土木工程制图第三章点,直线和平面的投影

1）过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面 上的投影。 2）点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。
二.点的两面投影
土木工程制图
点的两面投影规律： 1)点的水平投影和正面投影之间的连系线垂直于OX轴。a′a⊥OX。 2)点的水平投影到OX轴的距离等于空间点A到V面的距离aaX= Aa′。 3)点的正面投影到OX轴的距离等于空间点A到H面的距离a′aX=Aa。
B0
a YH A0
直线的投影
已知
作图
例2：已知直线AB的投影a'b'和a及 AB=35mm，B点在A点的前方，求b。
b'
土木工程制图
分析： 由点的投影规律 可知，b 必定位于b′ 正下方的H投影面上， 只要作出A、B 两点 的Y 坐标差，即可以 确定b。
x
a'
o
a
土木工程制图
实长 B0 ΔY x a'
土木工程制图
投影特性：
b a A B c C c d H d V
D
a b
空间两直线平行 则其各同面投影必相互 平行；各同名投影的长 度之比相等；各同名投 影的指向相同。
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
3.2
直线的投影
土木工程制图
一、直线的投影 1.直线投影的形成
a●
●
Z
●
a
●
b
o
b
YW
X
a● b
●
一般情况下，直线的 投影仍为直线。 两点确定一条直线，将 直线上两点的同名投影用直 线连接起来，就得到直线的 三个投影。
YH
直线的投影规定用粗实线绘制。
直线与投影面的相对位置
A● B A●
方法一
方法二
立体图
分析：由于已知点的3个坐标，可作出该点的三面投影图， 并且点的空间位置可用坐标来确定。
六、空间两点的相对位置
土木工程制图
1.相对位置的判断 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。
X坐标值大的点在左，小的在右。 Y坐标值大的点在前，小的在后。 Z坐标值大的点在上，小的在下。
2、应用总结：不同条件的四要素 1）H面投影长、Z坐标差、、实长。 2）V面投影长、Y坐标差、、实长。 3）W面投影长、X坐标差、、实长。
直线对投影面的倾角
V b′ Z B
图3.16
投影面垂直线在形体投影图和立体图中的位 土木工程制图 α、 β
b′
△Z
A0
△
长 实 AB
Y
A0
a′ X A a
四、特殊位置的点
土木工程制图
注意：A点的侧面投影a"应在OYW轴上，C点的水平投影 应在OYH轴上。
五、点的坐标
土木工程制图
已知点的3个坐标，可作出该点的三面投影，已 知点的三面投影，可以量出该点的3个坐标。
例3：已知点A(18，15，20)，作点A的三 面投影图和立体图，如下图所示。
土木工程制图
b'
o
作图过程及结果
a
ΔY b
二、 直线上的点
Z V b′ B c′ a′ X A a C O b c W c″ a″ a Y YH a′ X b c O b″ c′ b′ Z b″
土木工程制图
c″ a″ YW
点在直线上，则点的投影必在直线的同名投影上且符合点 的投影规律。直线上两线段长度之比等于它们的同名投影长度 之比，即 AC：CB=ac：cb=a′c′：c′b′=a"c"：c"b"。
投影面平行线
土木工程制图
(a) 水平线
(b) 正平线
(c) 侧平线
投影面平行线投影特性
水平线
a Xa
土木工程制图
b Z a b
YW β
实长
b α X
正平线
a Z γ
a
侧平线
a Z
b
YW
b
X a b
a β α b
实长
YW
实长
γ b Y H
b
a
YH
YH
投 影 特 性
与H面的夹角:α 与V面的夹角:β 与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。 2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
投影面平行线在形体投影图和立体图中的位置
土木工程制图
水平线
正平线
侧平线
2.投影面垂直线
土木工程制图
(1)投影面垂直线是指在空间与一个投影面垂 直， 同时与另外两个投影面平行的直线。 (2)投影面垂直线分为铅垂线、正垂线、侧垂线。 ① 铅垂线与H面垂直同时与V面、W面平行。 ② 正垂线与V面垂直同时与H面、W面平行。 ③ 侧垂线与W面垂直同时与H面、V面平行。 (3)投影面垂直线的投影特点为：在它所垂直的投 影面上的投影积聚为一点，另外两个投影垂直 于相应的投影轴，如图3.15所示。
●
土木工程制图
●
●
B
M●
B
● ●
A● b
α
●
b
a≡b≡m
a●
a
●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积聚性
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
一、各种位置直线投影
水平线（平行于Ｈ面）
土木工程制图
投影面平行线
平行于某一投影面而 正平线（平行于Ｖ面） 与其余两投影面倾斜 侧平线（平行于Ｗ面）
第3章 点、直线和平面的投影
土木工程制图
教学提示：任何形体，不论其复杂程度如 何， 都可 以看成由空间几何元素点、线、面所组成。 本章主要研究点、各种位置直线、各种位 置平面的投影规律和图示方法，为正确绘 制和阅读形体的投影图打基础。 学习要求：掌握点、直线和平面的投影规律和方法， 在学习的过程中要注意将所学内容与实际 工程结合起来，以加强空间想象能力。
BB。=Bb-bB。
x
实 实 长 长

B0 b =ab
=Zb-Za =Δ Z Za
y
在直角三角形中
B
实 长 α
ΔZ
b’
a’
B。 =ab X Za
ΔZ Zb
O
A
b’
求直线段AB的 实长和倾角α
a’ X a ΔZ B。 α b 实 长
ΔZ O
总结
1、直角三角形法的四要素：
土木工程制图
投影长、坐标差、实长和倾角
三.点在三面投影体系中的投影
土木工程制图
a
点A的正面投影 点A的水平投影 点A的侧面投影
X
Z V a●
●
a
a
A
●
a
o a●
H
W
Y
空间点用大写字母表 示，点的投影用小写 字母表示。
土木工程制图
(a) 空间状况 (b) 展开图 (c) 投影图 点的三面投影规律： (1) 投影之间连系线垂直于投影轴，aa′⊥OX，a′a"⊥OZ。 (2) 点的H面投影a到OX的距离等于点的W面投影a"到OZ轴 的距离，aaX=a"aZ。
。 A在B的左、 前、下方
例4：如图，已知点A 的三投影，另一点B在点 A 上方8 mm，左方12 mm，前方10 mm处， 求点B 的三个投影。
土木工程制图
作图步骤：
Z
b●
bx X
12
bz
b
●
a
8
az
a
by YW
ax
O ay
a
b
●
1）在a′左方12 mm ， 上方8 mm 处确定b； 2）作b′b⊥OX 轴，且在 a 前10 mm 处确定b； 3）按投影关系求得b″。
统称特殊位置直线
铅垂线（垂直于Ｈ面）
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面）
垂直于某一投影面
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
1.投影面平行线
土木工程制图
(1)投影面平行线是指在空间与一个投影面平行同 时与另外两个投影面倾斜的直线。 (2)投影面平行线分为水平线、正平线、侧平线。 ① 水平线与H面平行同时与V面、W面倾斜。 ② 正平线与V面平行同时与H面、W面倾斜。 ③ 侧平线与W面平行同时与H面、V面倾斜。 (3)投影面平行线的投影特点为：在它所平行的投 影面上的投影反应其实长并且反映与另外两个 投影面的倾角。
投影面垂直线
土木工程制图
(a) 水平线
(b) 正平线
(c) 侧平线
投影面垂直线投影特性
铅垂线
a b X a(b)
●
土木工程制图
正垂线
a
Z
c(d)
●
侧垂线
c YW X e f e f Z e(f)
●
Z d o
b
o YH YW
X
d c YH
o YH
YW
投 影 特 性
（1）在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 （2）另外两个投影, 反映线段实长，且垂直于相应 的投影轴。
投影面垂直线在形体投影图和立体图中的位置
土木工程制图
铅垂线
正垂线
侧垂线
3.一般位置直线
z
a
土木工程制图
b a
b
投影特性：
yw
x
a
百度文库
b
yH
三个投影都不反映空 间线段的实长及与三个投 影面夹角的真实大小，且 与各投影轴都倾斜。
返回
直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角
土木工程制图
z
b’
B a’ Za A a
10
ay by
YH
2.重影点
a
土木工程制图
空间两点在某一投影面上 的投影重合为一点时，则称此 两点为该投影面的重影点。
●
●
a c
c●
●
a (c )
●
被挡住的投 影加( )
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
A、C为H面的重影点
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上 标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
例1：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a● ax az
●
a
通过作45°线 使aaz=aax
a● 解法二:
a● az
●
a
用圆规直接量 取aaz=aax
ax
a●
例2：已知点的两面投影，求第三 投影，如下图所示。
土木工程制图
(a) 已知
(b) 作图
分析：因为根据点的任意两面投影可以求出第三投影。
另一判断法?
例3.8：判断点K是否在线段AB上
土木工程制图
Z b′ b′ b′ b″
k′ a′ X b k O X
k′ a′ O b k k1 a1 X
k′ a′ b k O
k″ a″ YW
a
a
a YH
三、两直线的相对位置关系
平行
分为 空间两直线 的相对位置 相交
土木工程制图
交叉
垂直 厂房形体
1.平行两直线
例7：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c● a
k
d
x
a c k
●
o
d b
思考：如果给出CD的长度， 解题过程有何变化？
先作正面投影
提示：H面投影反映实长。
[例3.10]：判断两直线AB与CD是否相交。土木工程制图
YH
2.相交两直线
V c k C b
土木工程制图
交点是两直线的共有点
B a X b H a c k d b c b k d
a
X A a
d K D d
k
c
投影特点：
若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
判断方法：
土木工程制图
若两直线的三组同面投影都 相交，且交点符合点的投影规律， 则两直线在空间相交； 两一般位置直线，任意两组 同面投影相交，且交点符合点的 投影规律，则可判断两直线在空 间相交； 两直线中其中之一平行于某 一投影面，则需作出两直线在该 投影面上的投影来判断；或者通 过定比性来判断。
d
c
c b
对于一般位 置直线，只要有 两个同面投影互 相平行，空间两 直线就平行。
d
AB//CD
例6：判断图中两条直线是否平行。
c d X c b d a a b o b Z c
土木工程制图
a
d YW
对于特殊位 置直线，只有两 个同面投影互相 平行，空间直线 不一定平行。 求出 W面投影后可知： AB与CD不平行。
a′ b
△
B0 b
O
X
△Y
O
X
Z
a Y
H
AB 实长
B0
直角三角形法求直线段的实长及倾角
图3.17 直角三角形法求直线段的实长和倾角
例1：用直角三角形法求α、β、γ
Z
b′
实长
△Z
土木工程制图
b′
b″
b′ A0 a′ O
△
Z
b″ A0 a″ YW
a′ X b a YH O
a′
a″ YW
b
Z
X b
a
AB 实长
土木工程制图
判断方法：
若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断 两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该 投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
例5：判断图中两条直线是否平行
土木工程制图
b a X a
3.1 点的投影
如右图所示，一个形体 由多个侧面围成，各侧面相 交于多条侧棱，各侧棱相交 于多个顶点A、B、C…J 等。 如果画出各点的投影，再把 各点的投影一一连接，就可 以作出一个形体的投影。 点是形体的最基本的元 素。点的投影规律是点、线、 面投影的基础。
土木工程制图
一、点的单面投影
土木工程制图
H
例3：判断点C是否在线段AB上。
土木工程制图
① a
c
b
②
a
c
●
a
c
b
a
c b
点C在直 线AB上
点C不在直 线AB上
返回
o
x
o
b
x
例4：判断点C 是否在线段AB上。
土木工程制图
a c● b X a c● b
Z
a
●
c
b YW
o
YH
因c不在a b 上，故点C不在AB上。 应用等比定理