数字信号处理离散傅里叶变换DFT及其快速算法

0 k N 1
n0
对比二者发现：
X (k)是 X%(k) 的主值区序列，条件N≥M
X%(k) X (k mN ) X (k) X%(k)RN (k) m
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x%N (n)
n
N
0
N
2N
X%(k )
DFS
N 2
0
x(n)
0
X (k)
0
N 2
N
n
N
k
N 1
DFT
k
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DFT与DFS之间的关系:
结论： (1)序列的N点DFT是序列傅里叶变换在频率区间[0，2] 上的N点等间隔采样，采样间隔为2 /N。 (2)序列的N点DFT是序列的Z变换在单位圆上的N点等间隔 采样，频率采样间隔为2 /N。
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• 序列x(n)的N点DFT是 x(n)的Z变换在单位圆上的N点等 间隔采样；
• X(k)为x(n)的傅立叶变换 X (e j ) 在区间 [0, 2 ]上的N
周期序列
主值区序列
有限长序列 x(n) n 0,1, 2,L M 1
周期序列 x%N (n) x(n mN ) x((n))N m 0 n0 N 1 n mN n0 ((n))N n0
xN (n) x%N (n)RN (n)
主值区间序列 N M , xN (n) x(n)
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x%8 (n) x%4 (n)
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周期序列DFS: N 1 X%(k ) DFS[x%N (n)] x%N (n)WNkn n0
M 1
x(n)WNkn
k
n0
有限长序列的DFT: N 1
X (k) DFT[x(n)]N x(n)W kn
n0
M 1
x(n)W kn
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DFS与FT之间的关系:
M 1
X%(k) DFS[x%N (n)] x(n)WNkn n0
1 N
N 1
X (k)WNk n ,
k 0
n 0, 1, L , N 1
长度为 N的离 散序列
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例3.1： x(n) R8(n)，分别计算x(n)的8点、16点DFT。 解: x(n)的8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 n0
j2k n
e8
8, 0,
k 0 k 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。
j ImZ
2 3
4
5 6
1 2
N
k=0 ReZ
7 (N-1)
DFT与z变换
X(ejω)
X(k)
0
o
2
0
N 1 k
DFT与DTFT变换
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变量
、f k
周期
2
s、fs N
分辨率
2
N
fs N
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DFT和DFS之间的关系：
周期延拓
取主值
有限长序列
Z变换、 DTFT、DFT 的取值范围
四种傅立叶变换
离散傅立叶变换（DFT）实现了信号首次在频域 表示的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理。 并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信 号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速 化。因而具有重要的理论意义和应用价值，是本课程 学习的一大重点。
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3.1.2 DFT与ZT、FT、DFS的关系
DFT有明确的物理意义，我们可以通过比较序列的DFT、FT、
ZT，并将DFT与周期序列的DFS联系起来，得到DFT的物理意
义。
DFT和FT、ZT之间的关系
假设序列的长度为M，N≥M
将N点DFT和FT、ZT的定义重写如下
M 1
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn
式中，N称为离散傅里叶变换区间长度，要求N ≥ M。为
书写简单，令
WN
e
j2 N
，因此通常将N点DFT表示为
N 1
X (k) DFT[x(n)]N x(n)WNk n , k 0, 1, L , N 1 n0
定义X(k)的N点离散傅里叶逆变换(IDFT)为
x(n) IDFT[X (k)]N
n0
M 1
X (ej ) FT[x(n)] x(n)e jn
n0
M 1
X (k) DFT[x(n)]N x(n)WNkn ,
k 0,1,L , N 1
n0
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比较前面三式，得到
X (k) X (z)
，k=0, 1, 2, …, N-1
j2 k
ze N
X (k) X (ej ) 2k ，k=0, 1, 2, …, N-1 N
DFT : x(n) X (k) DFS : x%(n) X%(k)
x(n) X (k)
x%(n)RN (n) X%(k )RN (k
)
N M
x%N (n) x((n))N X%(k ) X ((k ))N
有限长序列x(n)的DFT变换X(k)，就是x(n)的周期延拓序列 ~x(n) 的DFS系数 X~(k ) 的主值序列
之间的某种变换关系.
• 所以“时间”或“频率”取连续还是离 散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换 对。
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
时间域
t:连续
模拟域 FT、LT
频率域 Ω、s:连续
时间域
n:离散
数字域 FT、ZT
频率域
ω、z：连续
数字域
DFT
频率域
k：离散
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DFT
的 图 形 解 释
第三章 离散傅里叶变换(DFT) 及其快速算法(FFT)
➢ 3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义 ➢ 3.2 DFT的主要性质 ➢ 3.3 频域采样 ➢ 3.4 DFT的快速算法——快速傅里叶变换(FFT) ➢ 3.5 DFT(FFT)应用举例
傅里叶变换的几种形式
• 傅里叶变换： 建 立 以 时 间t 为 自 变 量 的 “ 信 号 ” 与 以 频 率 f为 自 变 量 的 “ 频 率 函 数 ”(频谱)
x(n)的16点DFT为
X (k)
7
W1k6 n
n0
1 W1k68 1 W1k6
j28k
1 e 16 j2k 1 e 16
源自文库
j7 k
e 16
sin k 2
sin k
16
, k 0,1, 2,L ,15
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X (k) 是 X (e j ) 在频率区间上的等间隔采样
本节主要介绍
3.1.1 DFT定义 3.1.2 DFT与ZT、FT、DFS的关系 3.1.3 DFT的矩阵表示
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3.1.1 DFT定义
设序列x(n)长度为M，定义x(n)的N点DFT为
N 1
j2k n
X (k) DFT[x(n)]N x(n)e N ,
n0
k 0, 1, L , N 1