非正弦周期电流的平均值

0
u0
wt
(a)
(b)
正弦 交流电
两信号 叠加后的
波形
电路中存在 非线性元件，也产生非正弦的周期信号
非线性元 件二极管
+ u -
(a)
i
+
R uR
-
电源电压 波形
u
i
0T
T
源自文库
2
(b)
t0
整流后电 流波形
t (c)
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§6-2 非正弦周期信号的分解
不同频率正弦波的合成
例：已知两个正弦电压u1 U m sin t 和u3 U m3 sin 3t
第六章 非正弦周期信号电路
概述 第一节 非正弦周期信号及波形 第二节 非正弦周期信号的分解 第三节 函数对称性与傅里叶级数的关系 第四节 非正弦周期信号的有效值、平均值和
平均功率 第五节 非正弦周期电流信号电路的计算 本章小结
概述
本章主要介绍非正弦周期信号作用于线性电路的分析方， 其思路是把直流电路及正弦交流电路的分析方法应用到非正弦 周期交流电路中。
试作出 u u1 u3 的波形。
u
u u1
u3
0
wt
非正弦周期波的分解
综上所述，几个频率不同的正弦波之和是一个非正弦周 期波，那么反过来,一个非正弦周期波可以分解成几个不同 频率的正弦波之和
由数学知识可知，如果一个函数是周期性的，且满足狄 里赫利条件，那么它可以展开成一个收敛级数，即傅里叶级 数。电工技术中所遇到的周期函数f(t)一般都能满足这个条 件，因而可以分解为下列的傅里叶级数。
所以：u(t) 4Um (sint 1 sin3t 1 sin5t 1 sinkt )

3
5
k
(k为奇数）
例2 求出下图所示的锯齿波电流的傅里叶级数。
i 10
0 0.2 0.4
t(ms)
解： 锯齿波电流的周期，角频率和最大值分别为：
T 0.2ms 0.0002s
f (t) A0 A1 coswt B1 sin wt A2 cos2wt B2 sin 2wt Ak coskwt Bk sin kwt

即： f (t) A0 Ak cos kwt Bk sin kwt k 1
式中，ω=2π/T，T为f(t)的周期 ，K为正整数。上式中的 A0、AK及BK称为傅里叶系数
把周期函数分解成傅里叶级数时，并不一 定包含所有谐波项。有的只包含有正弦项， 有的只包含有余弦项。这是因为周期函数 具有对称性。电工技术中遇到的周期函数 的波形往往具有某种对称性，利用函数的 对称性，不仅可使系数的计算过程得以简 化，更重要的是可以根据波形的对称性来
判断非正弦周期波的谐波成分。
奇函数（原点对称）
奇函数（原点对称）
f t f t
奇函数的波形的特点：对称于坐标原点
i(t)
Im
T
T 2
2
t
0
在一个 周期内的积分
为零
当 f t 是奇函数时，f t cos kt 也是一个奇函数，因而有：
1T
A0
f (t)dt 0
T0
AK 2
T
f (t)cos ktdt 0
2 2 3.14 rad s 31400rad s
T 0.0002
I m 10 A
查表6-1并计算得：（表6-1见教材）
i 53.18sin 31400t 1.59sin 62800t 1.06sin 94200t A
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§6.3 函数对称性与傅里叶级数的关系
分析这些电路的方法是：利用傅里叶级数将非正弦周期量 分解为一系列不同频率的正弦量之和，然后按照直流电路和正 弦电路的计算方法，分别计算在直流和单个正弦信号作用下的 电路响应，再根据线性电路叠加原理将所得结果相加。这种方 法称为谐波分析法。
主要内容
➢非正弦周期信号及分解 ➢非正弦周期信号的有效值，平均值和平均功率 ➢非正弦周期电路的计算.
§6.1 非正弦周期信号及波形
常见的几种非正弦周期信号
u
方波
三角波
u
0
共同特点：0 其一t 它们都是周期波，
t
u
锯齿其波二它们非的正变弦化的规u 律都是
脉冲波
0
t
0
t
频率不同的正弦电源作用于同一电路时,也产生
直
非正弦的周期信号
流
电
+ -
U u1 = 0
1
u
u1
u
U +
u0 = m1Sinwt
-
2
傅里叶系数的确定：
A0 1 T f (t)dt
1
2
f (wt )d(wt )
T0
2 0
2 T
1 2
Ak T
0
f (t)cos kwtdt

0
f (wt )cos kwtd(wt )
2T
1 2
Bk
T
0
f (t)sinkwtdt

0
f (wt )sinkwtd(wt )
2 T
T
T (Um )cos ktdt 0
2
Bk

2 T
T
u(t ) s in ktdt

2
0
T
T 2 0
U
m
s
in
ktdt

2 T
T
T (Um
2
) s in ktdt

2U m k
(1
cos
k
)
K为奇数时
cos k

1, Bk

4U m
k
K为偶数时
cos k 1, Bk 0
利用三角函数公式，将分解式中的同频率正弦项与余弦项合 并，则傅里叶级数还可以写成另一种形式：

f
(t)
C
0
k 1
Ck
sinkwt C数k0在是 一非周正期弦内周的期平函

式中：Ck
C0
A0 Ak2
Bk2

k
arcty Ak Bk

均值，是一个常数， 称为周期函数f(t)的 恒定分量（或直流 分量），也称为零
u(t) U m u(t) U m
0t T 2
T t T 2
A0

1 T
T u(t)dt 1
0
T
T 2 0
Umdt

1 T
T
T (Um )dt 0
2
直流分量为 0
2
Ak T
T
u(t)cos ktdt

2
0
T
T 2 0
U
m
cos
ktdt

次谐波。
其余各项的频率是
第二项C1sin(ωt+Φ1),称为基 波分量或一次谐波，其周期 和频率与原函数f(t)相同。
周期函数频率的整 数倍，称为高次谐
波
周期函数展开为傅里叶函数举例
例1：矩形周期波电压如图所示，求其傅立叶展级数：
u Um
0T
2
T
t
Um
解：图示矩形周期电压，在一个周期内的表达式为：