第章多自由度系统振动c

对于半正定系统，有 0 11
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
f(t) f (t)
φT φT
Kφ Mφ
2
f(t) 2 f (t) 0
a、b、 为常数
f (t) a sin(t ), 0
f
(t)
at
b,
0
（1）正定系统 0
主振动
只可能出现形如 X φa sin( t )的同步运动。
自由振动的位移方程： FMX X 0
主振动： X φsin( t ) φ [1 2 n ]T
代入，得： (FM I)φ 0
特征值 1/2
特征方程： FM I 0
特征根按降序排列： 1 2 n 0
Sunday, June 07, 2020
i 1/ i2
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
因此坐标变换X ＝TY 不改变系统的正定性质。 对于质量矩阵也如此。
Sunday, June 07, 2020
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《振动力学》
回顾：单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
小结：
单自由度系统自由振动分析的一般过程：
1、由工程装置建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程； 2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值； 3、根据本征值，写出标准方程的通解； 4、根据初始条件，计算标准方程的特解。
X TY
坐标X下系统：
MX KX P
其中T 是非奇异矩阵 坐标Y 下系统：
T T MTY T T KTY T T P
如果恰巧Y 是主坐标： T T MT T T KT 对角阵
Sunday, June 07, 2020
百度文库《振动力学》
这样的T 是否存在？如何寻找？
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
k21 2m21 k22 2m22 k2n 2m2n 0
k m k m k m Sunday, June 07, 2020 n1
2
n1
n2
2 n2
2
nn
nn
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
k11 2m11 k12 2m12 k1n 2m1n
Sunday, June 07, 2020
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态
(K i2 M )φ(i) 0
φ(i) [1(i)
(i) n
]T
当 i不是特征多项式的重根时，上式的 n 个方程中有且只有
一个不独立 。
nn nn
φ(i) [1(i)
(i n
)
]T
n 个方程 奇次方程组
当 i不是特征多项式重根时，上式 n 个方程只有一个不独立.
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有φ(i) 的某个元
素（例如
(i n
)）的项全部移到等号右端.
kk2111
i2m11 i2m21
kn1
i2mn1
Sunday, June 07, 2020 《振动力学》
一一对应
i 1~ n
φ( i )
φ(i) 1(i) Rn1 n(i)
φ φ 、 (K M ) 0 Sunday, June 07, 2020 i
(i) 代入，有：
2
(i)
i
第i 阶模态特征
值问题。
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
(K i2 M )φ(i) 0
X φ f (t)
f (t) R1
常数列向量 代表着振动的形状
运动规律的时间函数
Sunday, June 07, 2020 《振动力学》
X [x1
x2
xn ]T
φ [1 2 n ]T 10
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
MX&&+ KX = 0
X φf (t)
X Rn φ Rn
当T 矩阵非奇异时，称矩阵A 与矩阵（TTAT） 合同。
线性代数知: 合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。
对称性质： 若矩阵A 对称，则（TTAT）对称。
证明： 矩阵A 对称，A＝AT
则有：(TTAT)T＝TTAT(TT)T＝TTAT 正定性质：若原来的刚度矩阵K 正定，则（TTKT）仍正定。
φ有非零解的充分必要条件： K 2M 0 特征方程
2n a1 2(n1) an1 2 an 0 频率方程或特征多项式
固有频率仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。
自由振动的位移方程：FMX X 0 主振动： X φsin( t ) Sunday, June 07, 2020代入，得： (FM I )φ 0 特征方程： FM I 0
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态
• 多自由度系统的模态（主振型）
正定系统： MX KX 0
X Rn M、K Rnn
主振动： X φa sin( t )
0 φ Rn
特征值问题： (K 2M)φ 0
振动的形状
特征值（固有频率） φ 特征向量（模态）
n 自由度系统： i
Sunday, June 07, 2020 仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
采用位移方程求解固有频率：
位移方程： FMX X FP(t)
X Rn F K 1 柔度矩阵
自由振动的位移方程： FMX X 0
主振动： X φsin( t )
k21 2m21 k22 2m22 k2n 2m2n 0
kn1 2mn1 kn2 2mn2 knn 2mnn
2n a1 2(n1) an1 2 an 0 频率方程
或特征多项式 解出 n 个值，按升序排列为：
0 12
22
2 n
i ：第 i 阶固有频率
1 ：基频。
代入，并左乘 φT ： φT Mφf(t) φT Kφf (t) 0
：常数
f(t) f (t)
φT φT
Kφ Mφ
2
M 正定，K 正定或半正定
对于非零列向量φ： φT Mφ 0 φT Kφ 0
令： 2 0
对于正定系统必有 Sunday, June 07, 2020 0
《振动力学》
1
0 1
1
2
0
3 3
m2
k
k / m Sunday, June 07, 2020 1
《振动力学》
2 1.32 k / m
3 2 k / m
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
小结：固有频率
正定系统： MX KX 0
主振动： X φsin( t ) 代入振动方程： (K 2M )φ 0
Sunday, June 07, 2020
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
三自由度系统
振动形式1
振动形式2
振动形式3
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相 同外，随时间变化的规律都相同的运动 。
Sunday, June 07, 2020
思考：同步振动是不是解耦振动？
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柔度矩阵： F中的元素fij是使系统仅在第 j 个坐标受到单位力 作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移.
柔度矩阵与刚度矩阵的关系： F K 1 FK I
Sunday, June 07, 20位20 移方程不适用于具有刚体自由度的系统。 3
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
Sunday, June 07, 2020
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MX&& KX P(t)
X Rn
自由振动方程： MX&& KX 0
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率。
在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同 步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外， 随时间变化的规律都相同的运动 。
i2m1n )n(i)
(kn1,1
i2mn1,1)1(i)
(kn1,n1
m ) 2
(i)
i n1,n1 n1
(kn1,n
m 2 i n1,n
)n(i)
若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用
(i) n
表示
的
(i 1
)，2(i)，
， (i) n1
否则应把含φ(i的) 另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。
首先讨论正定系统的主振动：
正定系统： MX KX 0
X Rn M 正定，K 正定
主振动： X φa sin( t ) 0 φ [1 2 n ]T
将常数 a 并入φ 中 X φsin( t )
代入振动方程： (K 2M)φ 0
φ有非零解的充分必要条件： K 2M 0 特征方程
k11 2m11 k12 2m12 k1n 2m1n
小结：耦合与坐标变换
质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。
刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。
不出现惯性耦合时，一个坐标上 不出现弹性耦合时，一个坐标
产生的加速度只在该坐标上引起 上产生的位移只在该坐标上引
惯性力.
起弹性恢复力.
耦合的表现形式取决于坐标的选择
同一个系统选择两种不同的坐标X 和Y 有变换关系：
φ [1 2 n ]T
代入，得： (FM I)φ 0
特征值 1/2
Sunday, June 07, 2020
(K 2M)φ 0
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
采用位移方程求解固有频率：
位移方程： FMX X FP(t) X Rn F K 1 柔度矩阵
单自由度系统自由振动分析的一般目标：
1、求系统的固有角频率，即固有频率； Sunday, June 07, 2020 2、求解标准方程。
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的自由振动
• 固有频率 • 模态 • 模态的正交性 • 主质量和主刚度 • 模态叠加法 • 模态截断法
作用力方程 M X K X P(t)
位移方程 X F (P MX)
质量矩阵 ：M 中的元素 mij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单 位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。
刚度矩阵： K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位 位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MX KX P(t) X Rn
自由振动方程： MX KX 0
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率。
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时
间变化的规律都相同的运动。
第四章
多自由度系统振动
3
多自由度系统振动
教学内容
• 多自由度系统的动力学方程 • 多自由度系统的自由振动 • 频率方程的零根和重根情形 • 多自由度系统的受迫振动 • 有阻尼的多自由度系统
Sunday, June 07, 2020
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：作用力方程、位移方程和矩阵
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统 0
可能出现形如 X φa sin( t )的同步运动。
也可能出现形如 X φ(at b) 的同步运动（不发生弹性变形 ）。
Sunday, June 07, 2020
MX KX 0
X φf (t)
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
例：三自由度系统
m 0 0
M
0
m
0
0 0 m
x1
x2
2k m
k
k
m
x3
2k m
(K 2M)φ 0
3k k 0
K k
2k
k
0 k 3k
3k m 2
k
0
k
2k m 2
k
0 k
1 2
0
3k m 2 3
K 2M 0
1 1 2 3 3 4
3
1
0
1
2
]T
当 i不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一
个是不独立的 。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有φ(i) 的某个元
素（例如
(i n
)）的项全部移到等号右端
。
(k11
i2m11)1(i)
n -1个方程
(k
2
1,n1 i
m1,n1
) (i) n1
非奇次方程组
(k1n
k12 i2m12 k22 i2m22
kn2 i2mn2
k1n k2n
i2m1n i2m2n
12((ii
) )
0 0
knn
i2mnn
n(i
)
0
20
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态
(K i2 M )φ(i) 0
φ(i) [1(i)
(i) n