弹性力学变分法

其中第一项根据分步积分
δ d xd yd z u x x ( xδ ) d x d y d z u δ d xd yd z u x x x l1 xδ d S u δ d xd yd z u x
x
其他类似可得
m
( p x umδ m p y vmδ m pz wmδ m ) d S A B C
m
代入 中，得到
δ( V ) 0 U
U Fb x u m d x d y d z p x u m d S Am U Fb y v m d x d y d z p y v m d S B m U Fb z w m d x d y d z p z w m d S C m
1 U 0 ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy ) 2 1 U 0 ij d ij ij ij
或 2 0 整个弹性体内的变形能为
U

ij

1 U 0dxdydz 2

第一节 第二节 第三节 第四节
变形能与最小势能原理 位移变分法 里滋方法 伽辽金方法 应力变分法
第九章 变分法
第一节 变形能与最小势能原理 设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态， 发生的真实位移为u,v,w，它们满足位移分量表示 的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示 的应力边界条件。弹性体受力后，发生变形，外 力作功，外力功转化为变形能，储存在弹性体内， 单元体内的变形能为
u δ x δ δ u x x w v δ yz δ δ δ w v y z y z
U 0 x, x U 0 yz , yz
U 0 y, y U 0 zx , zx
δU
[(l
1
x
l2 xy l3 zx )δ u (l1 xy l2 y l3 yz )δ v
x yx zx (l1 zx l2 zy l3 y )δ w] d S x y z δ u y xyx zy z xz yz y z x δ v z x y δ w d x d y d z
F
F
外力势能随位移成直线下降，弹性体势 能成抛物线上升，总势能为
1 2 U V Cu Fu 2
开始，总势能呈下降趋势，到达某一 位置，总势能为最小，过了这一点， 弹性体的势能的增加超过了外力势能 的减少，总势能又开始增加。在总势 能最小点，弹性体在该外力作用下达 到平衡。这时的位移是真实的位移。
δ 0 U
U 0 U 0 δ x ... δ yz ... x yz
xδ x ... yzδ yz
如果将变形余能用应力表示,则可以得到
U 0 ' x, x U 0 ' yz , yz U 0 ' y, y U 0 ' zx , zx U 0 ' z z U 0 ' xy , xy
第二节 位移变分法 先设定满足位移边界条件的位移分量的表达 式，其中包含若干个待定的系数，再根据最小势 能原理，决定这些系数。设位移分量的表达式
u u 0 Am u m v v 0 Bm v m w w0 C m w m
m m m
其中u0,v0,w0 为设定的函数，在边界上的值等于 边界上的已知位移；um,vm,wm为边界值等于零的 设定函数，Am，Bm，Cm为待定的系数，位移的 变分由它们的变分来实现。

总势能为
δ (U V )
[(l l
1 x
2 xy
l3 zx p x )δ u (l1 xy l2 y l3 yz p y )δ v
虚位移δu，δv，δw，各自独立,而且是完全任 意的,因此上列积分式中括号内的系数均等于零, 这样我们就得到
设外力势能为
V ( Fb x u Fb y v Fb z w) d x d y d z ( px u p y v pz w) d S ]
可写为
δU V ) 0 (
该式的意义是：在给定的外力作用下， 在满足位移边界条件的各组位移中，实际存 在的一组位移应使总势能为最小。如果考虑 二阶变分，进一步的分析证明，对于稳定平 衡状态，这个极值是极小值。因此，该式又 称为最小势能原理。 下面我们证明实际存在的一组使总势能为 最小的位移,根据他们求得的应力满足平衡方 程和应力边界条件。 现在假设位移发生了位移边界条件所 容许的微小位移（虚位移）δu，δv，δw， 应变的变分可记为：
ij ij d x d y d z
以一维应力状态为例，U0实际是 应力应变曲线下的面积（不限 σx 于线弹性） dσx U d
0

x
x
x
0
应变余能的概念
定义
U0'

ij
ij d ij
0
O
dεx
εx
为单位体积的应变余能，在一维情况下为
U0 '

x
x d x
0
应变余能没有明显的物理意义，在一维情况下， 表示应力应变曲线在应力一侧下的面积。 1 应变余能与应变能互补 x x U 0 U 0 ' 2 应变余能的积分式 中，积分变量为应力分 量 3 在线弹性时，应变 余能与应变能相等 σx dσx
O
dεx
εx
应变用应力表示，上式成为
U0 1 2 2 [( x y z2 ) 2 ( y z z x x y ) 2E 2 2 2 2(1 )( yz zx xy )
δ u w) δ δ ( u w u δ δ u x x δ udS δ d S u


根据变形能的表达式
U 0 x, x U 0 yz , yz U 0 y, y U 0 zx , zx U 0 z z U 0 xy , xy
第九章 变分法
真实的位移除了满足位移边界条件外，根 据它们求得的应力还应满足应力边界条件和平 衡微分方程。求解微分方程的边值问题，只有 在简单的情况下，才能得到解析解。多数情况 下，只能采用数值计算的方法。
基于能量原理的变分法为数值计算提供了 理论基础。其中基于最小势能原理的里滋方法 等可用于数值计算。
U 0 z z U 0 xy , xy
有 U
源自文库
x δ u ...
x
U 0 U 0 δ x ... δ yz ... d x d y d z yz x δ w δ yz z y v ... d x d y d z
变分法为数值计算提供了理论基础。 其中最小势能原理指出：在无穷多组的容 许位移中，使弹性体总势能为最小的一组 位移，就是我们要找的位移，根据它们求 得的应力还满足应力边界条件和平衡微分 方程。 变分方法从能量角度分析，提供了解 决问题的另一种思路，为数值计算奠定了 理论基础。
最小势能原理的简单例子 例如在两端固定的柔索，可以有各种形状，但 只有一种是真实的，这一种使得柔索的总势能为最 小。 再以最简单的轴向受压的杆件为例， 总势能包括外力势能和弹性体的变形势 能，这两个势能都以杆件顶部的位移为 参数，随位移增大，弹性体的应变能增 大，而外力势能减小，其变化曲线如图 所示： 1 2 U Cu 2 V Fu 其中C为杆的刚度。
应力用应变表示后，应变再用位移表示，得到变 形能的位移表达式 2
U E u v w 1 2 x y z 2(1 )
2 2 2
u v w 1 w v y y z x z 2
最小势能原理的意义
弹性体在外力的作用下， 发生位移，产生变形。位移 可以是各种各样的，但必须 满足位移的边界条件。满足 位移边界条件的位移称为容 许位移，容许位移也有无穷 多组，其中只有一组是真实 的，真实位移除了满足位移 边界条件外，根据它们求得 的应力还应满足应力边界条 件和平衡微分方程。
在无穷多组的容许位移中找到这一组， 就必须求解微分方程的边值问题，很可惜， 只有在简单的情况下，才能得到解析解。多 数情况下，只能采用数值计算的方法。
x yx zx (l1 zx l2 zy l3 y p z )δ w] d S Fb x δ u x y z y xyx zy z xz yz y z x Fb y δ v z x y Fb z δ w d x d y d z
δ umδ m u A δ v m δBm v δ wmδ m w C
m m m
应变能的变分为
δ ( U
U U U δm A δm B δ m) C Am Bm Cm
外力势能的变分为
δ ( Fb x umδ m Fb y vm δ m Fb z wmδ m ) d x d y d z V A B C
现在假设位移发生了位移边界条件所容许的微小 位移（虚位移）δu，δv，δw，这时外力在虚位移 上作虚功,虚功应和变形能泛函的增加相等：
δ U δ [
( p u p v p w) d S ]
x y z
( Fb x u Fb y v Fb z w) d x d y d z
2 2
2
1 u w 1 v u d xd yd z 2 z x 2 x y
这里 u=u(x,y,z),
v=v(x,y,z), w=w(x,y,z)
他们本身是弹性体各点的函数,U这样的 积分依赖于这些函数取得不同的数值,这样的 积分通常称为泛函.一般的函数只依赖于自变 量的值. 关于变分概念 微分是变量的增量，变分是函数的增量， 通常用δ表示，具有以下的性质：

及
px= l1σx+l2τyx +l3τzx py= l1τxy+l2σy+l3τzy
pz= l1τxz +l2τyz+l3σz
或 Pi = σij lj
而这正是平衡方程和边界条件,这样我们从 虚位移原理或最小势能原理的变分方程,就包含 了平衡方程和边界条件.如果我们给出的位移是 坐标的连续函数(自然满足形变连续方程)满足弹 性体的几何约束,并且也满足最小势能原理或虚 位移原理,则求得的应力也满足平衡方程和边界 条件,也就是说他们是弹性问题的解.
其中，Fbx,Fby,Fbz为体力分量，Px,Py,Pz.为面力 分量，三重积分包括弹性体的全部体积，二重 积分包括弹性体的全部面积（但实际仅在未给 定位移，给定面力的边界不为零）。
上式可写为
δU ( Fb x u Fb y v Fb z w) d x d y d z [ ( px u p y v pz w) d S ] 0