第十讲 圆锥曲线齐次式与点乘双根法

第十讲圆锥曲线齐次式与点乘双根法

一、圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值

例1：

12

,

Q Q为椭圆

22

22

1

2

x y

b b

+=上两个动点，且

12

OQ OQ

⊥，过原点O作直线

12

Q Q的垂线OD，求D的轨迹方程.

解法一（常规方法）：设

111222

(,),(,)

Q x y Q x y，

00

(,)

D x y,设直线

12

Q Q方程为y kx m

=+，

联立22

22

1

2

y kx m

x y

b b

=+

⎧

⎪

⎨

+=

⎪⎩

化简可得:

22222222

(2)42()0

b k b x kmb x b m b

+++-=，所以

2222222

1212

222222

2()(2)

,

22

b m b b m b k

x x y y

b k b b k b

+-

==

++

因为

12

OQ OQ

⊥所以

222222222222

121222222222

2()(2)2()2

=0

222121

b m b b m b k m b m b k

x x y y

b k b b k b k k

+---

+=+=+

++++

222

32(1)

m b k

∴=+*

又因为直线

12

Q Q方程等价于为0

00

()

x

y y x x

y

-=--，即

2

00

00

x x

y x y

y y

=-++对比于y kx m

=+，则

2

x

k

y

x

y m

y

⎧

-=

⎪

⎪

⎨

⎪+=

⎪⎩

代入*中，化简可得：222

00

2

3

x y b

+=.

解法二（齐次式）：

设直线12Q Q

方程为1mx ny +=，联立22

2222221111022mx ny mx ny x y x y b b b b

+=+=⎧⎧⎪⎪

⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩ 22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:222222

22202x y m x n y mnxy b b

+---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2

2

2

22

2

2

(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2

x ，则

222

2

2

2

22

1222

12(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n

---+-=⇒=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，

22

2212122m b b n -=-- 22232()

b m n ∴=+*

又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即2

00000

x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0

2200022

00

x m

x y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨

⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：22

20023x y b +=. 例2：已知椭圆2

214

x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.

解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：

旧坐标 新坐标

(,)(',')x y x y ⇒

即(0,1)(0,0)⇒

所以''

'1'

x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨

⎨

=-→⎩⎩ 原来12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒

+=-则转换到新坐标就成为：1212''

1''

y y x x +=- 12''1k k +=-即

设直线l 方程为：''1mx ny +=

原方程：2

2

44x y +=则转换到新坐标就成为：2

2

'4('1)4x y ++= 展开得：2

2

'4'8'0x y y ++=

构造齐次式：2

2

'4'8'('')0x y y mx ny +++= 整理为：2

2

(48)'8'''0n y mx y x +++=

两边同时除以2

'x ，则2

(48)'8'10n k mk +++=

所以128''148m k k n +=-

=-+所以1

2212

m n m n -=⇒=+

而''1mx ny +=1'

()''1('')1022

x n x ny n x y ∴++=⇒++-=对于任意n 都成立.

则：''0

'2''2102

x y x x y +=⎧=⎧⎪

⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩，故对应原坐标为21x y =⎧⎨=-⎩所以恒过定点(2,1)-.

例3：已知椭圆22182

x y +=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭