第1讲 直线方程与距离公式(教师版)

第1讲 直线方程与距离公式

一、教学目标：

1．能根据给定条件求直线的方程； 2．掌握三个距离公式的应用；

3．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用几何性质优化解题过程； 4．在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．

二、教学重、难点

1．给定条件求直线的方程；

2．能解决与距离有关问题．(易错点、难点)

3．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用几何性质优化解题过程；．(重点) 4．掌握用代数方法处理几何问题的思想．(难点)

三、教学方法：

一学、二记、三应用。

四、知识梳理

1.直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角

①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

②范围：倾斜角的范围为． 2．直线的斜率

①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x 轴平行或重合时, , .

②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为. 3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．

4.直线的倾斜角、斜率k 之间的大小变化关系：

αα0απ≤<(90)αα≠tan k α＝l 0α=tan 00k ==11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，21

21

y y k x x --＝

α

（1）当时，越大，斜率越大；

（2）当时，越大，斜率越大.

2.直线的方程

1.直线的点斜式方程：直线经过点，

且斜率为，则直线的方程为： .这个方程就叫做直线点斜式方程.

特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程. 2.直线的两点式方程

直线过两点其中

，则直线的方程为： .这个方程叫做直线的两点式方程.

当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.

特别地，若直线过两点，则直线的方程为：

，这个方程叫做直线的截距式方程.

3.直线的一般式方程

关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.

由一般式方程可得，B 不为0时，斜率，截距. 3.两条直线平行与垂直 1．两直线的平行关系

(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有

[0,)2π

α∈0,k α>(,)2π

απ∈0,k α

21

121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--21x x =x 1x x =21y y =y 1y y =l 12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠l 1x y

a b

+=y x ,0=++C By Ax A k B =-C b B

=-12,l l 12,k k 1212//l l k k ⇔=11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=

. 2．两条直线的垂直关系

(1) 对于两条直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有

.

4.距离问题

1．两点间的距离公式

设两点，则. 2．点到直线的距离公式

设点，直线，则点到直线

的距离

.

3．两平行线间的距离公式

设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离

.

5.相交问题

1.两条直线相交：对于两条直线，若

，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.

2.两条直线，联立方程组

， 若方程组有无数组解，则重合．

1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=111222

(,),(,)P x y P x

y 12PP =000(,)P x y :0l Ax By C ++=000(,)P x y :0l Ax By C ++

=d =

1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++

=d =

11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=12210A B A B -≠1112220

0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨

++=⎩11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1112

220

0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨

++=⎩12,l l

6.对称问题

1.中点坐标公式 2．两条直线的垂直关系

(1) 对于两条直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有

.

五、课前自测： 分数：

(1) 经过两点A (4,2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y ＝( ) A.－1 B.－3 C.0 D.2 【答案】

(2) 已知直线方程为则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C

(3) 若直线：

经过点，则直线在轴和轴的截距之和的最小值是 ． 【答案】．

12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=34

π

B ,3300sin 300cos =+y x

60 30060或 30 33030

或l 1(0,0)x y

a b a b

+=>>(1,2)l x

y 3+