八年级最短路径问题归纳小结

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八年级数学最短路径问题

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括:

①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点,求最短路径的问题.

②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题.

③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径.

④全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径.

【问题原型】“将军饮马”,“造桥选址”,“费马点”.

【涉及知识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”.

【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.

【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.

【问题10】 作法

图形 原理

在直线l 上求一点P ,使PB PA -的值最大.

作直线AB ,与直线l 的交

点即为P .

三角形任意两边之差小于

第三边.PB PA -≤AB .

PB PA -的最大值=AB .

【问题11】 作法

图形 原理

在直线l 上求一点P ,使PB PA -的值最大.

作B 关于l 的对称点B '作直线A B ',与l 交点即为

P .

三角形任意两边之差小于

第三边.PB PA -≤AB '. PB PA -最大值=AB '.

【问题12】“费马点” 作法

图形 原理

△ABC 中每一内角都小于120°,在△ABC 内求一点P ,使PA +PB +PC 值最小.

所求点为“费马点”,即满足∠APB =∠BPC =∠

APC =120°.以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ,连CD 、BE 相交于P ,点P 即为所求.

两点之间线段最短. PA +PB +PC 最小值=CD .

【精品练习】

1.如图所示,正方形ABCD 的面积为12,△ABE 是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对角线AC 上有

一点P ,使PD +PE 的和最小,则这个最小值为( ) A .3 B .26 C .3 D 6

2.如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠ABC =60°,若将△ACD 绕点A 旋转,当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ,则△CEF 的周长的最小值为( ) A .2

B .32

C .32+

D .4

l

B

A

l

P

A

B

l A

B

l

B

P

A

B'

A

B

C

P

E

D

C

B

A

A

D

E

P

B C

3.四边形ABCD 中,∠B =∠D =90°,∠C =70°,在BC 、CD 上分别找一点M 、N ,使△AMN 的周长最小时,∠AMN +∠ANM 的度数为( )

A .120°

B .130°

C .110°

D .140°

4.如图,在锐角△ABC 中,AB =42,∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM +MN 的最小值是 .

5.如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AB =6,点E 在AB 边上,点D 在BC 边上(不与点B 、C 重合), 且ED =AE ,则线段AE 的取值范围是 .

6.如图,∠AOB =30°,点M 、N 分别在边OA 、OB 上,且OM =1,ON =3,点P 、Q 分别在边OB 、OA 上,则MP +PQ +QN 的最小值是_________.(注“勾股定理”:直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,即Rt △ABC 中,∠C =90°,则有222AB BC AC =+)

7.如图,三角形△ABC 中,∠OAB =∠AOB =15°,点B 在x 轴的正半轴,坐标为B (36,0).

OC 平分∠AOB ,点M 在OC 的延长线上,点N 为边OA 上的点,则MA +MN 的最小值是______. D

E

A

B

C

D C

M

A

B

M

N

8.已知A (2,4)、B (

4,2).C 在y 轴上,D 在x 轴上,则四边形ABCD 的周长最小值为 ,

此时 C 、D 两点的坐标分别为 .

9.已知A (1,1)、B (4,2).

(1)P 为x 轴上一动点,求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标;

(2)P 为x 轴上一动点,求PB PA 的值最大时P 点的坐标;

(3)CD 为x 轴上一条动线段,D 在C 点右边且CD =1,求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标;

10.点C 为∠AOB 内一点.

(1)在OA 求作点D ,OB 上求作点E ,使△CDE 的周长最小,请画出图形;

(2)在(1)的条件下,若∠AOB =30°,OC =10,求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数.

图①

12.荆州护城河在CC'处直角转弯,河宽相等,从A处到达B处,需经过两座桥DD'、EE',护城河及两桥都是东西、南北方向,桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置,可使A到B点路径最短?

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