力矩与力偶

FR ＝P 1 ＋P2 －p3
FR ′＝P1 ′＋P2 ′－P3 ′
M＝ F R d ＝ （ P 1 ＋ P 2 － P 3 ） d
= P1•d+P2•d－P3•d
=F 1•d1+F2•d2－F3•d3
所以 M＝ m 1 ＋ m 2 ＋ m 3
若作用在同一平面内有个力偶，则上 式可以推广为 M＝m1＋m2＋…＋mn＝Σ m 由此可得到如下结论：
所以
mA(F)=F•d =F(asinα -bcosα )
方法二： （2）根据合力矩定理计算。 将力F在C点分解为两个正交 的分力，由合力矩定理可得
mA(F)= mA(Fx)+ mA(Fy)
=－Fx•b+ Fy•a =－F(bcosα ＋asinα ) =F(asinα -bcosα )
当力臂不易确定时，用后一种 方法较为简便。
力矩与力偶
第一节
一、 力矩的概念
力对点之矩
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。例如扳手旋转螺母。
B
F d A
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O
L
力F对O点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号，以符号 mo(F) 表示，记为 :Mo(F)＝±Fd 通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。
即F1＝F2＝F3＝F4＝F 则组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶 平衡 由 Σm＝0， m－F×AC－F×d＝0 解得
m 2.5 F 8.33kN 2d 2 0.15
第四节
力的平移定理
力的平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动到刚 体上的任意一指定点，但必须同时在该力与指定点所决定 的平面内附加一力偶，其力偶矩等于原力对指定点之矩。
结论：

在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的 力偶矩的代数值相等，则这两个力偶相等。这 就是平面力偶的等效条件。 根据力偶的等效性，可得出下面两个推论： 推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对物体的效应。 推论 2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力 偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它 对物体的作用效应。
力F对O点之矩的大小，也可以用三角形OAB的面积的两 倍表示，即 Mo(F)＝±2Δ ABC 在国际单位制中，力矩的单位是牛顿 • 米（ N•m ） 或千牛顿•米（kN•m）。 由上述分析可得力矩的性质： （1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的 位置有关。力矩随矩心的位置变化而变化。 （2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线 移动而改变，再次说明力是滑移矢量。 （3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等 于零。
例 2 求图中荷载对A、B两点之矩
解： 图（a）：
(a)
(b) MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN ·m MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
一、力偶 力偶矩 在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反， 但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如 （图a）司机转动驾 驶汽车时两手作用在方 向盘上的力； （图b）工人用丝锥 攻螺纹时两手加在扳手 上的力； （图c）以及用两个 手指拧动水龙头所加的 力等等。
平面力偶系可以合成为一合力偶， 此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力 偶的力偶矩的代数和。
二、平面力偶系的平衡条件
平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力 偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则 合力偶矩必等于零。由此可得到 平面力偶系平衡的必要与充分条件： 平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。
力偶的作用效果取决于三个因素：构
成力偶的力、力偶臂的大小、力偶的转 向。
故在平面问题中用一带箭头的弧线来 表示如图所求，其中箭头表示力偶的转 向，m表示力偶矩的大小 m表示。
第三节 平面力偶系的合成与平衡
一、平面力偶系的合成
作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。
m1＝F1•d1，m2＝F2•d2， m3＝－F3•d3， P1•d=F 1•d1 ，P2•d＝F2•d2 ， －P3•d ＝－F3•d3
即m(F)＝F•d=±2ΔABC
通常规定：力偶使物体逆时针方 向转动时，力偶矩为正，反之为 负。 在国际单位制中，力矩的单位 是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米 （kN•m）。
二、力偶的性质
力和力偶是静力学中两个基本要素。力 偶与力具有不同的性质： （1）力偶不能简化为一个力，即力偶不 能用一个力等效替代。因此力偶不能与 一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。 （2）无合力，故不能与一个力等效； （3）力偶对其作在平面内任一点的矩恒 等于力偶矩，与矩心位置无关。
F F
A
刚 体
B
附加力偶
个力分解为一个力和一个力偶；反 过来，也可以将同一平面内的一个 力和一个力偶合成为一个力。
力的平移定理表明， 可以将一
应该注意，力的平移定理只适 用于刚体，而不适用于变形体，并 且只能在同一刚体上平行移动。
1．力偶：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶，用符号 ( F ,F′)表示。 两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂， 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
2．力偶矩：

作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩， 用 m 或m( F ,F′) 表示。在平面问题中，将力偶中 的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图 所示，
即Σ
m ＝0
平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。
例：如图所示，电动机轴通过联轴器与工作轴相连，联轴器上4个螺栓A、 B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径d＝150mm，电动 机轴传给联轴器的力偶矩m＝2.5 kN•m，试求每个螺栓所受的力为多少？ 解 取联轴器为研究对象，作用于联轴 器上的力有电动机传给联轴器的力偶， 每个螺栓的反力，受力图如图所示。 设4个螺栓的受力均匀.
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于 所有各分力对同一点之矩的代数和。 Mo(FR)＝ΣMo(F) 上式称为合力矩定理。合 力矩定理建立了合力对点之矩 与分力对同一点之矩的关系。 这个定理也适用于有合力的其 它力系。
例3－1
试计算力对A点之矩。
解 本题有两种解法。 方法一： 按力矩的定义计算 由图中几何关系有： d=ADsinα =(AB-DB)sinα =(AB- BCxctg)sinα =(a- bctgα )sinα =asinα -bcosα