函数的凸性与曲线的拐点
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当x 0时， y 0, 曲线 在(,0]为上凸的；
当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为下凸的；
注意到: 点0, 0是曲线由上凸变下凸的分界点.
2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x)在x0 , x0 内存在二阶导 数,则点x0, f x0 是拐点的必要条件是 f x0 0
为曲线y f x的拐点;
2若在点x0的两侧附近f x保持同号,则点 x0, f x0
不是曲线y f x的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x)的拐点.
例2 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
,
1 5
是函数的上凸区间,
-
1 5
,0
与0,
是函数的下凸区间.
A
1 5
,
6 5
3
1 25
是曲线的拐点;
o 0, 0 不是y曲线的拐点. 如下图所示
拐点
1 5
2 5
o
x
§2-11 函 数 作 图
一、渐近线
定义: 当曲线 y f ( x) 上的一动点 P 沿着曲线 移向无穷远点时 , 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零 , 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x) 的 一条渐近线 .
在不等式中若令
t1
t2
1，则分别有 2
f
x1
2
x2
f x1
2
f x2 与
下凸
f
x1
2
x2
f x1
2
f x2 . 上凸
有时也用这两个不等式来定义
函数上凸、下Hale Waihona Puke Baidu.
上凸
定理 设f x C a,b且为下凸函数,若对x1, x2，L ,
n
xn a,b , t1, t2 ,L tn 0,且 ti 1,有
例4 求曲线 y sin x cos x 在[0,2 ]内的拐点.
解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
y cos x sin x .
令 y 0,
得
x1
3 4
,
x2
7 4
.
f (3) 2 0, f (7) 2 0,
4
4
在[0,2]内曲线有拐点为 (3 ,0), (7 ,0).
1
x
2 3
,
3
y
4
5
x3
,
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是下凸的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是上凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
综上所述可归纳出求曲线 拐点的步骤：
1求出函数f x的二阶导数f x; 2求解f x 0的根; 3求出f x不存在的点; 4 将 2 和 3 中求出的点分别讨论它们
注 f x0 0只是 x0, f x0 为f x的拐点的
必要条件而不是充分条件.
例 y x4有y0 0,但0, y0 0,0却不是曲线的拐点.
定理3 (拐点的充分条件)
设 f x在a,b内二阶可导，x0 a,b，f x0 0.
1若在点x0的两侧附近f x异号,则点 x0, f x0
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数)
x
x
那么 y b 就是 y f ( x) 的一条水平渐近线.
例如 y arctan x, 有水平渐近线两条: y ,
2
y . 2
3.斜渐近线
如果 lim [ f ( x) (ax b)] 0 x 或 lim [ f ( x) (ax b)] 0 (a,b 为常数) x
2 3
f ( x)
0
0
(23 ,)
f ( x) 下凸
拐点 (0,1)
上凸
拐点 (2 3 ,1127)
下凸
(,0]下凸, [0, 2 3]上凸, [2 3 , )下凸.
设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0 ,那末 ( x0, f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x) 的拐点.
1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) 或 lim f ( x)
x x0
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x) 的一条铅直渐近线.
例如 y
1
,
( x 2)(x 3)
有铅直渐近线两条: x 2,
x 3.
2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
左右两侧附近f x 的符号, 如果f x 的符号相异
则 x0, f x0 是拐点,否则不是拐点.
例3 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及上下凸区间.
解 D (,)
y 12x3 12x2, y 36x( x 2).
3
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
i 1
n
f
n ti xi
ti f xi
i1
i1
琴生不等式
其中x1, x2,L , xn不全相等。
特别地，当t1 t2 L
tn
1 时，有 n
f
x1
x2 L n
xn
f x1 L
n
f xn
例1 判断函数 y x3 的凸性. 解 y 3x2, y 6x,
4
4
例5 求函数y x 1 3 x2的上下凸区间及拐点.
解 函数的定义域为（-∞，+∞）.
y 5x 2 , 33 x
y 25x 1 .
93 x4
令y 0得x 1 .当x 0时y0不存在.
5
x
,
1 5
1 5
1 5
,
0
0 0,
y
-
0
+ 不存在 +
y
上凸 拐点 下凸 非拐点 下凸
定义 设f x C a,b,若对x1, x2 a,b
x1 x2 , t1, t2 0,且t1 t2 1,有 若 f t1x1 t2 x2 t1 f x1 t2 f x2 ,
则称f x在a,b内为下凸;
凸
若 f t1x1 t2 x2 t1 f x1 t2 f x2 , 则称f x在a,b内为上凸.
§2.10 函数的凸性与曲线的拐点 一、函数凸性的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
定义： 设f(x)在区间[a,b]上连续，若曲线 y=f(x)上的任意 两点间的弧段,总是位于连接这两点的弦之下,则称 函数 f(x)在(a,b)内为下凸；若曲线 y=f(x)上任意两 点间的弧段，总位于连接这两点的弦之上，则称 函数 f(x)在(a,b)内为上凸; 函数下凸或上凸的性质 统称为函数的凸性.
当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为下凸的；
注意到: 点0, 0是曲线由上凸变下凸的分界点.
2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x)在x0 , x0 内存在二阶导 数,则点x0, f x0 是拐点的必要条件是 f x0 0
为曲线y f x的拐点;
2若在点x0的两侧附近f x保持同号,则点 x0, f x0
不是曲线y f x的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x)的拐点.
例2 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
,
1 5
是函数的上凸区间,
-
1 5
,0
与0,
是函数的下凸区间.
A
1 5
,
6 5
3
1 25
是曲线的拐点;
o 0, 0 不是y曲线的拐点. 如下图所示
拐点
1 5
2 5
o
x
§2-11 函 数 作 图
一、渐近线
定义: 当曲线 y f ( x) 上的一动点 P 沿着曲线 移向无穷远点时 , 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零 , 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x) 的 一条渐近线 .
在不等式中若令
t1
t2
1，则分别有 2
f
x1
2
x2
f x1
2
f x2 与
下凸
f
x1
2
x2
f x1
2
f x2 . 上凸
有时也用这两个不等式来定义
函数上凸、下Hale Waihona Puke Baidu.
上凸
定理 设f x C a,b且为下凸函数,若对x1, x2，L ,
n
xn a,b , t1, t2 ,L tn 0,且 ti 1,有
例4 求曲线 y sin x cos x 在[0,2 ]内的拐点.
解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
y cos x sin x .
令 y 0,
得
x1
3 4
,
x2
7 4
.
f (3) 2 0, f (7) 2 0,
4
4
在[0,2]内曲线有拐点为 (3 ,0), (7 ,0).
1
x
2 3
,
3
y
4
5
x3
,
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是下凸的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是上凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
综上所述可归纳出求曲线 拐点的步骤：
1求出函数f x的二阶导数f x; 2求解f x 0的根; 3求出f x不存在的点; 4 将 2 和 3 中求出的点分别讨论它们
注 f x0 0只是 x0, f x0 为f x的拐点的
必要条件而不是充分条件.
例 y x4有y0 0,但0, y0 0,0却不是曲线的拐点.
定理3 (拐点的充分条件)
设 f x在a,b内二阶可导，x0 a,b，f x0 0.
1若在点x0的两侧附近f x异号,则点 x0, f x0
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数)
x
x
那么 y b 就是 y f ( x) 的一条水平渐近线.
例如 y arctan x, 有水平渐近线两条: y ,
2
y . 2
3.斜渐近线
如果 lim [ f ( x) (ax b)] 0 x 或 lim [ f ( x) (ax b)] 0 (a,b 为常数) x
2 3
f ( x)
0
0
(23 ,)
f ( x) 下凸
拐点 (0,1)
上凸
拐点 (2 3 ,1127)
下凸
(,0]下凸, [0, 2 3]上凸, [2 3 , )下凸.
设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0 ,那末 ( x0, f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x) 的拐点.
1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) 或 lim f ( x)
x x0
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x) 的一条铅直渐近线.
例如 y
1
,
( x 2)(x 3)
有铅直渐近线两条: x 2,
x 3.
2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
左右两侧附近f x 的符号, 如果f x 的符号相异
则 x0, f x0 是拐点,否则不是拐点.
例3 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及上下凸区间.
解 D (,)
y 12x3 12x2, y 36x( x 2).
3
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
i 1
n
f
n ti xi
ti f xi
i1
i1
琴生不等式
其中x1, x2,L , xn不全相等。
特别地，当t1 t2 L
tn
1 时，有 n
f
x1
x2 L n
xn
f x1 L
n
f xn
例1 判断函数 y x3 的凸性. 解 y 3x2, y 6x,
4
4
例5 求函数y x 1 3 x2的上下凸区间及拐点.
解 函数的定义域为（-∞，+∞）.
y 5x 2 , 33 x
y 25x 1 .
93 x4
令y 0得x 1 .当x 0时y0不存在.
5
x
,
1 5
1 5
1 5
,
0
0 0,
y
-
0
+ 不存在 +
y
上凸 拐点 下凸 非拐点 下凸
定义 设f x C a,b,若对x1, x2 a,b
x1 x2 , t1, t2 0,且t1 t2 1,有 若 f t1x1 t2 x2 t1 f x1 t2 f x2 ,
则称f x在a,b内为下凸;
凸
若 f t1x1 t2 x2 t1 f x1 t2 f x2 , 则称f x在a,b内为上凸.
§2.10 函数的凸性与曲线的拐点 一、函数凸性的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
定义： 设f(x)在区间[a,b]上连续，若曲线 y=f(x)上的任意 两点间的弧段,总是位于连接这两点的弦之下,则称 函数 f(x)在(a,b)内为下凸；若曲线 y=f(x)上任意两 点间的弧段，总位于连接这两点的弦之上，则称 函数 f(x)在(a,b)内为上凸; 函数下凸或上凸的性质 统称为函数的凸性.