新版第4章-快速傅里叶变换(-F-F-T)-课件.ppt

m N
WN 2
WNm
(4.2.3a) (4.2.3b)
FFT算法就是不断地把长序列的DFT分解成几个短序 列的DFT，并利用WNkn的周期性和对称性来减少DFT 的运算次数。算法最简单最常用的是基2FFT。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
基2FFT算法分为两类：时域抽取法FFT(Decimation
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
偶数点的 N/2 DFT
序列DFT 的N/2个点
WNk
奇数点的 N/2 DFT
序列DFT 的后N/2个
点
图4.2.1 蝶形运算符号
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言 4.2 基2FFT算法 4.3 进一步减少运算量的措施 4.4 其他快速算法简介
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引 言
DFT是数字信号分析与处理中的一种重要变换。但 直接计算DFT，当N较大时，计算量太大，所以在快速 傅里叶变换FFT(Fast Fourier Transform)出现以前，直 接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际 的。直到1965年提出DFT的一种快速算法以后，情况才 发生了根本的变化。
r 0
r 0
X1(k ) WNk X 2 (k ) k 0,1, 2, , N -1
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
其中Ｘ1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT, 即
N / 21
X1(k)
x1(r)WNkr/ 2 DFT[x1(r)]N
rwk.baidu.com0
r0
N / 21
N / 21

x1(r)WN2kr WNk
x2 (r)WN2kr
r0
r0
因为
W 2kr N
j2π 2kr
e N
j 2π kr
e N2

W kr N/
2
所以
N /21
N /21
X (k)
x1 (r)WNkr/2 WNk
x2 (r)WNkr/2
In Time FFT，简称DIT－FFT )； 频域抽取法FFT
(Decimation In Frequency FFT，简称DIF－FFT)。本节
介绍DIT－FFT
设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。
按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x1(r) x(2r)，
r 0， 1， ， N 1 2
4.2 基2FFT
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本
有限长序列x(n)的N点DFT为
N 1
X (k) x(n)WNkn k 0， 1， ， N 1 n0
（4.2.1）
考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，直接按 (4.2.1)式计算X(k)的1个值需要N次复数乘法和 (N－1)次复数加法。因此，计算X(k)的所有N个值，共需N2次 复数乘法和N(N－1)次复数加法运算。
如前所述，N点DFT的复乘法次数等于N2。显然， 把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
另外，旋转因子具有明显的周期性和对称性。其周期性表现为
W mlN N
j2 π (mlN )
e N
j2π m
e N
WNm
其对称性表现为
WNm WNN m 或者 [WNN m ]* WNm
x2 (r) x(2r 1)，
r 0， 1， ， N 1 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
则x(n)的DFT为
X (k)
x(n)WNkn
x(n)WNkn
n偶数
n奇数
N / 21
N / 21

x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk (2r1)
r0
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)，
k 0， 1， ， N 1 2
(4.2.7)
X
(k

N 2
)

X1
(k)
WNk
X
2
(k)，
k 0， 1， ， N 1 2
(4.2.8)
这样，就将N点DFT分解为两个N/2点DFT和(4.2.7)式以及 (4.2.8)式的运算。(4.2.7)和(4.2.8)式的运算可用图4.2.1所示 的流图符号表示，称为蝶形运算符号。采用这种图示法， 经过一次奇偶抽取分解后，N点DFT运算图可以用图4.2.2 表示。图中，N=23=8， X(0)~X(3)由(4.2.7)式给出，而 X(4)~ X(7)则由(4.2.8)式给出。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
当 N 1 时，N(N－1)≈N2。由上述可见，N点 DFT的乘法和加法运算次数均为N2。当N较大时，运算 量相当可观。例如N=1024时，N2=1 048 576。这对于 实时信号处理来说，必将对处理设备的计算速度提出 难以实现的要求。所以，必须减少其运算量，才能使 DFT
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
自从1965年库利和图基在《计算数学》杂志上发 表了著名的《机器计算傅里叶级数的一种算法》论文 后，桑德—图基等快速算法相继出现，又经人们进行 改进，很快形成一套高效计算方法，这就是现在的快 速傅里叶变换（FFT）。
这种算法使DFT的运算效率提高了1 ~ 2个数量级， 为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造 了条件，大大推动了数字信号处理技术的发展。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
人类的求知欲和科学的发展是永无止境的。多年来， 人们继续寻求更快、更灵活的好算法。1984年，法国的 杜哈梅尔(P. Dohamel)和霍尔曼(H. Hollmann)提出的分 裂基快速算法，使运算效率进一步提高。本章主要讨论 基2FFT
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
2
(4.2.5)
N / 21
X 2 (k)
x2 (r)WNkr/ 2 DFT[x2 (r)]N
r0
2
(4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且WNk

N 2
WNk
，因此
X(k)又可表示为
X (k) X1(k) WNk X2 (k) k 0,1,2, , N -1