专题17：定积分求值(解析版)

专题17：定积分求值（解析版）

1．定积分的概念 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则

()

1

()lim n

b

i a

n i b a

f x dx f n

ξ→∞

=-=∑⎰

2.用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点

[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()n

i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1

()lim n b i a n i b a

f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 3.曲边图形面积：()()0,b

a

f x S f x dx ≥=

⎰

；()()0,b

a f x S f x dx <=-⎰

在x 轴上方的面积取正，下方的面积取负 变速运动路程2

1

()t t S v t dt =

⎰

； 变力做功 ()b

a

W F r dr =⎰

4．定积分的性质 性质1 ⎰⎰

=b

a

b

a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）

性质2

1212[()()]()()b

b b

a

a

a

f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰

⎰⎰

性质3 ()()()()b c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx

a c

b =+<<⎰⎰⎰其中 （定积分对积分区间的可加

性）

5.定理 函数()F x 是[,]a b 上()f x 的一个原函数，即()()f x F x '=则

()()|()()b

b a a

f x dx F x F b F a ==-⎰

一、单选题

1．函数()2x

f x x e =+在[]01，

上的定积分为（ ） A ．e +2 B ．e +1 C ．e D ．e -1

【答案】C 【分析】

根据微积分基本定理进行计算可得结果. 【详解】

1

(2)x

x e

dx +⎰21220

0()(1)(0)11x x e e e e e =+=+-+=+-=,

故选：C

2．曲线sin y x =，[0,2]x π与x 轴所围成的面积是（ ）

A ．0

B ．2

C ．4

D ．π

【答案】C 【分析】

根据积分的几何意义化为求20

sin (sin )S xdx x dx π

π

π

=+-⎰

⎰可得结果.

【详解】

曲线sin y x =，[0,2]x π与x 轴所围成的面积

20

sin (sin )S xdx x dx ππ

π

=+-⎰⎰20cos cos x x

π

π

π

=-+

(cos cos0)cos 2cos πππ=--+-

(11)1(1)=---+-- 4=.

故选：C 【点睛】

结论点睛：由上下两条连续曲线2()y f x 与1()y f x =及两条直线x a =与x b =()b a >所

围成的平面图形的面积为[]21()()b

a

S f x f x dx =-⎰.

3．

()3

2

4x

dx +=⎰ （ ）

A ．9

B ．12

C ．21

D ．25

【答案】C 【分析】

直接利用定积分的运算求解. 【详解】

()3

32

333001114434304021333|⎛⎫+=+=⨯+⨯-⨯+⨯= ⎪⎝⎭

⎰x dx x x 故选:C 【点睛】

本题主要考查定积分的计算，属于基础题.

4．计算2

cos xdx π

⎰

的值为（ ）

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．π

【答案】C 【分析】

利用微积分基本定理即可得答案. 【详解】

220

cos =sin x |=sin

-sin 0=12

xdx π

π

π

⎰

,

故选：C 【点睛】

本题主要考查了微积分基本定理，属于基础题.

5．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为

A ．

14

B ．

15

C ．

16

D ．

17

【答案】C 【解析】

试题分析：由三角形面积为1

2，3

120

22|33xdx x ==⎰

，所以阴影部分面积为211326-=，所求概率为

1

1616

P ==

考点：定积分及几何概型概率

6．如图，抛物线的方程是21y x =-，则阴影部分的面积是（ ）