一、直接法求轨迹方程(高中数学解题妙法)

一、直接法求轨迹方程

本内容主要研究直接法求轨迹方程.根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，将关系式坐标化，从而求得轨迹方程。

例：已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1．

求曲线C 的方程．

归纳整理：

当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.

再看一个例题，加深印象

例：在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15

922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F .设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、22N (x ,y )，其中m >0,0,021<>y y .设动点P 满足22PF PB 4-=,求点P 的轨迹.

总结：

1.用直接法求轨迹方程的步骤：建系，设点，列方程化简，其关键是根据条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0．

2.求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上．

练习：

1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是

49，求点M 的轨迹方程.

2.已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2x =⋅，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线

3.动点P （x ,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即

|PA |2|PB |

=），求动点P 的轨迹方程？

4. 已知三点O (0,0),A (－2,1),B (2,1),曲线c 上任意一点M (x ,y )满足 ||()2MA MB OM OA OB +=⋅++ .

(Ⅰ)求曲线C 的方程;

(Ⅱ)点Q (x 0,y 0)(－2

5. 在直角坐标系xOy 中,曲线C 1上的点均在圆C 2:(x －5)2+y 2=9外,且对C 1上任意一点M,M 到直线x =－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值.

(Ⅰ)求曲线C 1的方程;

(Ⅱ)设P (x 0,y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点,过P 作圆(C 2的两条切线,分别与曲线C 1相交于点A ,B 和C ,D .证明:当P 在直线x =－4上运动时,四点A ,B ,C ,D 的纵坐标之积为定值.

答案：

(3)3

AM y k x x =

≠- 由已知有4(3)339y y x x x ∙=≠±+- 化简，整理得点M 的轨迹方程为22

1(3)94

x y x -=≠±

此即点P 的轨迹方程，所以P 的轨迹为抛物线，选D.

3.解 ∵

|PA|= PB |=代入|PA |

2|PB |=得

2222222

24)3(4)3(2)3()3(y x y x y x y x +-=++⇒=+-++

化简得22(x-5)y 16+=，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.