圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型(汇编)

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：

模型一：“手电筒”模型

例题、已知椭圆C ：13

42

2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222

(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++

222

2

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k

-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122

y y

x x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk

k k k --+++=+++，

整理得：2

2

71640m mk k ++=，解得：1222,7

k m k m =-=-

，且满足22

340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

当27k m =-

时，2

:()7

l y k x =-，直线过定点2(,0)7

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2

(,0).7

◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直

线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))

(,)((2

222022220b

a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）

◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=•BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。

此模型解题步骤：

Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围；

Step2：由AP 与BP 关系（如1-=•BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。

◆类型题训练

练习1：过抛物线M:px y 22

=上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

练习2：过抛物线M:x y 42

=的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。

练习3：过122

2=-y x 上的点作动弦AB 、AC 且3=•AC AB k k ，证明BC 恒过定点。

练习:4：设A 、B 是轨迹C ：2

2(0)y px P =>上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且4

π

αβ+=

时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

练习5：已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.

练习6：已知点()()1,0,1,0,B C P -是平面上一动点，且满足||||PC BC PB CB ⋅=⋅

（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；

（2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD AE ⊥，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.

【解】（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入 （5分）

).2,1(,14)2,()2(2的坐标为点得代入将A m x y m A ∴==

,044,422=--=+=t mt y x y t my x DE 得代入的方程为设直线

）（（，则设*016)44,4),(),,(221212211>+-=∆-=⋅=+t m t y y m y y y x E y x D

4)(21)()2)(2()1)(1(212121212121++-⋅+++-=--+--=⋅∴y y y y x x x x y y x x AE AD

5)(2)4

4(4421212

2212221++-⋅++-⋅=y y y y y y y y 5)(242)(16)(212121221221++-⋅+⋅-+-⋅=y y y y y y y y y y

m m t t m t t m t 845605)4(2)4(4

)4(2)4(16)4(2222+=+-=+--+----=化简得

)1(23)1(434849622

22+±=-∴+=-++=+-m t m t m m t t ）即（即 0*,1252>∆+-=+=∴）式检验均满足代入（或m t m t 1)2(5)2(+-=++=∴y m x y m x DE 或的方程为直线 ）不满足题意，定点（（过定点直线21).2,5(-∴DE ）

练习7：已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2

=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l

交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.

（I ）证明: OM OP ⋅为定值; （II ）若△POM 的面积为

2

5

，求向量OM 与OP 的夹角； （Ⅲ）证明直线PQ 恒过一个定点.

解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(22

2

121、M 、A 三点共线， ,4

414,2

2

212

1211y y y y y y k k DM AM --=+=∴即 4,14212

1211=∴+=+y y y y y y 即 .54

42122

21=+⋅=

⋅∴y y y y OP OM (II)设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅αOP OM

.5sin ||||,2

5

=⋅⋅∴=

∆αOP OM S ROM 由此可得tan α=1. 又.45,45),,0(︒︒=∴∈的夹角为与故向量OP OM απα

(Ⅲ)设点M y y Q ),,4(323

、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴ 31332222

331313

2

3133131311,,41444

(1)()4,40.11y y y y y y y y y y y y y y y y y y -+==-++-∴++=-+++=即即即分

,044

4,4,432

322121=+++⋅∴==y y y y y y y y 即

即.(*)04)(43232=+++y y y y 第22题