文克尔地基上的有限长梁计算

基础梁计算方法： 基础梁承受着整个建筑物的重量和外来荷载，所 以它的安全度关系着整个建筑物能否正常用。因 此建筑物的设计者对基础梁的研究十分重视，使 基础梁的计算内力尽可能与实际受力相接近, 从而 合理设计、合理配筋。 目前基础梁的实用工程分析法多采用两种方法: 完 全不考虑上部结构-基础-地基的共同作用或只考 虑基础-地基的共同作用。 第一种方法是结构力学的方法，计算结果满足静 力平衡条件但不满足变形协调条件，偏于保守。 第二种方法既满足静力平衡条件，又满足变形协 调条件，计算结果可以反映地基与基础相对刚度 对工作性状的影响，更接近于实际情况。




2.文克尔地基模型 1867年提出的winkler地基模型是一种最简单的线弹性地 基模型。它假定地基土界面上任一点处的沉降（s）仅取 决于作用于该点的压力（p），而与其他点上的压力无关。 即p=ks，其中，k为基床系数，与土的性质有关。 在文克尔模型中，地基和基础梁遵循变形协调条件，即梁 的挠度和地基的变形是一致的，也就是说即使在出现负的 地基反力的时候也不会发生分离，这一点在实用上是可行 的，因为结构的重量对地基施加了一个初始预压力。该假 定还认为地基的变形只发生在基础范围内，基础以外的变 形等于零（不考虑土的剪应力），使得计算结果与实际情 况有所不符，但由于该模型简单、参数少，而且参数k的 取值有较多的工程经验，所以目前在实际设计中被广泛采 用。 目前基于文克尔地基模型的计算方法有解析法、有限元 法 、有限差分法。
研究方法




对于文克尔地基上梁的计算，这里介绍解析法。 该方法为弹性地基梁的通解，适用于任何梁端边 界条件，任何荷载情况，可解决较为复杂的问题。 要满足下列两个求解条件： （1）地基和地基梁之问的变形协调条件，即地基 和基础梁在计算前后必须保持接触，不得出现分 离的现象； （2）满足静力平衡条件，即地基梁在外荷载和基 底反力共同作用下必须处于静力平衡状态。
其中
M 0 3 Cx K M V 0 Ax 2
Bx e x sin x Dx e x cos x
Ax、Bx、Cx、Dx的数值可以查表确定
3、有限长梁的判定 实际工程中的梁是属于无限长梁还是有限长梁并非 以梁的绝对尺寸划分，而是通过荷载在梁端引起 的影响是否可以忽略来判断。定义 为地基上的 l 柔度系数 λL>=π 为长梁（柔性梁） π/4<λL<π 为有限长梁（有限刚度梁） λL<=π/4 为短梁（刚性梁）
（1）集中力作用下的无限长梁
P0 w Ax 2K P M 0 Cx 4
P0 2 Bx K P0 V Dx 2
（2）集中力偶作用下的无限长梁
M 0 2 w Bx K M M 0 Dx 2
Ax e x (cos x sin x) C x e x (cos x sin x)
文克尔地基上的有限 长梁计算
研究背景


土质地基上受多个集中力作用的有限长梁, 是工程实践中时常遇到的 一种力学模型。 基础梁： 工程中，结构物与地基的连接方式主要取决于地基的条件和荷载的大 小这两个方面。如果地基的条件比较好，荷载比较小，可以直接通过 墙柱的作用，将荷载传至地基，但是如果地基的条件比较差，荷载比 较大，就需要通过设置基础梁，基础梁的作用是把上部结构的重量、 荷载等外力比较均匀地传给地基，可以在一定程度上调节建筑物沉降， 使其均匀化，以减小地基所受压力的强度，使地基满足承载力的要求。 因此，基础梁被广泛应用在工业与民用建筑上。 常用的基础梁包括：柱下条形基础、柱下交叉条形基础、筏形基础和 箱型基础等。
参考文献

[1]侯兆霞，习盼会，文克尔地基上基础梁内力简化分析方法，石家庄 铁道大学学报（自然科学版），2010.23（3）：7-13 [2]张晓玲,浅谈弹性地基梁的计算方法,山西建筑，2008,34（5）： 150-151 [3]李顺群，柴寿喜，考虑剪力连续性条件的Winkler地基梁计算，解 放军理工大学学报（自然科学版），2010,11（5）：528-533 [4]卢晓莉，李琦，弹性地基梁的计算方法，枣庄学院学报，2008,25 （2）：68-70 [5]陈晓平，土力学与基础工程，北京：中国水利水电出版社，2008


4、有限长梁的计算

由于有限长梁确定积分常数比无限长梁复 杂，这里采用简化方法，根据前面无限长 梁的解，利用叠加原理求得满足有限长梁 两自由端边界条件的解答。
现有方法的评价

优点：对文克尔地基上的梁, 不论荷载位于 何处,采用有限长梁的叠加原理法计算梁底 反力、梁内弯矩和剪力, 由于理论较严密, 计算精确。随着计算机的发展, 计算手段的 增强。各种复杂的解析公式都可由计算机 得到精确的计算结果。因此，在文克尔地 基上梁的设计计算中可优先采用此法进行 计算。

d w M 梁挠度微分方程： Eh I 2 dx
变形协调方程：
2

p s w k
由以上三式解得： 令
d 4w Eh I 4 Bkw Kw dx

kB 4 Eh I
4
λ为梁的柔度特征值 上式表示为：
d 4w 44 w 0 dx4
即为文克尔地基上同时满足静力平衡和变形协调的梁的挠曲 微分方程
地基模型的分类： 基础梁的计算问题属接触问题，计算时的 重要问题是如何确定地基反力与基础沉降 之间的关系，即地基模型的选取和模型参 数的确定。



1.反力直线分布 是最古老的一种算法，假设地基梁与地基之间的 压力按直线分布，其地基反力图形在对称荷载作 用下是矩形的，在偏心荷载作用下是梯形的，视 上部结构的刚度为无穷大，将基础与上部结构的 连接点看做是不动的铰支点。这样，地基梁的问 题就成为静定问题，计算大为简化。但该假设完 全没有考虑地基梁与地基之间的相对弹性，在一 般情况下，计算所得的结果，是不能令人满意的。 通常只在初步估算或设计不太重要的基础梁的时 候使用。其代表方法有“倒梁法”。
1.建立文克尔地基上梁的挠曲微分方程： 选取梁的一个初始截面，该截面的4个物理 量，即挠度w、转角θ、弯矩M、剪力V被称 为初参数，利用地基梁的挠度方程和4个物 理量之间的微分关系，将挠度方程中的4个 参数用上述4个物理量来表示。


平衡条件： V (V dV ) pBdx qdx 0




不足：该计算方法的不足之处既有模型本身的缺 陷，还有计算方法的缺点。 文克尔地基模型忽略了地基中的剪应力，不能够 反映地基中附加应力的扩散，地基的变形只发生 在基底范围内，基础以外的变形等于零，与实际 情况不符。 我们知道，土是一种弹塑性材料，基床系数也就 不应该是一个常数。它不仅与土的性质有关，还 与基底的大小、形状及基础的埋深有关。 解析法无法考虑粱的自重、难以在基础上施加多 种类型荷载、难以考虑梁的特性(截面形状和弹性 模量等)和基床系数沿梁长的分段不同等。

方程的通解为:
w( x) ex (C1 cos x C2 sin x) e x (C3 cos x C4 sin x)

2.文克尔地基上梁的解答 文克尔针对理想的无限延长梁和集中荷载作用于 梁端的半无限长梁。分别给出了集中力P 和集中 力偶Mo 作用下基础梁的挠度、转角、弯矩、剪 力及基底反力的理论解析解:



改进： 针对文克尔模型不能考虑土介质连续性，以及不 能考虑土中剪应力的缺陷，对该模型进行改进， 提出双参数模型和三参数模型。 利用梁单元间的剪力连续条件，首先以集中荷载 作用点、分布荷载边界点、梁截面特征和基床系 数变化点将地基梁划分为若干单元。利用单元问 的变形、转角、弯矩和剪力协调性条件，与梁端 边界条件一起组成了可以求解的方程组，用来确 定各种复杂条件下的梁在多种荷载类型作用下的 内力和变形问题。
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