结构力学课件3-4 静定平面刚架

FY 0, FNBA 20kN
作AB杆段 M 图时，看作是受横向荷
40
载和B端外力偶作用的简支梁(图C)。
画M图时，将 B 端弯矩竖标画在受拉 80 A
侧，连以虚直线，再叠加上横向荷载产生
20
的简支梁的弯矩图，如图(d)示。
(b)
A
A
(c)
(d)
B 160
D
160
120
20 60
120
20
A M图 (kN·m）
B 1.385kN
3
FS 0
FNDC (4.5sin
4.5kN
1.385 cos )
FQ 图 (kN)
(4.5 1 10
1.5kN
1.385
3 10
)
8.655 10 2.737kN (压)
结点E： FS 0
FNEC (1.5sin 1.385 cos )
(1.5 1 1.385 3 )
MC 0
FxC C FyC
6.5FxB 1.5 6 0 FxB 1.385kN ()
考虑整体平衡:
Fx 0 FxA 1.385kN()
E
B
FxB
1.385kN
6m
FyB 1.5kN
4.5m 2m
E
B
FxB
1.385kN
6m
FyB 1.5kN
4.5m 2m
(2) 作M 图
M DA 1.385 4.5 6.23 kN m
内力图。求出杆端内力，根据相关性质，直接作图。 3、内力图的校核是必要的，通常选取结点或者结构的一步分，
验算其是否满足平衡条件。
§3-5 组合结构
钢筋混凝土
钢筋混凝土
型钢
ＤＥ Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ Ｅ
型钢
组合结构的特点
组合结构是由只承受轴力的二力杆件（链杆）和承受弯矩、剪力、轴力的 梁式杆件组成的结构。
组合结构的内力计算方法 计算方法：组合结构的计算方法仍然采用截面法。 一般先求支座反力和各链杆的轴力，然后在计算梁式杆的内力。 关键在于正确区分以下两类杆件： 1、 二力杆（链杆）：两端铰接且无横向荷载作用的直杆。 2、 梁式杆：承受横向荷载的直杆，或虽无横向荷载，但杆端是刚结点的
D
(1.5
1
1.385
3
4.5
)
10 2.655 10
10
A
1.385kN
1.79
E 1.5
B 1.385kN
0.839kN (压)
4.5kN
FN 图 (kN)
1.5kN
静定梁与静定刚架受力分析及内力图的绘制，作法归纳如下： 1、首先求解约束力和支座反力。 2、作内力图时，可利用内力图与荷载之间的关系来快速绘制
FX 0 FAX 80kN ()
二、绘制内力图
⑴ 分段：根据荷载不连续点、结点；
FDy
FAx
A
2m 2m
FAy
(a)
⑵ 定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状；
⑶ 求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值；
⑷ 画图：画 M 图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直线，再叠加上横
向荷载产生的简支梁的弯矩图。F Q、F N 图要标＋、－号；竖标大致成比例。
1 kN/m
24.23 3.83kN 40
6.23
1
MD 0 FQCD
(1 6 3 6.23) 40
11.77 1.86kN 40
40 D
FQDC 6m
6.23 E
B 1.385kN
1.5kN
C FQCD
4.5m 2m
FQDC 3.83kN
剪力图见右下图： 对于EC杆：
FQCD 1.86kN
§3-4 静定平面刚架
1、刚架的特点与分类
刚架是由若干根直杆（梁和柱）用刚结点（部分可为铰结点）所组成的 结构。当组成刚架的各杆的轴线和外力都在同一平面时，称作平面刚架。
如图a所示为一平面刚架
B
C
B
C
B
C
A
D
A
D
A
D
(a)
(b)
(c)
刚架的特点：
⑴ 杆件少，内部空间大，便于利用；
⑵ 刚结点处各杆不能发生相对转动，因而各杆件的夹角始终保持不变；
MK 0
4FyG 4 2 (4 8) 4 0
A 2m
2m
G
2m
4m
FyG
4 kN/m
K
FxK FyK
C
2kN
B
D FxD = 1kN Fy = 8kN
D
2m
FyG 30kN()
Fy 0 FyK 32 30 2kN() FxA
A 2m
3、刚架的内力图
刚架中的杆件多为梁式杆，杆件截面中同时存在弯矩、剪力和轴力。计算 的方法与梁相同。只需将刚架的每一根杆件看作是梁，逐杆采用截面法计算 控制截面的内力。
1.744kN
FNFA
FNAF
(1 3) sin
15.16
3
0.25 3.01
15.16 0.249 14.91kN (压)
4) 结构内力如下图示。
A
F
C
-3.5kN
G
B
15.4kN
15kN
6kN
6kN
0.75 C
A
F 0.75
0.75
M图（kN∙m）
1.744
1.246
C
A
F
1.246
直杆。 相应地，组合结构的结点也有两种类型：一种为仅连接二力杆的铰结点，
这类结点仍可采用桁架结构的内力计算方法；另一种为连接二力杆与梁式杆 的组合结点，在计算时需具体问题具体分析。
由于梁式杆的截面上一般有三个内力，为了不使隔离体上的未知力过多， 应尽可能避免截断梁式杆。
例1 作图示组合结构内力图。
A
(a)
l /2
FyA
M A 0,
FyB
l
(
ql 2
l 4
)
0
FyB
ql 8
()
Fy 0,
FyA
ql 8
()
C
由CB部分平衡 (图b) 示：
B
FxB
l /2
FyB
l /2
MC
0,
FxB
l 2
( ql 8
l) 2
0
由整体平衡：
Fx 0,
FxA
3 8
ql()
FxB
ql 8
()
(b)
B ql/8
10
10
5.655 10 1.788kN (压)
s
FNEC
10 1
3
E
1.385 1.5
FNCE 1.788kN (压)
杆DC：
1 kN/m
FNCD s
FNDC 2.737kN (压) 轴力图见下图：
C
D
1.385 4.5
FQCD
0.84 2.74
C
FNCD (1.5sin 1.385cos )
3m
0.75kNm FNFA
F 0.25m
FQFA
FQAF
2.5 cos
15 sin
2.5 3 15 0.25
3.01
3.01
1.246kN
FNAF
2.5 sin
15 cos
2.5 0.25 15 3
3.01
3.01
15.16kN (压)
MA 0
1
FQFA
(0.75 131.5) 3.01
⑶ 刚结点处可以承受和传递弯矩，因而在刚架中弯矩是主要内力;
⑷ 刚架中的各杆通常情况下为直杆，制作加工较方便。
根据结构组成特点，静定平面刚架可分为： ⑴ 悬臂刚架：常用于火车站站台（图a）、雨棚等； ⑵ 简支刚架：常用于起重机的刚支架等（图b）； ⑶ 三铰刚架：常用于小型厂房、仓库、食堂等结构（图c）。
结点D： Fx 0
0.7 FxDA 15kN , FyDA 3 15 3.5kN
FNDA
3.0806 3
15
15.4kN (拉)
Fy 0
FNDF FyDA 0 FNDF FyDA 3.5kN (压)
3） 求梁式杆的内力M、FQ、FN 。
1kN/m
取FC段作隔离体：
求MF
MF 0
14.95kN (压)
MC 0,
FQFC
1 (0.75 131.5) 3.01
1.744kN
FNFC
FNCF
1 3 sin
14.95 3
0.25 3.01
15.20kN (压)
取AF段作隔离体：
2.5
15 A 2.5
FNAF FQAF
15
3.01
3
FNAF
A FQAF
0.25
1kN/m
l /2
ql/8
注意：三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键所在。
4 kN/m
图示刚架ACD为附
C
D
E
H
2m
属部分，其余为基 本部分。
2kN
B
2kN
F
2m
考虑附属部分ACD：
MD 0
FxA
4FxA 2 2 (4 2) 1 0
FxA 3kN ()
考虑刚架整体平衡：
Fx 0 FxK 1kN()
(a)
(b)
(c)
刚架结构在土木工程中应用较广。但静定的刚架在工程中应用不多，多 为超静定刚架，如房屋建筑结构中的框架结构。解算超静定刚架的内力是建 立在静定刚架内力计算基础之上的，所以，必须熟练掌握静定刚架的内力计 算方法。
2、刚架的支座反力
静定平面刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截面的 内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。
斜杆DC中点弯矩为：
M中
1 62 8
6.23 2
1kN/m C
6.23 D 1.385
1.385kN.m(下拉)
(3) 作F Q 图
A 1.385kN
斜杆可用力矩方程求剪力，竖
杆、水平杆用投影方程求剪力。
4.5kN
6m
6m
M 图(kN.m)
对于DC杆：
MC 0 FQDC
1 (1 63 6.23) 40
解：结构对称荷载对称。
1）求支座反力：
A
1kN/m I F
C
2）求FNDE ：取截面
D
I
3m
3m
3m
I－I 以左为隔离体。 6kN
G
E 3m
0.5m B
0.7m
6kN
MC 0
FNDA
1.2FNDE 6 6 (1 6) 3 0
FNDF D 15kN
0.7 3.0806 3
FNDE (6 6 1 6 3) /1.2 15kN (拉)
M F 131.5 15 0.25
MF F
FNFC
FQFC 3m
FNCF
C FQCF 0.25m
4.5 3.75 0.75kNm(上拉)
求FC杆的剪力和轴力：
FQCF
15 sin
15 0.25 3.01
1.246kN
FNCF
ห้องสมุดไป่ตู้
FQCFC
15
3.01 0.25
3
FNCF
15 cos
15 3 3.01
C
FQCE
ME 0
FQCE
6.23 40
0.985kN
40
6.23
E
FQEC 6m
FQEC 0.985kN
1.86
竖杆AD、BE的剪力用投影方程很容易求得。
0.99
(4) 作FN 图
C
各杆均用投影方程求轴力。
D
E
结点D： FNDC
s
1.39
1.39
Dα
1.385
4.5
10
1
1.385kN
A 3.83
计算时应注意： (1)内力正负号的相关规定。在刚架中，剪力与轴力都规定正负号（与梁 的有关规定相同），但弯矩则不规定正负号，只规定弯矩图的纵坐标画在杆 件受拉纤维一侧。剪力图和轴力图可画在杆件的任一侧，但应注明正负。 (2)结点处有不同的杆端截面。内力符号表示要用两个下标如MAB、FQAB、 FNAB ，第一个下标表示内力所在截面位置，第二个下标表示截面所在杆的另 一端。 (3)正确选取隔离体。每个截面有三个未知力，其中未知力 FQ、FN 按正 方向画出，而未知力 M 按任意指定方向画出。 (4)结点处平衡。
例1：试计算图 (a) 所示简支刚架的支座反力，并绘制Ｍ、F Q 和 F N 图。
一、求支座反力
40 kN
在支座反力的计算过程中，应尽可能建立 独立方程。
B
D
C
20 kN/m
4m
MA 0 FY 0
FDY 4 40 2 (20 4) 2 0 FDY 60kN () FAY 40 60 0 FAY 20kN ()
80 F Q 图（kN)
F N 图（kN)
例2: 作图示三铰刚架内力图。 解：(1) 支座反力
1kN/m C
考虑整体平衡:
D
MB 0
12FyA (1 6) 9 0 FyA 4.5kN()
Fy 0
FxA
A
1.385kN
6m
FyA 4.5kN
FyB 6 4.5 1.5kN ()
由BEC部分平衡：
求出各控制截面的内力值求杆端力并画杆单元弯矩图。例如AB杆：
MB 0
M BA (20 4) 2 80 4 0 M BA 160kN m
FNBA
MBA
FQBA
B
FX 0 FQBA 204 80 0, FQBA 0
160 kN·m B
B 160
20 kN/m 4m
20 kN/m 4m
悬臂刚架、简支刚架的支反力可利用平衡方程直接求出。
以下以三铰刚架为例，来分析刚架支座反力的求法。
三铰刚架的支座反力的求法主要是充分利用平衡条件来进行计算，分析时 经常采用先整体后拆开的方法。
三铰刚架有四个支座反力，
C
可利用三个整体平衡条件和中间
q
l /2
铰结点C 处弯矩等于零的局部平
衡条件，共四个平衡方程就可以 FxA 求出这四个支座反力。
1.744
FQ图（kN）
F
A
14.91
C 14.95
15.2 15.16
FN 图（kN）