运筹学教材编写组《运筹学》课后习题(第7章 约束极值问题——第9章 动态规划应用举例)【圣才出品】

X (1) X (0) 0f ( X (0) ) 。
一般,若 f ( X (k) ) 2 ,则极小点为X * X (k),若 f (X (k) ) 2 ,则要找下一点
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X (k1) X (k) kf ( X (k) ) 。
s.t.
z a z b
0 0
7.2 有一线性方程组如下
现欲用无约束极小化方法求解，试建立数学模型并说明计算原理。 解：（1）建立数学模型：
（2）以梯度法为例解无约束极值问题，计算原理如下：
①令 X (0) 0,1, 0T 为初始近似点，取精度 0.02 。
②
若 f ( X (0) ) 2 ,则极小点为X * X (0) , 若 f (X (0) ) 2 ,则要找下一点
搜索迭代方向正交。
7.7 试用最速下降法求函数 f X (x1 2)2 2x22 的极大点。先以 X (0) (0,0)T 为初
始点进行计算，求出极大点，再以 X (0) (0,1)T 为初始点进行两次迭代，最后比较从上述两 个不同初始点出发的寻优过程。
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a8,b8 2.918,3.131 ，近似极小点为 t 3.05 ，近似最小值为-6.9975。与用斐波那契法进
行比较，用 0.618 法求解，试点数 n 值大一些，但求值更接近于精确值。
7.6 试用最速下降法求解 min f (X ) x12 x22 2x32 ，选初始点 X (0) 2, 2,1T ，要求做
g1( X g2 ( X
) )
x12 5x12
x22 x3
40 10 0
x1
,
x2 ,
x3
0
分别计算 f (X ) ， g1(X ) ， g2 (X ) 海塞矩阵的行列式：
从而可知 f (X ) 为严格凸函数， g1(X ) 为凹函数， g2 (X ) 为凸函数，所以这不是一个凸 规划问题。
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第 7 章 约束极值问题
7.1 在某一试验中变更条件 xi 四次，测得相应的结果 yi 见表 7-1，试为这一试验拟合
一条直线，使其在最小二乘意义上最好地反映这项试验的结果(仅要求写出数学模型)。 表 7-1
解：设直线为 y ax b ，则可建立数学模型
x1
,
x2
0
解：将上述规划改写为：
min f ( X ) x12 x22 8
g1( X g2 ( X
) )
பைடு நூலகம்x12 x1
x2 x22
0
2
0
x1
,
x2
0
分别计算 f (X ) ， g1(X ) 及 g2 (X ) 海塞矩阵的行列式：
从而可知 f (X ) 为严格凸函数， g1(X ) 为凸函数， g2 (X ) 为凹函数，所以这不是一个凸 规划问题。
7.4 试用斐波那契法求函数 f x x2 6x 2 在区间[0,10]上的极小点，要求缩短后的
区间长度不大于原区间长度的 8％。
解：由 df 2x 6 0 ，可知 x 3 为问题的精确解，此时 f (x) 7 dx
用斐波那契法求解：
（1）由
0.08
，
Fn
1
12.5 ，可确定试点的个数 n
6 ，这里取 n
8。
（2）
a0
0, b0
10,t1
b0
F7 F8
(a0
b0 )
3.824, t1'
a0
F7 F8
(b0
a0 )
6.176
。
（3）由于 f t1 f t1' ，故取 a1 0,b1 6.176, x2' 3.824 。
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（4）依次进行迭代，得最终区间为 a7 ,b7 2.942,3.236 ，近似极小点为 t 2.947 ，
近似最小值为-6.997。
7.5 试用 0.618 法重做习题 7.4，并将计算结果与用斐波那契法所得计算结果进行比 较。
解：由 0.08 ，由 (0.618)n1 0.08 可确定试点的个数 n 9 ，计算得最终区间为
三次迭代，并验证相邻两步的搜索方向正交。 解： f (X ) (2x1, 2x2, 4x3)T ，用最速下降法迭代计算的过程如表 7-2 所示。 表 7-2
由上表中各步的搜索方向 (4, 4, 4),(1, 1, 2),( 2 , 2 , 2),( 1 , 1 , 1) 可知，相邻两步的 5 5 5 10 10 5
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解：令 F(X ) f (X ) ，则求 f (X ) 的极大点即求 F(X ) 的极小点。 （1）以 X (0) (0,0)T 为初始点，取精度 0.1 ，则
令
dF ( X (1) ) d 0
0
，则 0
1 2
，所以
X (1)
(2, 0)T
。
F(X (1) ) 2 (2 2), 4 0T 0,0T ，所以 X (1) 为极小点，即 (2,0)T 为 f (X ) 的极大点。
③设迭代至 X (k) ,若 f ( X (k) ) 2 ，需要求步长 k 。
k
f
f ( X (k) )T f ( X (k) ) ( X (k) )T H ( X (k ) )f ( X (k) )
f ( X (k) kf ( X (k) ))
或者
f ( X (k) ) f ( X (k) )T
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min f ( X ) 2x12 x22 x32 x1x2
（2） 5x1x212x2x2 3410
x1,
x2 ,
x3
0
解：将上述规划改写为：
min f ( X ) 2x12 x22 x32 x1x2
kf ( X (k) )
1 2
kf
(
X
(k
)
)T
H
(
X
(k
)
)
kf
(
X
(k
)
)
对 k 求导，并令等于 0，则可求得最佳步长 k 。以②为判断准则，重复迭代，直至满
足精度为止。
7.3 试判定下述非线性规划是否为凸规划。
min f ( X ) x12 x22 8
（1） s.t.x12x1xx2 2202 0