2定解条件

关于半无界问题：
在弦线振动和半导体工艺中这种问题就存在。 弦是有限长，但如果着重研究靠近一端的弦，则在一段时间里， 另一端还没有运动，则可以认为另一端在无限远。 在半导体工艺中，硼、磷杂质的扩散是慢扩散，杂质的扩散 深度远小于硅片厚度，研究杂质向硅片里扩散时，可以认为另一 端在无限远。比如说限定源扩散
u s f ( x0 , y0 , z0 , t )
2、第二类边界条件：可写出边界上物理量沿边界法向方向 导数的表达式
u n
f1 ( x0 , y0 , z0 , t )
s
3、第三类边界条件： 可写出边界上物理量沿边界法向方向导数与边界上物理 量的线性组合的表达式
u （ hu) f 2 ( x0 , y0 , z0 , t ) n s
例题:一端固定，一端挂重物的杆，在纵振动过程的 边界条件
选取如图所示坐标，在 x l端选边界单元 以及重物进行受力分析 。 对于x微元，由牛顿定律写方 程 2u Sx 2 F ESux (l x, t ) t 对于重物(设为刚性） ; W 2u F W 2 g t 当x 0取极限得x l端边界条件： F ESux (l , t ) 0 W 2u 即 W ESux (l , t ) 2 g t 在x 0端，u (0, t ) 0
注意：1、写出的边界条件要具有普遍性，反映整个边界 在整个过程的行为；2、区分边界条件与系统泛定方程中 外源和外力。
例题： 如图，设杆的两端通过弹簧固定，即杆的每一端从 支撑物的一边受到与位移成比例、方向与位移相 反的纵向力的作用。设弹簧的弹性系数为 k，选 取如图所示的坐标。为了考察x=l端的边界条件， 在边界处划出长为 x 的一段来进行讨论。杆的 其余部分对这边界单元的作用力为：
ut ( x, y, z, t ) t 0 ( x, y, z )
从数学角度看，输运过程方程含时间一阶导数，须有一个初始条件， 振动过程含时间二阶导数，须有两个初始条件。 注意：初始状态指的是整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初
始态． 例如：长为L两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离h， 然后放手任其振动.
定解问题
泛定方程 定解问题 初始条件 定解条件 边界条件
定解条件：
数学物理方程描述的是同一类现象的共同规律，反 映的是该类现象的普遍性一面。但各个具体物理问题 还有其特殊性一面。即研究对象特定的“环境”和 “历史”不同，也就是通常说的初始条件和边界条件。
一、初始条件：对了随着时间而发展变化的问题， 必须考虑到“历史”，就是说追溯到早先某个 “初始”时刻的状态，即初始条件．
就时间t这个目变数而论，振动方程是 t的二阶微分程，输运 方程是t的一阶微分方程，所以初始条件的提法有所不 同．对了输运过程(热传导、扩散)，初始状态指的是所研 究物理量 u(温度、浓度)初始分布.
Fra Baidu bibliotek
u( x, y, z, t ) t 0 ( x, y, z), 为已知函数。
对于振动过程(弦、杆、膜的振动，传输线上电振动，声振动、 电磁振动)，初始状态包括初始“位移” 和初始“速度” u ( x, y, z , t ) t 0 ( x, y, z )
ESux (l x, t )ex , 作用在左边x单元向左， 弹性支撑架给予的作用 力为： ku(l , t ),向右。 由牛顿第二定律：边界 单元运动方程： 2u sx 2 ESux (l x, t ) ku(l , t ) t 当x 0, 取极限，得x l端边界条件: ESux (l , t ) ku(l , t ) 0
ut a 2u xx 0 (0x) u x (0, t ) 0 u ( x,0) 0 ( x 0) （0是硅表层单位面积原有 杂质浓度），所谓限定 源扩散，是让硅表层已 有 杂质向硅片内部扩散。 ut a 2u xx 0 (0x) u (0, t ) N u ( x,0) 0
对右边边界单元：
在边界单元（ 0，x）上，左端受力 ku(0, t )ex , 右端受力ESux (x, t )ex。根据牛顿第二定律： 2u Sx 2 ESux (x, t ) ku(0, t ) t 当x 0，取极限得右边边界条 件： ESux (0, t ) ku(0, t ) 0 该例题还可以延伸 其他特殊边界条件， 比如边界固定，或 自由的情况。
当f 0称齐次边界条件， f 0称非齐次边界条件
边界条件除常见三种外，还有线性与非线性，自然边界条件，周期边界条件 等。具体问题，形式很多。
4、连接条件（衔接条件）：如果研究物体是由两种以上性质不同的
材料组成的，在每一个同性质区域内，对所研究问题可建立一个方程，但他 们每一个都不能构成一个独立的定解问题，而是通过在不同性质区域的交界 面将这些解联系在一起，其数学形式即为连接条件。
写边界条件应该注意区分边界条件与泛定方程中的
外力或外源。如在一维扩散问题，在某一端点有粒 子流入，只能作为边界条件，而不能作为外源反映 在泛定方程中。若体现在泛定方程中，则意味作处 处有粒子流。
若在区域内部某一点有粒子源，则在方程里体现，但要利 用 体现出。
例如在区域 r0点有一点源强度为 f , 则方程为 ut a 2 u f ( r r0 )
ut u
t 0
0
0 x l / 2 2lh x 2 h (l x ) l / 2 x l l
t 0
稳定场问题与时间无关，不存在初始条件的问题． 二、边界条件： 研究具体的物理系统，还必须考虑系统
的边界上的物理状况，即边界条件． 常见的线性边界条件有三种。 1、第一类边界条件：直接可写出边界上物理量的表达式。
而常说恒定表面浓度扩 散，是指硅片表面杂质 浓度维持一定，向内部 扩散。