高中数学复习课推理与证明教学案新人教A版2
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复习课(二) 直接证明与间接证明
合情推理
(1)近几年的高考中归纳推理和类比推理有时考查，考查的形式以填空题为主，其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力．
(2)处理与归纳推理相关的类型及策略
①与数字有关：观察数字特点，找出等式左右两侧的规律可解． ②与式有关：观察每个式的特点，找到规律后可解．
③进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．
[考点精要]
1．归纳推理的特点及一般步骤
2．类比推理的特点及一般步骤
[典例] (1)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积
为S 2，则S 1S 2＝1
4
，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC 的内切球体积为V 1，
外接球体积为V 2，则V 1V 2
＝( )
A.18
B.19
C.164
D.127
(2)(陕西高考)观察下列等式： 1－12＝12
，
1－12＋13－14＝13＋14
， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……，
据此规律，第n 个等式可为______________________________________________． [解析] (1)正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝
1
27
. (2)等式的左边的通项为12n －1－12n ，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－1
2n ；右边的
每个式子的第一项为
1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n
. [答案] (1)D (2)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
2n
[类题通法]
(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．
(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
[题组训练]
1．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )
A ．21
B ．34
C ．52
D ．55
解析：选D 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.
2．在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AE
BE
.把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图)，DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________________．
解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得
AE EB ＝S △ACD
S △BCD
. 答案：AE EB ＝
S △ACD
S △BCD
演绎推理
(1)演绎推理在高考中不会刻意去考查，但实际上是无处不在，常以数列、不等式、立体几何、解析几何等主干知识为载体进行考查．
(2)解答此类问题，结合已学过的知识和生活中的实例，了解演绎推理的含义、基本方法在证明中的应用是关键．
[考点精要]
演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确．
[典例] 已知f (x )＝－
4＋1x
2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n ，－1a n ＋1在曲线
y ＝f (x )上(n ∈N *)，且a 1＝1，a n >0.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n >12(4n ＋1－1)，n ∈N *.
[解] (1)f (a n )＝－1
a n ＋1
＝－
4＋1
a 2n
，且a n >0，
∴1a n ＋1＝
4＋1a 2n
，
∴
1a
2n ＋1
－1a 2n
＝4(n ∈N *
)．
∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a 2n 是等差数列，首项1
a 21
＝1，公差d ＝4，
∴1a 2n ＝1＋4(n －1)，∴a 2n ＝14n －3. ∵a n >0，∴a n ＝
14n －3
(n ∈N *
)．
(2)证明：∵a n ＝1
4n －3
＝
2
24n －3>2
4n －3＋4n ＋1
＝
4n ＋1－4n －3
2
，
∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n >1
2[(5－1)＋(9－5)＋…
＋(4n ＋1－4n －3)] ＝1
2(4n ＋1－1)． [类题通法]
应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．
常见的解题错误：
(1)条件理解错误(小前提错)； (2)定理引入和应用错误(大前提错)； (3)推理过程错误等．
[题组训练]
1．已知a ＝5－12
，函数f (x )＝a x
，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系是 .