采样离散控制系统
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对连续信号采样得到的，故又称采样信号。
二、采样过程与采样定理
将连续信号变为离散信号的过程称为采样过 程，这一过程是通过采样开关来实现的。
采样开关每经过一定的时间T闭合一次，每次
闭合的时间为 T， ，T为采样周期。
1 fs T
ห้องสมุดไป่ตู้
采样频率
s
2
fs
2
T
采样角频率
由于采样持续时间 远小于采样周期T，故
其z变换。
s(s a)
解：F(s)可展开为部分分式：
F(s) a 1 1 s(s a) s s a
试求
故有：F ( z)
1 1 z1
1
1 eaT
z
1
(1 eaT )z1 (1 z1)(1 eaT z1)
因此，有采样定理如下： 在采样过程中，只有e*(当t) 采样频率s 2m 时，才
能将采样后的离散m 信号 无失真地恢复为原 来的连续信号e(t)。其中， 为连续信号频谱 的最大带宽。
三、信号恢复与保持器
信号恢复就是将离散信号恢复为连续信号， 它是通过保持器来实现的。
保持器通过在采样间隔处插值来得到连续 信号。根据外推原理的不同可分为零阶保持 器和一阶保持器。
在实际的控制系统中，通常当t<0时，e(t)=0，
因此，上式改写为：
e*(t) e(t) (t nT ) e(nT ) (t nT )
n0
n0
其拉氏变换为：
L[e*(t)] E*(s) e(nT )enTs n0
由图可见，采样开关输出端的信号为脉冲信 号，每个脉冲信号之后有一段无信号的时间 间隔，该时间间隔内，控制系统实际上工作 在开环状态。如果采样频率太低，包含在连 续信号中的信息经过采样以后将丢失。
a)零阶保持器 零阶保持器是采样恒值外推规律的保持器。
它把前一个采样时刻nT的采样值e(nT)恒值 地保持到下一个采样时刻(n+1)T
它的输入信号和输出信号关系如图所示。
零阶保持器的传 递函数为：
1 eTs Gh (s) s
b)一阶保持器 一阶保持器是按照线性规律外推的保持器，其
输出信号如图所示。
f (0) (t) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) ... f (nT ) (t nT ) ...
然后逐项进行拉氏变换，可得
F*(s) f (0) *1 f (T )eTs f (2T )e2Ts ... f (nT )enTs ...
F (z) f (0) f (T )z1 f (2T )z2 ... f (nT )zn ...
【例1】求单位阶跃函数的z变换
解：对单位阶跃函数有 f(nT)=1
故
Z[1(t)] f (0) f (T )z1 f (2T )z2 ... f (nT )zn ...
四、数字控制的优点：
1，占用空间小； 2，成本低； 3，灵敏、抗干扰性强； 4，方便控制算法的重构与复用。
在离散控制系统的分析中为方便起见引 入以下假设：
1，定时采样和A/D转换相当于一个每隔T 秒瞬时接通一次的理想采样开关，采样 时间为0，周期为T。
2，D/A相当于保持器，将数字信号变为连 续信号。本课程中假设保持器均为0阶保
z
对Ai应z 的e时piT 间函数为
z变
换为
n
z
F (z) i1 Ai z e piT
，由例2可知，其
所以可得部分分式
n
G(s)
ai ,
i 1 s pi
s域
时域
z域
ai s pi
aie pit
ai
1 e piT z 1
【例3】设连续函数的拉氏变换F(为s) a
第八章 离散控制系统
8.1 引言 8.2 z变换和z反变 8.3 脉冲传递函数 8.4 离散系统数学模
型
8.5 离散系统性能分 8.6 数字控制器设计
8.1 绪言
一、连续系统与离散系统
连续系统：系统中各处的信号都是时间的连续函数。 离散系统：系统中有一处或多处的信号是离散信号。 连续信号：在时间上连续，在幅值上也连续的信号。 离散信号：信号在时间上是离散的脉冲系列。离散信号是通过
1 z1 z2 ... zn ...
1
z
1 z1 z 1
【例2】求 f (t) ea的t z变换 解： f *(t) f (nT ) eanT
F (z) f (0) f (T )z1 f (2T )z2 ... f (nT )zn ...
1 eaT z1 e2aT z2 ... enaT zn ...
1
z
1 eaT z1 z eaT
z eaT
（二）部分分式法
若函数f(t)的拉氏变换可以展开位部分分式的形
式
Ai
n
F(s)
Ai
i1 s pi
s pi
Aie pit
可以 认 0为
，理想采样器。
采 产样生过单程位可脉以冲T (看系t) 作列一个脉，冲用调数制学过公程式，表它达能则 为：T (t) (t nT ) n
采样器的输出信号e*(t) 为：
e*(t) e(t)T (t) e(t) (t nT ) n
k 0
若令 z eTs 或 s 1 ln z ，则
X (z) Z[x*(t)] x(kT)zk
T
k 0
这是一种由s平面到z平面的保角变换，可视为拉氏变换的一种 特殊形式。
2019/7/30
二、z变换的求法 （一）级数求和法 将离散函数f *(t) 展开如下
f *(t) f (nT ) (t nT ) n0
传递函数是6分.2析线z性变连续换系和统的z有反力工变具，换但对序列u*(t)
和零阶保持器的拉氏变换表明：在离散系统中沿用传统的拉氏 变换为分析工具在运算中会出现s的超越函数，带来不便，采 用z变换则可避免这一问题。
一、z变换的定义
L[x*(t)] x(kT)ekTs X *(s)
二、采样过程与采样定理
将连续信号变为离散信号的过程称为采样过 程，这一过程是通过采样开关来实现的。
采样开关每经过一定的时间T闭合一次，每次
闭合的时间为 T， ，T为采样周期。
1 fs T
ห้องสมุดไป่ตู้
采样频率
s
2
fs
2
T
采样角频率
由于采样持续时间 远小于采样周期T，故
其z变换。
s(s a)
解：F(s)可展开为部分分式：
F(s) a 1 1 s(s a) s s a
试求
故有：F ( z)
1 1 z1
1
1 eaT
z
1
(1 eaT )z1 (1 z1)(1 eaT z1)
因此，有采样定理如下： 在采样过程中，只有e*(当t) 采样频率s 2m 时，才
能将采样后的离散m 信号 无失真地恢复为原 来的连续信号e(t)。其中， 为连续信号频谱 的最大带宽。
三、信号恢复与保持器
信号恢复就是将离散信号恢复为连续信号， 它是通过保持器来实现的。
保持器通过在采样间隔处插值来得到连续 信号。根据外推原理的不同可分为零阶保持 器和一阶保持器。
在实际的控制系统中，通常当t<0时，e(t)=0，
因此，上式改写为：
e*(t) e(t) (t nT ) e(nT ) (t nT )
n0
n0
其拉氏变换为：
L[e*(t)] E*(s) e(nT )enTs n0
由图可见，采样开关输出端的信号为脉冲信 号，每个脉冲信号之后有一段无信号的时间 间隔，该时间间隔内，控制系统实际上工作 在开环状态。如果采样频率太低，包含在连 续信号中的信息经过采样以后将丢失。
a)零阶保持器 零阶保持器是采样恒值外推规律的保持器。
它把前一个采样时刻nT的采样值e(nT)恒值 地保持到下一个采样时刻(n+1)T
它的输入信号和输出信号关系如图所示。
零阶保持器的传 递函数为：
1 eTs Gh (s) s
b)一阶保持器 一阶保持器是按照线性规律外推的保持器，其
输出信号如图所示。
f (0) (t) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) ... f (nT ) (t nT ) ...
然后逐项进行拉氏变换，可得
F*(s) f (0) *1 f (T )eTs f (2T )e2Ts ... f (nT )enTs ...
F (z) f (0) f (T )z1 f (2T )z2 ... f (nT )zn ...
【例1】求单位阶跃函数的z变换
解：对单位阶跃函数有 f(nT)=1
故
Z[1(t)] f (0) f (T )z1 f (2T )z2 ... f (nT )zn ...
四、数字控制的优点：
1，占用空间小； 2，成本低； 3，灵敏、抗干扰性强； 4，方便控制算法的重构与复用。
在离散控制系统的分析中为方便起见引 入以下假设：
1，定时采样和A/D转换相当于一个每隔T 秒瞬时接通一次的理想采样开关，采样 时间为0，周期为T。
2，D/A相当于保持器，将数字信号变为连 续信号。本课程中假设保持器均为0阶保
z
对Ai应z 的e时piT 间函数为
z变
换为
n
z
F (z) i1 Ai z e piT
，由例2可知，其
所以可得部分分式
n
G(s)
ai ,
i 1 s pi
s域
时域
z域
ai s pi
aie pit
ai
1 e piT z 1
【例3】设连续函数的拉氏变换F(为s) a
第八章 离散控制系统
8.1 引言 8.2 z变换和z反变 8.3 脉冲传递函数 8.4 离散系统数学模
型
8.5 离散系统性能分 8.6 数字控制器设计
8.1 绪言
一、连续系统与离散系统
连续系统：系统中各处的信号都是时间的连续函数。 离散系统：系统中有一处或多处的信号是离散信号。 连续信号：在时间上连续，在幅值上也连续的信号。 离散信号：信号在时间上是离散的脉冲系列。离散信号是通过
1 z1 z2 ... zn ...
1
z
1 z1 z 1
【例2】求 f (t) ea的t z变换 解： f *(t) f (nT ) eanT
F (z) f (0) f (T )z1 f (2T )z2 ... f (nT )zn ...
1 eaT z1 e2aT z2 ... enaT zn ...
1
z
1 eaT z1 z eaT
z eaT
（二）部分分式法
若函数f(t)的拉氏变换可以展开位部分分式的形
式
Ai
n
F(s)
Ai
i1 s pi
s pi
Aie pit
可以 认 0为
，理想采样器。
采 产样生过单程位可脉以冲T (看系t) 作列一个脉，冲用调数制学过公程式，表它达能则 为：T (t) (t nT ) n
采样器的输出信号e*(t) 为：
e*(t) e(t)T (t) e(t) (t nT ) n
k 0
若令 z eTs 或 s 1 ln z ，则
X (z) Z[x*(t)] x(kT)zk
T
k 0
这是一种由s平面到z平面的保角变换，可视为拉氏变换的一种 特殊形式。
2019/7/30
二、z变换的求法 （一）级数求和法 将离散函数f *(t) 展开如下
f *(t) f (nT ) (t nT ) n0
传递函数是6分.2析线z性变连续换系和统的z有反力工变具，换但对序列u*(t)
和零阶保持器的拉氏变换表明：在离散系统中沿用传统的拉氏 变换为分析工具在运算中会出现s的超越函数，带来不便，采 用z变换则可避免这一问题。
一、z变换的定义
L[x*(t)] x(kT)ekTs X *(s)