抽样时，由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比，每一个个体被抽到的可能性都是相等的；②由于分层抽样充分利用了我们所掌握的信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时可以根据具体情况采取不同的抽样方法，所以分层抽样在实践中有着非常广泛的应用。
高一下册数学教案全册高一下册数学教案电子版篇二教学目标：1、知识与技能目标：理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程，能从圆的标准方程熟练地写出它的圆心坐标与半径。
2、过程与方法目标：通过对圆的标准方程的推导及应用，渗透数形结合、待定系数法等数学思想方法，提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力。
无穷级数高等数学下册国家级课程教案
无穷级数——高等数学下册国家级精品课程教案第一章：无穷级数的概念与性质1.1 无穷级数的定义1.2 无穷级数的收敛性与发散性1.3 无穷级数的分类1.4 无穷级数的运算性质第二章：幂级数2.1 幂级数的定义与收敛半径2.2 幂级数的运算2.3 幂级数在函数逼近中的应用第三章：泰勒级数与泰勒公式3.1 泰勒级数的定义3.2 泰勒公式的推导与意义3.3 泰勒级数在函数逼近中的应用第四章：傅里叶级数4.1 傅里叶级数的定义与收敛性4.2 傅里叶级数的运算4.3 傅里叶级数在信号处理中的应用第五章：斯特林级数与级数的热传导问题5.1 斯特林级数的概念与性质5.2 级数的热传导问题及其求解方法5.3 斯特林级数在概率论与数学物理中的运用第六章：级数的一致收敛性与绝对收敛性6.1 一致收敛性与绝对收敛性的定义6.2 级数的一致收敛性与绝对收敛性的判定方法6.3 级数的一致收敛性与绝对收敛性的性质与应用第七章：交错级数7.1 交错级数的定义与性质7.2 交错级数的收敛性判定7.3 交错级数在数学分析中的应用第八章：多重级数8.1 多重级数的定义与性质8.2 多重级数的收敛性判定8.3 多重级数在数学分析中的应用第九章：级数逼近与数值计算9.1 级数逼近的基本概念与方法9.2 数值计算中常用的级数逼近方法9.3 级数逼近在科学计算中的应用第十章：特殊级数10.1 常用特殊级数的概念与性质10.2 特殊级数的求和方法10.3 特殊级数在数学分析中的应用第十一章：级数展开与积分11.1 级数展开的基本方法11.2 常用积分公式与级数展开11.3 级数展开在微分方程求解中的应用第十二章：级数解微分方程12.1 级数解的一阶微分方程12.2 级数解的二阶线性微分方程12.3 级数解微分方程在物理学和工程学中的应用第十三章：级数在常微分方程中的应用13.1 级数方法在常微分方程定性分析中的应用13.2 级数方法在常微分方程数值解中的应用13.3 级数方法在常微分方程几何解释中的应用第十四章：级数在偏微分方程中的应用14.1 级数方法在偏微分方程求解中的应用14.2 级数方法在偏微分方程数值解中的应用14.3 级数方法在偏微分方程稳定性分析中的应用第十五章：级数方法在其他数学领域的应用15.1 级数方法在概率论与数理统计中的应用15.2 级数方法在数值分析中的应用15.3 级数方法在其他数学分支学科中的应用重点和难点解析重点：1. 无穷级数的基本概念、性质及其分类；2. 幂级数、泰勒级数、傅里叶级数和斯特林级数的基本概念、性质与应用；3. 级数的一致收敛性与绝对收敛性的判定方法及其性质；4. 交错级数、多重级数的收敛性判定及其在数学分析中的应用；5. 级数逼近与数值计算的基本方法及其在科学计算中的应用；6. 特殊级数的概念、性质与求解方法；7. 级数展开与积分在微分方程求解中的应用；8. 级数解微分方程、常微分方程定性分析、数值解及几何解释中的应用；9. 级数方法在偏微分方程求解、数值解及稳定性分析中的应用；10. 级数方法在概率论与数理统计、数值分析及其他数学分支学科中的应用。
高等数学(下册)电子教案
第四章 常微分方程§4．1 基本概念和一阶微分方程甲 内容要点一．基本概念 1．常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。
2．微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3．微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解；通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解； 通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
4．微分方程的初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。
5．积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。
6．线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。
不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。
二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221()()()0,012≠≠y N x M2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 令u x y=， 则()u f dx du x u dx dy =+=（2）()()0,0≠≠++=b a c by ax f dxdy令u c by ax =++， 则()u bf a dxdu+= （3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy①当02211≠=∆b a b a 情形，先求出⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解()βα, 令α-=x u ，β-=y v则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv 22112211属于齐次方程情形 ②当02211==∆b a b a 情形，令λ==1212b b a a 则()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=211111c y b x a c y b x a f dx dyλ 令y b x a u 11+=， 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+=211111c u c u f b a dx dyb a dx du λ 属于变量可分离方程情形。
高等数学下册教案
高等数学下册教案教案标题：高等数学下册教案教案目标：1. 理解高等数学下册的主要内容和学习要求。
2. 设计有效的教学活动，帮助学生掌握高等数学下册的核心概念和方法。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教案步骤：第一步：引入（5分钟）引入高等数学下册的学习主题和重点，激发学生对数学的兴趣和学习动力。
第二步：知识讲解（20分钟）1. 介绍高等数学下册的主要内容和学习要求。
2. 解释高等数学下册中的核心概念和方法，包括但不限于微积分、线性代数、概率论等。
3. 提供具体的实例，帮助学生理解和应用这些概念和方法。
第三步：示范演示（15分钟）通过示范演示，展示如何运用高等数学下册的知识解决实际问题。
鼓励学生积极参与讨论和提问。
第四步：小组合作（20分钟）将学生分成小组，让他们一起解决一些高等数学下册的练习题或问题。
鼓励学生互相合作、讨论和分享解题思路。
第五步：个人练习（15分钟）让学生独立完成一些高等数学下册的练习题，巩固所学知识并提高解题能力。
第六步：总结和反思（10分钟）总结本节课的学习内容，强调重点和难点。
鼓励学生提出问题和反思学习过程。
教案评估：1. 教师观察学生在小组合作和个人练习中的表现，评估他们对高等数学下册的理解和应用能力。
2. 收集学生的练习题答案，检查他们的解题过程和答案的准确性。
3. 鼓励学生提出问题和解释自己的思考过程，评估他们的数学思维能力和解决问题的能力。
教案扩展：1. 鼓励学生参加数学竞赛或挑战，提高他们的数学水平和竞争力。
2. 组织数学讲座或研讨会，让学生了解高等数学在实际应用中的价值和意义。
3. 引导学生进行数学研究或项目，培养他们的创新思维和问题解决能力。
以上是一份高等数学下册教案的基本框架，你可以根据具体的教学需求和学生特点进行适当的调整和补充。
希望这些建议和指导对你的教案撰写有所帮助！。
大学数学下学期教案
课程名称：高等数学（下）授课对象：大学本科生授课时间：16周教学目标：1. 使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。
2. 培养学生运用高等数学解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
教学内容：1. 重积分2. 线性代数3. 常微分方程4. 傅里叶级数与傅里叶变换5. 概率论与数理统计教学安排：第一周：课程导论与重积分基本概念教学目标：- 了解高等数学下学期的课程内容和结构。
- 掌握重积分的基本概念和性质。
教学内容：- 课程导论：介绍高等数学下学期的课程目标、教学方法和考核方式。
- 重积分的概念：定义、性质、几何意义。
- 重积分的计算方法：二重积分、三重积分。
教学活动：- 课堂讲解：讲解重积分的基本概念和性质。
- 练习题：布置相关练习题，巩固所学知识。
第二周：重积分的计算方法（一）教学目标：- 掌握二重积分的计算方法。
- 理解二重积分的换元法。
教学内容：- 二重积分的计算方法：迭代法、极坐标法。
- 二重积分的换元法：极坐标变换、柱坐标变换。
教学活动：- 课堂讲解：讲解二重积分的计算方法和换元法。
- 练习题：布置相关练习题，巩固所学知识。
第三周：重积分的计算方法（二）教学目标：- 掌握三重积分的计算方法。
- 理解三重积分的换元法。
教学内容：- 三重积分的计算方法：迭代法、柱坐标法、球坐标法。
- 三重积分的换元法：柱坐标变换、球坐标变换。
教学活动：- 课堂讲解：讲解三重积分的计算方法和换元法。
- 练习题：布置相关练习题，巩固所学知识。
第四周：线性代数基本概念教学目标：- 掌握线性代数的基本概念。
- 理解矩阵、向量、线性方程组等基本概念。
教学内容：- 矩阵的概念：定义、性质、运算。
- 向量的概念：定义、性质、运算。
- 线性方程组的概念：定义、性质、解法。
教学活动：- 课堂讲解：讲解线性代数的基本概念。
- 练习题：布置相关练习题，巩固所学知识。
第五周：线性代数运算与线性方程组教学目标：- 掌握线性代数的运算方法。
2024版年度高等数学下册教案
2024/2/3
26
线性微分方程解结构
线性微分方程解的性质
叠加原理、解的独系数线性微分方程
形如$y''+py'+qy=0$的微分方程，其中$p,q$为常数，可通过特征 方程求解通解。
二阶常系数非齐次线性微分方程
形如$y''+py'+qy=f(x)$的微分方程，其中$f(x)$为已知函数，可通过 通解加特解的方式求解。
三重积分计算方法
三重积分的计算可以通过化为累次积分进行，即先 对$z$积分，再对$y$积分，最后对$x$积分。也可 以根据具体情况选择适当的坐标系（如柱面坐标、 球面坐标等）进行简化计算。
11
重积分在物理中应用
重积分在几何上的应用
利用重积分可以计算平面图形的面积、空间立体的体积以及曲面的面积等。
重积分在物理上的应用
二重积分性质
二重积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不 等式等性质。
9
二重积分计算方法
2024/2/3
利用直角坐标计算二重积分
01
将二重积分化为累次积分进行计算，即先对$y$积分，再对$x$
积分。
利用极坐标计算二重积分
02
当积分区域为圆域或环域时，利用极坐标变换可以简化计算。
利用换元法计算二重积分
理解对弧长曲线积分的定义、几何意义和基本性质，掌握计算对弧长曲线积分的方法。
对坐标曲线积分的基本概念与性质
理解对坐标曲线积分的定义、几何意义和基本性质，掌握计算对坐标曲线积分的方法。
2024/2/3
两类曲线积分之间的关系
理解两类曲线积分之间的联系和区别，能够相互转化并计算。
高等数学下册(第7章无穷级数)-教案
高等数学教学教案第7章无穷级数授课序号01++ n授课序号02授课序号03授课序号04授课序号05其中0=nb),2,1(=n，⎰=lnxlxnxfladcos)(2π),2,1,0(=n. (13)另外，若x是函数)(xf的间断点，那么)(xf的傅里叶级数收敛于2)0()0(-++xfxf.四．例题讲解例1．设)(xf是周期为π2的周期函数，它在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤-=.)(ππxxxxf，，，将)(xf展为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.例2．(脉冲矩形波) 矩形波用来表示电闸重复地断开和接通时的电流模型.设脉冲矩形波的信号函数)(xf是以π2为周期的周期函数(如图7.2所示)，它的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤--=.11)(ππxxxf，，，求此函数的傅里叶级数展开式.图7.2例3．设)(xf是周期为π2的周期函数，试将函数⎩⎨⎧<≤<≤--=,0,,0,)(ππxxxxxf展开为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.例4．将函数xxf+=1)()0(π≤≤x分别展开为正弦级数和余弦级数.例5．设)(xf是以4为周期的函数，在)2,2[-上的表达式为020,()02,xf xh x-≤<⎧=⎨≤<⎩，，其中常数0≠h. 将函数)(xf展开为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.例6．将函数]2,0[1)(∈-=xxxf，展开为以4为周期的余弦级数.1。
《高等数学(下册)》教案---第15课--多元复合函数及其求导法则
15多元复合函数及其求导法则第课课题多元复合函数及其求导法则课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标:（1）掌握复合函数的中间变量均为一元函数的求导法则（2）掌握复合函数的中间变量均为多元函数的求导法则（3）理解多元复合函数的全微分思政育人目标:通过学习多元复合函数及其求导法则, 引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神通过学习多元复合函数及其求导法则，引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点: 多元复合函数的求导法则教学难点: 多元复合函数的全微分教学难点：多元复合函数的全微分教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课: 考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min）第2节课: 知识讲解（20 min）→问题讨论（5 min）→课堂测验（15 min）→课堂小结（5 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（5 min）→课堂测验（15 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数, 记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性, 掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）【教师】讲解复合函数的中间变量均为一元函数的求导, 并通过例题介绍其应用定理1 如果函数及都在点可导, 函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数在点可导, 且有学习多元复合函数的求导法则。
边做边讲, 及时巩固练习, 实现教学做一体化第课多元复合函数及其求导法则152. （10-1）证明因为具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有d d dz zz u vu v∂∂=+∂∂．又因为及都可导, 因而可微, 即有dd dduu tt=，dd ddvv tt=，以此代入d z的表达式中得d d d dd d d dd d d dz u z v z u z vz t t tu t v t u t v t∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎝⎭，从而d d dd d dz z u z vt u t v t∂∂=⋅+⋅∂∂．推广设, 则对的导数为d d d dd d d dz z u z v z wt u t v t w t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂．（10-2）式（10-1）、式（10-2）中的称为全导数.说明: 式（10-1）、式（10-2）给出的求导法则称为链式法则, 其右端就像一段链条, 式中的各个导数（或变量）就像链节一样, 一环紧扣一环. 在具体计算时, 可以先画出变量之间的链式图, 再按照链式法则计算复合函数的导数.例1 设, 而, 求导数.解这里是函数, 是中间变量, 是自变量, 由链式法则, 有d d dd d de sin cos cos sin cos(cos sin)cost t t tz z u z v zt u t v t tv u t t e t e t t e t t t∂∂∂=⋅+⋅+∂∂∂=-+=-+=-+．⏹【学生】掌握复合函数的中间变量均为一元函数的求导⏹【教师】讲解复合函数的中间变量均为多元函数的求导定理 2 如果函数都在点具有对及的偏导数, 函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数在点的两个偏导数都存在, 且有, . （10-3）15多元复合函数及其求导法则 第 课3推广 设 , 则, . （10-4）链式法则式（10-3）、式（10-4）与前面的式（10-1）、式（10-2）相比, 因为现在有两个自变量, 所以前面的全导数 就变成了现在的偏导数 .例2 设 , 而 , 求 和 .解 本例中的变量有函数 , 中间变量 , 自变量 , 根据链式法则式（10-3）, 有e sin e cos 1u u z z u z vv y v x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂ e (sin cos )e [sin()cos()]u xy y v v y x y x y =+=+++， e sin e cos 1u u z z u z v v x v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂ e (sin cos )e [sin()cos()]u xy x v v x x y x y =+=+++．例3 求 的偏导数. 解 设 , 则 . 可得, , , , , , 于是有16ln 4v v z z u z vv u x u u x u x v x-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅∂∂∂∂∂ 224212242226(42)(3)4(3)ln(3)x y x y x x y x y x y x y +-+=+++++，12ln 2v v z z u z v v u y u u y u y v y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅∂∂∂∂∂ 224212242222(42)(3)2(3)ln(3)x y x y y x y x y x y x y +-+=+++++．⏹ 【学生】掌握复合函数的中间变量均为多元函数的求导 ⏹ 【教师】请学生思考以下问题（1）设 , 求 . 提示: .（2）设 且 , 求 ．第课多元复合函数及其求导法则154⏹提示: .注意：这里与是不同的, 是把复合函数中的看作不变而对求偏导数, 而是把中的及都看成常数而对求偏导数, 且由和两个部分组成, 与也有类似的区别.【学生】思考, 回答（例4～例7详见教材）课堂测验（10 min）⏹【教师】出几道测试题目, 测试一下大家的学习情况⏹【学生】做测试题目⏹【教师】公布题目正确答案, 并演示解题过程⏹【学生】核对自己的答题情况, 对比答题思路, 巩固答题技巧⏹【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试, 了解学生对知识点的掌握情况, 加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解（20 min）【教师】讲解多元复合函数的全微分, 并通过例题介绍其应用设具有连续偏导数, 则有全微分d d dz zz u vu v∂∂=+∂∂；当也具有连续偏导数时, 则d d d d dd d d d d dz z z u z v z u z vz x y x yx y u x v x u y v yz u u z v v z zx y x y u vu x y v x y u v⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=+=⋅+⋅+⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=+⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，由此可见, 无论是自变量的函数或是中间变量的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质称为全微分的形式不变性.例8 利用全微分的形式不变性解本节的例2. 即设, 而, 求和.解,因, ,将和代入后归并含及的项, 得学习多元复合函数的全微分。
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第四章常微分方程
§4．1 基本概念和一阶微分方程
甲内容要点
一．基本概念
1．常微分方程
含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。
2．微分方程的阶
微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶
3．微分方程的解、通解和特解
满足微分方程的函数称为微分方程的解；
通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；
通解有时也称为一般解但不一定是全部解；
不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
4．微分方程的初始条件
要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。
5．积分曲线和积分曲线族
微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。
6．线性微分方程
如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。
不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。
二．变量可分离方程及其推广
1．变量可分离的方程
（1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy
通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy
（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）
（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M
通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221 ()()()0,012≠≠y N x M
2．变量可分离方程的推广形式
（1）齐次方程⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 令
u x
y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x
dx u u f du +=+=-⎰⎰||ln （2）()()0,0≠≠++=b a c by ax f dx
dy 令u c by ax =++，
则()u bf a dx
du += ()c x dx u bf a du +==+⎰⎰
（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222
111c y b x a c y b x a f dx dy ①当02211
≠=∆b a b a 情形，先求出⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解()βα,。