直线的参数方程(一)ppt课件

M
r e
x
探究思考
我们是否可以根据t的值来确定向量
uuuuuur M0M
的方向呢?
r 我们知道e是直线l的单位方向向量，那
么它的方向应该是向上还是向下的？还
是有时向上有时向下呢？
探究思考
Q 是直线的倾斜角，当0<<时,sin 0
ur
ur
又Q sin表示e的纵坐标，e的纵坐标都大于
ur
ur
0那么e的终点就会都在第一，二象限，e的方
课堂练习
（1）直线
x y
3 t sin 20（0 t为参数）的倾斜角是（ t cos 200
B）
A.200 B.700 C.1100 D.1600
（2）直线x y 1 0的一个参数方程是
x y
1
2 2
2 2
t
t （t为参数
）
。
探究思考
uuuuuur r 由M0M te,你能得到直线l的参数方
程中参数uuut的uuur几何r意义吗uu？uuuur r
解: Q M0M te M0M te
r
r
y
又Q e是单位向量， e 1
uuuuuur r
M0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
M0M t e t
所以,直线参数方程中参数t的
绝对值等于直线上动点M 到定
O
点M0的距离.|t|=|M0M|（这就
是t的几何意义,要牢记）
讲授新课
(1)如何利用倾斜角写出直线l的单位
r 方向向量e？
r
(1) e (cos ,sin )
r
(2)如何用e和M
的坐标表示直线上任意
0
一点M的坐标？
讲授新课
uuuuuur
(2) M0M (x, y) (x0, y0) (x x0, y y0)
uuuuuur r
因为uuuMuuu0rM
解法2（1）如何写出直线l的参数方程？
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
（3） AB 、MA MB 与t1，t2有什么关系？
探究思考
直线与曲线y
f
(
x)交于M1
,
M
两点，对应的参数
2
分别为t1, t2.
(1)曲线的弦M1M
的长是多少？
2
（2）线段M1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少？
/ /e,所以存在实数t R, r
y
使M0M te,即
M(x,y) r e
(x x0, y y0) t(cos,sin)
所以：x x0 t cos, y y0 t sin
M0(x0,y0)
即，x x0 t cos, y y0 t sin (cos,sin)
所以，该直线的参数方程为
向就总会向上。
此时,若t 若t<0,则
Mu>u0u0u,M则uur的Mu点uu0uM方uur 向的向方下向;向上;
若t=0,则M与点M0重合.
新知应用
例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
两点的距离之积。
分析:
1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
记直线与抛物线的交点坐标A( 1 5 , 3 5 )，B( 1 5 , 3 5 )
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
新知应用
例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于 A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
直线的参数方程(一)
1
新课引入
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0 ) 两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
一般式: Ax By C 0
k y2 y1 tan
x2 x1
y kx b
x y 1 ab
新课引入
思考1.在平面直角坐标系中，确定一条 直线的几何条件是什么？ 思考2.根据直线的几何条件，你认为用 哪个几何条件来建立参数方程比较好？ 一个定点和倾斜角可唯一确定一条直线
O
x
x y
x0 y0
t t
cos（t为参数） sin
讲授新课
一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，则它的参数方程为
x y
x0 y0
t t
cos sin
（t为参数）
思考：（1）直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？ （2）参数t的取值范围是什么？ （3）该参数方程形式上有什么特点？
(1) M1M 2 t1 t2 (2)t t1 t2
2
巩固练习
1.一条直线的参数方程是
x
1
1 2
t
(t为参数），
y
5
3t 2
另一条直线的方程是x-y-2 3 0,则两直线的交点
与点（1，-5）间的距离是 4 3
课堂小结
1.直线参数方程
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
y
A
M(-1,2)
B
O
x
新知应用
例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于A,B两点，求线段AB的长度
和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。
解法1：由
x y 1 y x2
0
得：x2 x 1 0
(*)
由韦达定理得：x1 x2 1，x1 x2 1
AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 2 5 10
注：直线的参数方程形式不是唯一的
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义, 简化求直线上两点间的距离.
x y
x0 y0
at bt
(t为参数）
|t|=|M0M|
注：当a2 b2 1时，t才具有此几何意义
其它情况不能用。
课外作业
P.42-3,4,5.
y y0 tan(x x0 ) （1）
思考3.根据直线的这个几何条件，你认 为应当怎样选择参数？
讲授新课
r 设e是与直线 l 平行且方向向上（l 的倾斜 角不为0）或向右（l 的倾斜角为0）的单位方 向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同）
设直线l的倾斜角为，定点M 0、动点M
的坐标分别为(x0, y0 )、(x, y)