高数第七章(13)二阶差分方程

y
x

cx qx1 2q a
iii)当q2 aq b 0但2q a 0时，取s 2得其特解为
y
x

cx qx1 4q a
(3) f ( x) cxn (c为常数)，即方程为
yx2 ayx1 byx cxn 设其具有形式为yx x s (B0 B1 x Bn xn ) 的特解(其中B0 , B1, , Bn为待定系数). i)当1 a b 0时，取s 0; ii)当1 a b 0且a 2时，取s 1;
第八节 二阶常系数线性差分方程
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
1.定义
形如yx2 ayx1 byx f ( x)
(其中a, b 0均为常数，f ( x)为已知函数)
的差分方程，称为二阶常系数线性差分方程．
f ( x) 0时称为非齐次的，否则称为齐次的． yx2 ayx1 byx 0称为相应的齐次方程．
(2) f ( x) cq x (c, q 1都是常数)，即方程为
yx2 ayx1 byx cq x
设其具有形
式
为y
x

kxsq x的特解.
i)当q2 aq b 0时, 取s 0，得其特解为
y
x

q2
cq x aq
b
ii)当q2 aq b 0但2q a 0时，取s 1得其特解为
的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x

Yx

y
x
.
(1) f ( x) c(c为常数),即方程为 yx2 ayx1 byx c
可设
其
特解
形
式为y
x

kxs .
i)当1
a

b

y
x

12x 1 2

4x
所给方程通解为yx 4x A1(2)x A2
由y0 A1 A2 ,即A1 A2 0 y1 4 2A1 A2 ,即2A1 A2 4
可得A1

4, 3
A2


4 3
故此时特解为~y x

4x

4 (2)x 3

4 3
此时有特解
yx

1 2
cx 2
例 1 求差分方程
yx2 2 yx1 yx 12的通解及y0 0, y1 0 的特解.
解 2 2 0
即( 2)( 1) 0 解得1 2,2 1
yx A1(2)x A2
1 a b 1 1 2 0,但a 1 2,
练习题答案
1.(1) yx

4x ( Acos

3
x

B sin
4
x),
yx

4x ( 1 )sin
23 3
x;
(2) yx (
2)x ( Acos x B sin x),
4
4
yx (
2 )x 2 • cos x 1
4
1 a
a2 2

4b
, 2


a

a2 4b 2
称为相应方程的特征根.
现根据a2 4b的符号来确定其通解形式.
(1)第一种情形 a2 4b时
有两个相异的实特征根1与2，此时的通解具有
如下形式：
yx A11x A22x ( A1, A2为任意常数)
(2)第二种情形 a2 4b时
iii)当1 a b 0，且a 2时，取s 2.
分别就以上情形，将设定特解代入原方程, 可确定 其特解.
例 1 求差分方程 yx2 5 yx1 4 yx x的特解．
解 1 a b 1 5 4 10 0
可
设y
x

B0

B1 x
代入方程 B0 B1( x 2) 5B0 5B1( x 1) 4B0 4B1 x x 比较两端同次项系数有
都是对应齐次方程的特解．可以证明
1 2
(
y
x
(1)

y
x
(
2
)
)及
1 2i
( yx(1)

yx(2) )
也都是特解．故可得具有以下形式的通解：
yx r x ( A1 cosx A2 sinx)
( A1 , A2是 任 意 常 数)
二、 二阶常系数非齐次线性差分方程的求解
二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性差 分 方 程 的 通 解 由 两 项
方程有两个相等的实特征根1

2


a ，此时 2
的通解具有如下形式：
yx

( A1

A2 x)(
a 2
)
x
(
A1
,
A2为 任 意 常 数)
(3)第三种情形 a2 4b时
方程有一对共轭的复特征根,
1


1 2
a

i
4b a2 i
2


1 2
a

i
4b a2 i
把它们化为三角表示式：
r 2 2 b,
tan 4b a2

a
则 r cos , r sin
1 r(cos i sin ),2 r(cos i sin ) yx(1) 1x r x (cos i sin ) yx(2) 2 x r x (cos i sin )

y
x

x( B0

B1 x)
代入方程得 :
B0 ( x 2) B1( x 2)2 3B0 ( x 1) 3B1( x 1)2
4B0 x 4B1 x2 x
可得B0


7 50
,
B1

1 10

y
x

x(
7 50

1 10
x),
又yx A1(4)x A2 ,
通解为
yx

x( 7 50

1 10
x)
A1 (4) x

A2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1、 求 下 列 差 分 方 程 的 通解 及 特 解 ． (1) yx2 4 yx1 16 yx 0, ( y0 1, y1 1) (2) yx2 2 yx1 2 yx 0, ( y0 2, y1 2)
2.解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解
等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个
特解.即
yx

yx

y
x
.
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解
设Yx x ( 0)为对应齐次方程一个解，代入得
x2 ax1 bx 0
即2 a b 0
此方程称为对应齐次方程的特征方程, 其根
10B0 7B1 0 10B1 1
B0
Fra Baidu bibliotek

7, 100
B1

1 10
则y
x


7 100

1 10
x
故通解为y x

7 100

1 10
x

A1 (1) x

A2 (4)x
例 2 求差分方程 yx2 3 yx1 4 yx 2的通解． 解 1 a b 1 3 4 0,且a 3 2

0时，取s

0，即y
x

k,代入原方程得
k c 1 a b
所 求 特 解yx

1
c a
b
ii)当1

a

b

0且a

2时, 取s

1,
即y
x

kx，
代入原方程得 k c 2a

此
时
有
特
解y
x

cx 2a
iii)当1 a b 0且a 2时，取s 2，即yx kx2，