角的概念的推广课件(PPT34页).pptx
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(3) β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’．
4“终边在坐标轴上的角”Kx3600表示转整圈的倍数
正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β= －150°
2100
-1500
B 12
90
9O 6
3A 12
9
3
540
6
特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角，并把这个角 叫做零度角（0º）．
角的记法：角α或可以简记成∠α
或简记成α .
Kx3600表示转半圈的倍数
•
终边落在坐标轴上的情形
900
1
Kx3600表示转
+Kx3600
4
圈的倍数
y
1800 +Kx3600
x 00 +Kx3600
o 或3600＋KX3600
2700 +Kx3600
即：任何一个与角终边相同的角，都可 以表示成角与整数个周角的和
注意以下四点：
① k∈Z；k的两层含义：
(1)特殊性：对 k每赋一个值就有一个具 体角
（2）一般性：表示了所有与终边相同的角
ห้องสมุดไป่ตู้② 是任意角； ③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应 看成k·360º+(－30º)； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终
1．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，
绕着它的端点O按逆时针方向
旋转到另一位置OB，就形成角B
α．
旋转开始时的射线OA叫做
角α的始边，旋转终止的射线
O
A
OB叫做角α的终边，射线的端
点O叫做角α的顶点．
12
快了
正角
9
3
负角
6
慢了
⑵．“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了
① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660.
② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）
3周（360×3=1080） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
角的概念推广以后，它包括任意大小的正 角、负角和零角．
（1） 70° （2） 210 ° （3） -60°
70°
Y 第一象 限角哦！
210 °
Y
第三象 限角哦！
O
O
X
X
第四象
Y
限角哦！
-60°
X O
画出30，390，330角，观察它们的终边 有什么特点.
y -3300
3900 o
300 x
300
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360º， 角度的绝对值可大于360º.于是就会出现 720º， － 540º等角度.
射线OA绕端点O旋转900到射线OB,接 着再旋转-300到OC求角AOC.
B
C
-300 900
600
O
A
AOC = AOB + BOC = 900 + (-300) = 600
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，
角的概念扩展
角的概念
初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理
解，但它是从图形形状来定义角，因此角的 范围是[0º, 360º)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于 “狭隘”.
生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体720º，跳水运动员向内、 向外转体1080º； 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多 少度？ 这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而且 方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(1) S={β| β=k·360º+60º(k∈Z) }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
(2) S={β| β=k·360º－21º(k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º．
-3300=300-3600 =300 -1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600
300+3x3600 ,
…,
300－3x3600
…,
与300终边相同的角的一般形式为300＋K·3600，K ∈ Z
3．终边相同的角
所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z)
各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
2．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合 于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几 象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的 终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象 限）
例、作出下列各角并判断它们分 别是第几象限的角：
边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们
相差360º的整数倍.
例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
解：⑴∵－120º=－360º+240º， ∴240º的角与－120º的角终边相同， 它是第三象限角．
⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同， 它是第四象限角．
⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同， 它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º~720º间的角写出来：
4“终边在坐标轴上的角”Kx3600表示转整圈的倍数
正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β= －150°
2100
-1500
B 12
90
9O 6
3A 12
9
3
540
6
特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角，并把这个角 叫做零度角（0º）．
角的记法：角α或可以简记成∠α
或简记成α .
Kx3600表示转半圈的倍数
•
终边落在坐标轴上的情形
900
1
Kx3600表示转
+Kx3600
4
圈的倍数
y
1800 +Kx3600
x 00 +Kx3600
o 或3600＋KX3600
2700 +Kx3600
即：任何一个与角终边相同的角，都可 以表示成角与整数个周角的和
注意以下四点：
① k∈Z；k的两层含义：
(1)特殊性：对 k每赋一个值就有一个具 体角
（2）一般性：表示了所有与终边相同的角
ห้องสมุดไป่ตู้② 是任意角； ③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应 看成k·360º+(－30º)； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终
1．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，
绕着它的端点O按逆时针方向
旋转到另一位置OB，就形成角B
α．
旋转开始时的射线OA叫做
角α的始边，旋转终止的射线
O
A
OB叫做角α的终边，射线的端
点O叫做角α的顶点．
12
快了
正角
9
3
负角
6
慢了
⑵．“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了
① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660.
② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）
3周（360×3=1080） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
角的概念推广以后，它包括任意大小的正 角、负角和零角．
（1） 70° （2） 210 ° （3） -60°
70°
Y 第一象 限角哦！
210 °
Y
第三象 限角哦！
O
O
X
X
第四象
Y
限角哦！
-60°
X O
画出30，390，330角，观察它们的终边 有什么特点.
y -3300
3900 o
300 x
300
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360º， 角度的绝对值可大于360º.于是就会出现 720º， － 540º等角度.
射线OA绕端点O旋转900到射线OB,接 着再旋转-300到OC求角AOC.
B
C
-300 900
600
O
A
AOC = AOB + BOC = 900 + (-300) = 600
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，
角的概念扩展
角的概念
初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理
解，但它是从图形形状来定义角，因此角的 范围是[0º, 360º)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于 “狭隘”.
生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体720º，跳水运动员向内、 向外转体1080º； 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多 少度？ 这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而且 方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(1) S={β| β=k·360º+60º(k∈Z) }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
(2) S={β| β=k·360º－21º(k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º．
-3300=300-3600 =300 -1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600
300+3x3600 ,
…,
300－3x3600
…,
与300终边相同的角的一般形式为300＋K·3600，K ∈ Z
3．终边相同的角
所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z)
各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
2．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合 于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几 象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的 终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象 限）
例、作出下列各角并判断它们分 别是第几象限的角：
边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们
相差360º的整数倍.
例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
解：⑴∵－120º=－360º+240º， ∴240º的角与－120º的角终边相同， 它是第三象限角．
⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同， 它是第四象限角．
⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同， 它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º~720º间的角写出来：