第5讲 数列的综合应用

第5讲 数列的综合应用

【2013年高考会这样考】

1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题． 2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力． 【复习指导】

1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算．

2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等． 3

．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法．

基础梳理

1．等比数列与等差数列比较表

不同点

相同点

等差数列

(1)强调从第二项起每

一项与前项的差； (2)a 1和d 可以为零； (3)等差中项唯一 (1)都强调从第二项起每一项与前项的关系； (2)结果都必须是同一个常数；

(3)数列都可由a 1，d 或a 1，q 确定

等比数列

(1)强调从第二项起每

一项与前项的比； (2)a 1与q 均不为零； (3)等比中项有两个值

2.解答数列应用题的步骤

(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．

(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么． (3)求解——求出该问题的数学解．

(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 3．数列应用题常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加

(或减少)的量就是公差．

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化

而变化时，应考虑是a n与a n

＋1的递推关系，还是S n与S n

＋1

之间的递推关系．

一条主线

数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解．

两个提醒

(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．

(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．

三种思想

(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．

(2)数列与不等式结合时需注意放缩．

(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为()．

A．－4 B．－6 C．－8 D．－10

解析由题意知：a23＝a1a4.则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得：a2＝－6.

答案 B

2．(2011·运城模拟)等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等

差数列，则S 4＝( )．

A ．7

B ．8

C ．15

D ．16

解析 设数列{a n }的公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，∴q ＝2.∴S 4＝1－24

1－2＝15.

答案 C

3．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10

D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定

解析 记等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝2b 7，又数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6

)＝a 6⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1＋q 6

q 3＝

b 7⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1＋q 6

q 3，又1＋q 6

q 3＝1q 3＋q 3≥2(当且仅当q ＝1时，等号成立)，∴a 3＋a 9≥2b 7，即a 3＋a 9≥b 4＋b 10. 答案 B

4．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )．

A ．4

B ．2

C ．－2

D ．－4

解析 由c ，a ，b 成等比数列可将公比记为q ，三个实数a ，b ，c ，待定为cq ，cq 2，c .由实数a 、b 、c 成等差数列得2b ＝a ＋c ，即2cq 2＝cq ＋c ，又等比数列中c ≠0，所以2q 2－q －1＝0，解一元二次方程得q ＝1(舍去，否则三个实数相等)或q ＝－12，又a ＋3b ＋c ＝a ＋3aq ＋a q ＝－5

2a ＝10，所以a ＝－4. 答案 D

5．(2012·苏州质检)已知等差数列的公差d ＜0，前n 项和记为S n ，满足S 20＞0，S 21＜0，则当n ＝________时，S n 达到最大值． 解析 ∵S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)＞0，