江苏省高等数学竞赛试题汇总

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）

一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )

lim

sin x x x x

→-=

2.2

ln(1x y x =+，/

y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.2

1x

x e dx x -=⎰ 5.4

2

1

1dx x

+∞

=-⎰

6.圆222

222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪

⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)x

z f x y y

=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz

==

8.级数1

1(1)!

2!n n

n n n ∞

=+-∑的和为 . 二.（10分）

设()f x 在[],a b 上连续，且()()b

b

a

a

b f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0a

f x dx ξ

=⎰.

三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.

四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕

AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin D

x y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥

六、（12分）求()()21x

x y e dx x y dy Γ

++++⎰，其中Γ为曲线22201

212

x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.

七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,

,3n n n a a a a a a +-====-

()2,3,

,n =记1

n n x a =，判别级数1

n n x ∞

=∑的敛散性.

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）

一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )

lim

sin x x x x

→-=

2.2arctan tan x y x e x =+，/y =

3.设由y x x y =确定()y y x =，则

dy

dx

= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21x

x e dx x

-=⎰

6.(2,)x

z f x y y

=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz

==

7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y

∂∂+=∂∂ 8.设22:2,0D x y x y +≤≥

，则D

=

二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且1

1

()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0

()0f x dx ξ

=⎰.

四.（12分）求广义积分4

2

1

1dx x

+∞

-⎰

五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕

x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.

六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

七（12分）求二重积分()22cos sin D

x y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥

2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）

一．填空题（每题5分，共40分） 1.

a

，

b

时，

2lim

arctan 2

x

ax x

x

bx x

2. a ，b 时()ln(1)

1x

f x ax bx

在0x 时关于x 的无穷小的

阶数最高。

3.

2420

sin cos x xdx

4.通过点1,1,1与直线,2,2

x t y

z

t 的平面方程为

5.设2

2

2,x z

x

y

则(2,1)

n

n

z

y =

6.设D 为,0,1y x x y 围成区域，则arctan D

ydxdy

7.设为22

2(0)x y x y

上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则()()x

x

ye x dx

e xy dy =

8.幂级数

1

n n nx 的和函数为 ，收敛域为 。

二．（8分）设数列n x 为12

2

3,33,

,33

(1,2,)n

n x x x x n

证明：数列n x 收敛，并求其极限

三．（8分）设()f x 在,a b 上具有连续的导数，求证/1max ()

()()b b a x b

a

a

f x f x dx

f x dx b a

四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b

a

02,020a b 为旋转曲面

2）求旋转曲面所围成立体的体积

五．（10分）函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，算子A 定义为 1）求(())A u

A u ；2)利用结论1）以

,y

x y x

为新的自变量改变方程

2

2

2

2

2

2

2

20u u u x

xy

y

x x y

y 的形式

六．（8分）求26

01

lim sin()t

t x

t dx

xy dy t

七．（9分）设222

:1(0)x y z z

的外侧，连续函数

求(,)f x y 八．（9分）求23(3)

()

(1)(13)

x x f x x x 的关于x 的幂级数展开式