八年级最短路径问题归纳小结
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八年级数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括:
①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点,求最短路径的问题.
②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题.
③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径.
④全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径.
【问题原型】“将军饮马”,“造桥选址”,“费马点”.
【涉及知识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”.
【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.
【问题10】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ,使PB PA -的值最大.
作直线AB ,与直线l 的交
点即为P .
三角形任意两边之差小于
第三边.PB PA -≤AB .
PB PA -的最大值=AB .
【问题11】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ,使PB PA -的值最大.
作B 关于l 的对称点B '作直线A B ',与l 交点即为
P .
三角形任意两边之差小于
第三边.PB PA -≤AB '. PB PA -最大值=AB '.
【问题12】“费马点” 作法
图形 原理
△ABC 中每一内角都小于120°,在△ABC 内求一点P ,使PA +PB +PC 值最小.
所求点为“费马点”,即满足∠APB =∠BPC =∠
APC =120°.以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ,连CD 、BE 相交于P ,点P 即为所求.
两点之间线段最短. PA +PB +PC 最小值=CD .
【精品练习】
1.如图所示,正方形ABCD 的面积为12,△ABE 是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对角线AC 上有
一点P ,使PD +PE 的和最小,则这个最小值为( ) A .3 B .26 C .3 D 6
2.如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠ABC =60°,若将△ACD 绕点A 旋转,当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ,则△CEF 的周长的最小值为( ) A .2
B .32
C .32+
D .4
l
B
A
l
P
A
B
l A
B
l
B
P
A
B'
A
B
C
P
E
D
C
B
A
A
D
E
P
B C
3.四边形ABCD 中,∠B =∠D =90°,∠C =70°,在BC 、CD 上分别找一点M 、N ,使△AMN 的周长最小时,∠AMN +∠ANM 的度数为( )
A .120°
B .130°
C .110°
D .140°
4.如图,在锐角△ABC 中,AB =42,∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM +MN 的最小值是 .
5.如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AB =6,点E 在AB 边上,点D 在BC 边上(不与点B 、C 重合), 且ED =AE ,则线段AE 的取值范围是 .
6.如图,∠AOB =30°,点M 、N 分别在边OA 、OB 上,且OM =1,ON =3,点P 、Q 分别在边OB 、OA 上,则MP +PQ +QN 的最小值是_________.(注“勾股定理”:直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,即Rt △ABC 中,∠C =90°,则有222AB BC AC =+)
7.如图,三角形△ABC 中,∠OAB =∠AOB =15°,点B 在x 轴的正半轴,坐标为B (36,0).
OC 平分∠AOB ,点M 在OC 的延长线上,点N 为边OA 上的点,则MA +MN 的最小值是______. D
E
A
B
C
D C
M
A
B
M
N
8.已知A (2,4)、B (
4,2).C 在y 轴上,D 在x 轴上,则四边形ABCD 的周长最小值为 ,
此时 C 、D 两点的坐标分别为 .
9.已知A (1,1)、B (4,2).
(1)P 为x 轴上一动点,求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标;
(2)P 为x 轴上一动点,求PB PA 的值最大时P 点的坐标;
(3)CD 为x 轴上一条动线段,D 在C 点右边且CD =1,求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标;
10.点C 为∠AOB 内一点.
(1)在OA 求作点D ,OB 上求作点E ,使△CDE 的周长最小,请画出图形;
(2)在(1)的条件下,若∠AOB =30°,OC =10,求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数.
图①
12.荆州护城河在CC'处直角转弯,河宽相等,从A处到达B处,需经过两座桥DD'、EE',护城河及两桥都是东西、南北方向,桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置,可使A到B点路径最短?