理论力学--第2章平面任意力系共62页

等于力系中各力对同一点的矩的代数和。 7
例10 已知F1=150N，F2=200N ， F3=300N ， F= F´ =200N 。
求力系向点O的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O的
距离。
解： Fx F1cos45 F2
1 10
F3 2 437.6N 5
y
F
1F
´
3
F2
j
F3
x
Fy F1sin45 F2
2 .平面任意力系向作用面内一点简化 • 主矢和主矩
F2
F1
o Fn
F2´
M2
o
Mn
Fn´
F1´
M1
FR
´
M
o
任意点O 为简化中心
F1´ = F1 ， F2´ = F2 ，… ，Fn´ = Fn
Mi = Mo ( Fi ) (i = 1，2，…，n)
平面任意力系等效为两个简单力系：平面汇交力系 和平面力偶系。
6
平面任意力系的合力矩定理
Mo FR´
FR´
FR
FR
o
o´
o
o´
d
o
o´
d
FR´ ´
(a)
(b)
(c)
由图(b), 合力 FR 对点O的矩为 MO ( FR )=FRd = MO
由式（3—2） MO n MO(Fi) i1
n
得 MO(FR)MO(Fi)
i1
合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩
FR´——主矢
i 1
Mo ——主矩
(3—2)
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一
个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。
这个力偶的矩等于该力系的主矩。
2
F2
F1
F2´
y
F1´
M2 j
M1
y
FR
MO ´
j
o Fn
o
i
x
Mn
Fn´
oi
x
取坐标系Oxy，i，j为沿x，y轴的单位矢量，则力系主矢
Fxc0 lq(x)xdx
xCF 10 lqx l2dxq3 l2
ql2l 23
10
小结
1. 力的平移定理:平移一力的同时必须附加一个力偶，附加力偶 的矩等于原来的力 对新作用点的矩。
2. 平面任意力系向平面内任选一点O简化:可得一个力和一个力 偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。这个力 偶的矩等于该力系的主矩。
3
F1
1 1
100
Oi
1 2
10
200
F3 1 161.6N 5
F R ′ 43i7 1.6j1.6 8
MOMO(F)F10.1.sin4 5
y
F30.2150.0F821.4N4m 1
F
F
´
得力系向点O的简化结果如图（b); FR′ (Fx)2 (Fy)2
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
Mo FR´
o
o´
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FR´
o
d
FR
o´
o
d
FR
o´
FR´ ´
FR´ = FR =－FR´´
d MO FR '
原力系简化为一个力，合力矢等于主矢；合力的作用线在
点O的哪一侧，根据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到点O 的距离为d。
（3）平面任意力系平衡的情形
FR´= 0，Mo = 0
平面任意力系平衡。
合力，合力作用线到简化中心O的距离为
平衡。
d MO FR'
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§ 2–5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
讨论平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形：
FR´= 0 Mo = 0
主矢等于零，表明作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系； 主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必为平 衡力系。即上式为平面任意力系平衡的充分条件。
i 1
i 1
一物体的一端完全固定在另一物体上，这种约 束称为固定端或插入端支座
MA FA A
A
FAy FAx
MA
4
3. 平面任意力系的简化结果分析
简化结果可能有以下几种情况，即：（1）FR´= 0，Mo ≠ 0； （2）FR´≠ 0，Mo = 0；（3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0；（4）FR´= 0，
F R ' F i F x i F yj
M O M O(F i)
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩， M OM O(Fi)
合力，合力作用线通过简化中心O。
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
M O21.N 4m 4
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5NFR´
FR
O
d MO 45.96mm (b)
(c)
FR
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例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷
的最大值为q，梁长l，求合力作用线的位置。
1
F2
F1
F2´
F1´
M2
M1
FR
MO ´
o
o
o
Mn
Fn
Fn´
平面汇交力系可合成为作用线通过n点O的一个力FR´
FR´ = F1´+ F2´+…+ Fn´ = F i i1
(3—1)
平面力偶系可合成为一个力偶，这个力偶的矩Mo等于各附加力 偶矩的代数和，又等于原来各力对点O的矩的代数和。
n
Mo = M1+M2+…+Mn= MO(Fi)
解: 在梁上距A端为 x 处的载荷集度为 q(x) = qx/l。在此处
取的一微段dx，梁在微段d x 受的力近似为 F(x) = qxdx/l。
梁由 x=0 到 x=l 的分布载荷合力为
F0l q(x)dxq2l A
q(x)dx
q F
B
设合力作用线到A端的 距离为 xC ，
x
dx
xc
l
根据合力矩定理
由上节分析结果可知：在另外几种情况下力系都不能平衡，只 有当主矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，上式为平面任意力系 平衡的必要条件。
平面任意力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和对 任一点的主矩都等于零。
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1.平衡条件的解析式(即平衡方程）：
的解析表达式为
F R '= F R'x + R'= y F ∑ F x+ i ∑ F yj
主矢FR´的大小和方向余弦为
F R '=(∑ Fx)2+(∑ Fy)2
cosF(R',i)Fx FR'
cosFR (', j)Fy FR'
主矩的解析表达式
n
n
M O M O (F i) (x iF y i-y iF x i) 3
Mo = 0。
（1）平面任意力系简化为一个力偶的情形
FR´= 0，Mo ≠ 0
原力系合成为合力偶，合力偶矩为
n
MOMO(Fi) i1
（2）平面任意力系简化为一个合力的情形
(a) FR´≠ 0，Mo = 0
原力系简化为一个力， FR´ 就是原力系的合力,合力作用
线通过简化中心O。
5
(b) FR´ ≠ 0，Mo ≠ 0