集合论

第一篇集合论

第一章集合及其运算

1.1 集合的概念

1.2 子集、集合的相等

1.3 集合的基本运算

1.4 余集、De Morgan公式

1.5 笛卡尔乘积

1.6 有穷集合的基数

第二章映射

2.1 函数的一般概念——映射

定义::映射(法则),映射(笛卡尔乘积),限制和扩张,部分映射,映射相等,单射,满射,双射,恒等映射

2.2 抽屉原理

2.3 映射的一般性质

定义::象f(A),原象f-1(A)

[定理2.3.1](1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D);(2)f-1(C∩D)=f-1(C)∪f-1(D);(3)f-1(CΔD)=f-1(C)Δf-1(D);(4)f-1(C C)=(f-1(C))C

⊆⊇⊇

[定理2.3.2]∪∪

(5)f(A B)=f(A)f(B);(6)f(A∩B)f(A)∩f(B);(7) f(AΔB)f(A)Δf(B);(8) f(A\B)f(A)\f(B)

2.4 映射的合成

定义::映射的合成

[定理2.4.1]合成符合结合律,但不符合交换律

[定理2.4.2]设f:X→Y,则f∘I X=I Y∘f =f

[定理2.4.3]设f:X→Y,g:Y→Z, 则

(1)若f与g都是单射,则g∘f也是单射:f是单射,∀x1x2且x1≠x2 y1=f(x1),y2=f(x2)且y1≠y2有g(f(x1))≠g(f(x2))

(2)若f与g都是满射,则g∘f也是满射:f满射,∀y必有x∈X使f(x)=y.∀z∈Z必有y∈Y使g(y)=z.则∀z∈Z必有x∈X使g(f(x))=z.

(3)若f与g都是双射,则g∘f也是双射

[定理2.4.4]设f:X→Y,g:Y→Z, 则

(1)若g∘f是单射,则f是单射;∀x1,x2∈X且x1≠x2有g(f(x1)) ≠g(f(x2))

(2)若g∘f是满射,则g是满射;反证:∃z∈Z使∀y∈Y,g(y)≠z则有∀x∈X有g(f(x)) ≠z推出矛盾

(3)若g∘f是双射,则f是单射且g是满射

[定理2.4.5]设f与g都是X到X的映射,则I m (f)⊆I m(g)的充分必要条件是存在一个映射h:X→X使得f=g∘h

2.5 逆映射

定义::逆映射,左逆映射,右逆映射

[定理2.5.1]逆映射存在的充要条件是f是双射::⇒ Ix,Iy+定理2.4.4⇐构造g(y)=x当且仅当f(x)=y

[定理2.5.2]逆映射唯一::假设不唯一,推出g=I x°g=(h°f)°g=h°(f°g)=h°I x=h

[定理2.5.3] (gf)-1=f-1g-1,(f-1)-1=f:(gf)(f-1g-1)=g(ff-1) g-1= gg-1=I z, (f-1g-1) (gf)=f(gg-1)f-1= ff-1=I x

[定理2.5.4]

(1)f是左可逆的充分必要条件是f为单射:⇒定义+定理⇐f:X→I m(f)的双射,建立g:I m(f)→X双射,在扩充到Y上,y∉I m(x)随便映射一个

(2)f是右可逆的充分必要条件是f为满射:⇒定义+定理⇐构造

2.6 置换

定义::n次置换,k-循环置换,对换,奇置换,偶置换

[定理2.6.1]

[定理2.6.2]

[定理2.6.3]置换α,β没有共同数字时可以交换

[定理2.6.4]置换可进行唯一循环分解

[定理2.6.5]置换分解成若干对换的乘积,分解个数的奇偶性不变

[定理2.6.6]奇偶置换个数相等,都等于n!/2

2.7 二元和n元运算

定义::有限序列,无限序列,子序列,二元运算,一元运算,n元运算,交换律,结合律,代数系的同构

2.8 集合的特征函数

定义::集合的特征函数

第三章关系

3.1 关系的概念

定义::关系(映射),关系(笛卡尔乘积),定义域,值域,多部映射,关系(多部映射),多值二元关系

3.2 关系的性质

定义::自反,反自反,对称(R对称⟺R=R-1),反对称,传递,相容,逆

3.3 关系的合成运算

定义::关系的合成,

[定理3.3.1]关系的合成不符合交换律,但符合结合律

[定理3.3.2](1)R1°(R2∪ R3 )=(R1°R2)∪(R1°R3);(2)R1° (R2∩ R3 )⊆(R1°R2)∩(R1°R3);(3)(R2∪R3 )°R4 = (R2°R4) ∪(R3°R4);(4)(R2∩R3 ) °R4⊆(R2°R4) ∩(R3°R4) [定理3.3.3](1)(R∘S)-1 = S-1∘R-1:(2)R∘R-1 是对称的

[定理3.3.4]R是传递关系⟺R°R⊆R

[定理3.3.5]R0=I x;R1=R;R n+1=R n°R;R m°R n=R m+n;(R m)n=R mn

[定理3.3.6]设X是一个有限集合且|X|=n,R为X上的任一二元关系,则存在非负整数s,t,使得0≤s

[定理3.3.7]设R是X上的二元关系,若存在非负整数s,t,s

(1)R s+k= R t+k ,k为非负整数(2)R s+kp+i= R s+i ,其中p=t-s,而k,i为非负整数(3)令S={R0,R,R2 ,…,R t-1},则对任意的非负的整数q,有R q ∈S

[定理3.3.8]R对称且传递⟺R=R°R-1

3.4 关系的闭包

定义::传递闭包(所有包含R的传递关系的交,可以类似定义自反传递闭包等),自反传递闭包,自反闭包,对称闭包

[定理3.4.1]关系R的传递闭包是传递关系(如果R是传递关系,R+=R):

[定理3.4.2]R+=∪R i=R∪R2∪R3∪…:: R+⊆∪R i只要证明∪R i是包含R的传递关系, ∪R⊆R+只要证明(a,b)∈R m,(b,c)∈R n.(a,c)∈R m+n,(a,c) ∈R+

[定理3.4.3]R+=∪R n=R∪R2∪R3∪…R n::证明R k⊆∪R i,如果k>n,x仅有n个元素,由抽屉原理得存在b i=b j重复以上过程证明.

[定理3.4.5]R*=R0∪R+

3.5 关系矩阵和关系图

定义:: (1)R是自反的,当且仅当B的对角线上的全部元素都为1;(2) R是反自反的当且仅当B的对角线上的全部元素都为0;

(3) R是对称的当且仅当B是对称矩阵;(4) R是反对称的当且仅当b i j与b j i不同时为1,i≠j;

(5) R是传递的当且仅当若b i j=1且b j k=1,则b i k=1; (6) R-1的矩阵是B T

3.6 等价关系和集合划分

定义::等价关系(1.自反2.对称3.传递),等价类,商集

[定理3.6.3]

3.7 映射按等价关系划分

3.8 偏序关系和偏序集

定义::偏序关系(自反,反对称,传递),偏序集,全序集,Hasse图,上下界,最大最小元素,链与反链

第四章无穷集合及其基数

4.1可数集

定义::可数集(从自然数集N到集合A有一一映射),无限集(能与自身的真子集对等的集合),代数数,超越数

[定理4.1.1]集合A为可数集⟺A的全部元素可以排成无重复项的序列

[定理4.1.2]无限集中包含可数子集

[定理4.1.3]两个可数集的并是可数集

[定理4.1.4]有限个可数集的并是可数集

[定理4.1.7]可数个可数集的并是可数集:写成无穷阶方阵,按对角线游历

[定理4.1.8]有理数集Q是可数集

[定理4.1.10]一列有限个集合的笛卡尔乘积为可数集

4.2连续统集

定义::连续统(与[0,1]实数集对等)

[定理4.2.1]区间[0,1]内的全体实数构成不可数无穷集::康托对角线

第二篇图论

第六章图的基本概念

6.1图论的产生与发展概述

6.2基本定义

定义::无向图,G(p,q),平凡图,零图,有向图,定向图,子图,生成子图,导出子图,图的同构,度(degv),δ(G),Δ(G),正则图(推论三次图的顶点个数为偶数)

[定理6.2.1]欧拉定理:Σ(degv)=2q推论度为奇数的点的个数必为偶数

6.3路、圈、连通图